Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
|
|
- Konrad Przybylski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
2 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy Niech f (x) ozncz funkcję ogrniczoną n przedzile domkniętym <, b >. Niech P 1, P,..., P m,... będą różnym podziłmi przedziłu <, b >. Podził P m jest osiągnięty przy pomocy n m 1 liczb x 1, x,..., x nm 1, przy czym = x < x 1 < x <... < x nm 1 < x nm = b. Przedziły < x i 1, x i >, gdzie i = 1,,..., n m, nzywmy przedziłmi cząstkowymi podziłu P m. Długości ich x i x i 1 będziemy oznczli przez x i Niech δ m = mx x i orz i S m = n m i=1 f (c i ) x i, przy podzile P m orz dowolnie wybrnych punktów c i < x i 1, x i >, i = 1,,..., n m. Ciąg podziłów nzywmy normlnym ciągiem podziłów, jeżeli lim m δ m = Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
3 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy Definicj Jeżeli ciąg {S m } dl m jest zbieżny i do tej smej grnicy przy kżdym normlnym ciągu podziłów, niezleżnie od wyboru punktów c i, to funkcję f (x) nzywmy funkcją cłkowlną w przedzile <, b >. Grnicę ciągu {S m } nzywmy cłką oznczoną funkcji f (x) w grnicch od do b i oznczmy symbolem f (x) dx Jeżeli przy jkimś ciągu normlnym podziłów ciąg {S m } m grnicę niezleżną od wyboru punktów c i, to funkcj f (x) jest cłkowln. Funkcj ciągł w przedzile domkniętym jest cłkowln Funkcj ogrnicznon w przedzile domkniętym orz ciągł w nim z wyjątkiem co njwyżej skończonej liczby liczby punktów jest cłkowln. Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
4 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli b b c, to c f (x) dx = c c f (x) dx + b f (x) dx Stły czynnik możn wyłączyć przed znk cłki kf (x) dx = k f (x) dx 3 Cłk sumy równ się sumie cłek (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
5 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli b b c, to c f (x) dx = c c f (x) dx + b f (x) dx Stły czynnik możn wyłączyć przed znk cłki kf (x) dx = k f (x) dx 3 Cłk sumy równ się sumie cłek (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
6 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli b b c, to c f (x) dx = c c f (x) dx + b f (x) dx Stły czynnik możn wyłączyć przed znk cłki kf (x) dx = k f (x) dx 3 Cłk sumy równ się sumie cłek (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
7 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli funkcj f (x) jest ciągł w przedzile <, b >, to zchodzi f (x) dx = f (c)(b ), dl pewnego c z przedziłu <, b > Jeżeli funkcj f (t) jest ciągł w przedzile <, b >, to funkcj h(x) = x f (t) dt jest ciągł i różniczkowln względem zmiennej x w przedzile <, b > i w kżdym punkcie tego przedziłu zchodzi związek h (x) = f (x). 3 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli prz F (x) oznczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej w przedzile <, b >, tzn. jeżeli F (x) = f (x), to m miejsce wzór f (x) dx = F (b) F () Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
8 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli funkcj f (x) jest ciągł w przedzile <, b >, to zchodzi f (x) dx = f (c)(b ), dl pewnego c z przedziłu <, b > Jeżeli funkcj f (t) jest ciągł w przedzile <, b >, to funkcj h(x) = x f (t) dt jest ciągł i różniczkowln względem zmiennej x w przedzile <, b > i w kżdym punkcie tego przedziłu zchodzi związek h (x) = f (x). 3 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli prz F (x) oznczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej w przedzile <, b >, tzn. jeżeli F (x) = f (x), to m miejsce wzór f (x) dx = F (b) F () Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
9 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli funkcj f (x) jest ciągł w przedzile <, b >, to zchodzi f (x) dx = f (c)(b ), dl pewnego c z przedziłu <, b > Jeżeli funkcj f (t) jest ciągł w przedzile <, b >, to funkcj h(x) = x f (t) dt jest ciągł i różniczkowln względem zmiennej x w przedzile <, b > i w kżdym punkcie tego przedziłu zchodzi związek h (x) = f (x). 3 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli prz F (x) oznczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej w przedzile <, b >, tzn. jeżeli F (x) = f (x), to m miejsce wzór f (x) dx = F (b) F () Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
10 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli u i v są funkcjmi zmiennej x mjącymi ciągłą pochodną, to u dv = [uv] b vdu. Jest to wzór n cłkownie przez części dl cłek oznczonych. Jeżeli g (x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedzile <, b >, f (u) funkcją ciągłą w przedzile < g(), g(b) >, to zchodzi nstępujący wzór: f (g(x))g (x) dx = g(b) g() f (u) du Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
11 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli u i v są funkcjmi zmiennej x mjącymi ciągłą pochodną, to u dv = [uv] b vdu. Jest to wzór n cłkownie przez części dl cłek oznczonych. Jeżeli g (x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedzile <, b >, f (u) funkcją ciągłą w przedzile < g(), g(b) >, to zchodzi nstępujący wzór: f (g(x))g (x) dx = g(b) g() f (u) du Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
12 Przykłdy Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 π x sin x dx = 1 π xd(cos x) = [ x cos x] 1 π + 1 π cosx dx = [sin x] 1 π = 1 Poniewż x sin(x ) dx = cos(x ) + C, mmy π/ [ cos(x x sin(x ) ) dx = ] π/ Poniewż e x x dx = e x ( 1 + x) + C, mmy 5 3 ( cos((π/) ) ) = cos( ) e x x dx = [e x ( 1 + x)] 3 = e 3 ( 1 + 3) e ( 1 + ) ln(x) dx = 5 x ln(x) dx = [xln(x)] 5 5 x 1 x dx = = 5 ln(5) ln() (5 ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
13 Przykłdy Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 π x sin x dx = 1 π xd(cos x) = [ x cos x] 1 π + 1 π cosx dx = [sin x] 1 π = 1 Poniewż x sin(x ) dx = cos(x ) + C, mmy π/ [ cos(x x sin(x ) ) dx = ] π/ Poniewż e x x dx = e x ( 1 + x) + C, mmy 5 3 ( cos((π/) ) ) = cos( ) e x x dx = [e x ( 1 + x)] 3 = e 3 ( 1 + 3) e ( 1 + ) ln(x) dx = 5 x ln(x) dx = [xln(x)] 5 5 x 1 x dx = = 5 ln(5) ln() (5 ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
14 Przykłdy Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 π x sin x dx = 1 π xd(cos x) = [ x cos x] 1 π + 1 π cosx dx = [sin x] 1 π = 1 Poniewż x sin(x ) dx = cos(x ) + C, mmy π/ [ cos(x x sin(x ) ) dx = ] π/ Poniewż e x x dx = e x ( 1 + x) + C, mmy 5 3 ( cos((π/) ) ) = cos( ) e x x dx = [e x ( 1 + x)] 3 = e 3 ( 1 + 3) e ( 1 + ) ln(x) dx = 5 x ln(x) dx = [xln(x)] 5 5 x 1 x dx = = 5 ln(5) ln() (5 ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
15 Przykłdy Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 π x sin x dx = 1 π xd(cos x) = [ x cos x] 1 π + 1 π cosx dx = [sin x] 1 π = 1 Poniewż x sin(x ) dx = cos(x ) + C, mmy π/ [ cos(x x sin(x ) ) dx = ] π/ Poniewż e x x dx = e x ( 1 + x) + C, mmy 5 3 ( cos((π/) ) ) = cos( ) e x x dx = [e x ( 1 + x)] 3 = e 3 ( 1 + 3) e ( 1 + ) ln(x) dx = 5 x ln(x) dx = [xln(x)] 5 5 x 1 x dx = = 5 ln(5) ln() (5 ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
16 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Cłki funkcji nieogrniczonych Cłki oznczone w przedzile nieskończonym Definicj Jeżeli funkcj f (x) jest ogrniczon i cłkowln w kżdym przedzile x c h, h >, orz w kżdym przedzile c + k x b, k >, i jeżeli istnieją grnice lim h + c h f (x) dx orz lim f (x) dx, k + c+k to sumę tych grnic nzywmy cłką niewłściwą funkcji f (x) w przedzile <, b > i oznczmy symbolem f (x) dx W podnej definicji chodzi o funkcje, które w kżdym otoczeniu (c δ, c + δ), δ >, są niogrnczone. W punkcie c funkcj może nwet nie być okreśłon. Jeżeli przynjmniej jedn z grnic nie istnieje, to mówimy, że cłk jest rozbieżn. Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
17 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Cłki funkcji nieogrniczonych Cłki oznczone w przedzile nieskończonym Jeżeli punktem nieogrniczoności jest jeden z końców przedziłu <, b >, to przez cłkę niewłściwą rozumiemy odpowiednio Przykłd: dx x dx = lim 3 k lim f (x) dx lbo lim f (x) dx, h + +h k + 3 ε + ε dx x dx = lim ε + ( 3 ε ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
18 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Cłki funkcji nieogrniczonych Cłki oznczone w przedzile nieskończonym Definicj Jeżeli funkcj f (x) jest ogrniczon i cłkowln w kżdym przedzile skończonym x v ( ustlone, v dowolne) orz istnieje grnic v lim f (x) dx, v to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą funkcji f (x) w przedzile x < i oznczmy symbolem f (x) dx. Anlogicznie określ się znczenie symbolu f (x) dx. u lim u f (x) dx jko grnicę Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
19 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Cłki funkcji nieogrniczonych Cłki oznczone w przedzile nieskończonym Przykłd. Chcemy obliczyć cłkę ( 1 x + ) 1 x dx. Poniewż ( x + 1 x ) dx = 4 x x 1 3x 3, mmy ( 1 x + ) 1 ( x dx = limv 4 v v 1 3v ( 4 1/3) ) 3 Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
20 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Twierdzenie Tylor Złożenie: f C n+1 (<, b >), < x < b. Tez: f (x) = f () + x f (1) (x ) () + f () () !! (x x )n + f (n) (x t) n () + f (n+1) (t) dt n! n! Osttni wyrz często nzyw się n tą resztą i ozncz przez R n (x, ). Lgrnge pokzł, że R n (x, ) = (x )n+1 (n+1)! f (n+1) ( + θ(x )) θ 1 Szereg potęgowy f (x) = f () + n=1 f (n) () n! (x ) n nzywmy szeregiem Tylor. Dl = szerec Tylor nzyw się szeregiem Mclurin. Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
21 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Twierdzenie Funkcj jest rozwijln w szereg Tylor w przedzile ( δ, + δ), δ >, jeżeli w tym przedzile: 1. funkcj m pochodne kżdego rzędu. lim n R n(x, ) = dl x z przedziłu ( δ, + δ) Wrunek. jest w szczególności spełniony, jeżeli istnieje M > tkie, że f (n) (x) < M x ( δ,+δ) Przykłdy. e x = 1 + x + x! + x 3 3! x n n! +... sin x = x x 3 3! + x 4 4! !... + x 4k+1 (4k+1)! x 4k+3 (4k+3)! +... Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
22 MACIERZE Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Mcierz wymiru m n Mcierz A wymiru m n jest prostokątną tblicą elementów ij, i = 1,... m, j = 1,..., n: n 1... n A = m1 m... mn Elementmi mcierzy mogą być liczby rzeczywiste, zespolone i inne jeszcze obiekty. Będziemy oznczć w skrócie A = ( ij ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
23 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Mcierz zerow to mcierz, której wszystkie elementy są równe zero Trnspozycją mcierzy A = ( ij ) o wymirch m n jest mcierz A T = ( ji ) o wymirch n m O mcierzy A wymiru m n powiemy, że jest kwdrtow, jeżeli m = n Mcierz A jest symetryczn, gdy jest kwdrtow orz zchodzi wrunek A T = A Mcierz A = ( ij ) jest digonln, jeżeli jest kwdrtow orz ij = dl i j Mcierz identycznościow I : mcierz digonln, któr m sme jedynki n przekątnej Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
24 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Sumą mcierzy A = ( ij ) orz B = (b ij ) o jednkowych wymirch jest mcierz A + B = ( ij + b ij ) Różnicą mcierzy A = ( ij ) orz B = (b ij ) o jednkowych wymirch jest mcierz A B = ( ij b ij ) Mnożenie mcierzy A = ( ij ) przez liczbę α: αa = (α ij ) Przemienność, łączność orz rozdzielność mnożeni mcierzy przez liczbę (α, β R): αa = Aα, α(βa) = (αβ)a, (α ± β)a = αa ± βb, α(a ± B) = αa ± αb Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
25 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Mnożenie mcierzy A = ( ij ) wymiru m n przez wektor v = [v 1,..., v n ] T : n 1... n A =..... m1 m... mn v 1 v. v n = 11 v v n v n 1 v 1 + v n v n. m1 v 1 + m v mn v n Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
26 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Mnożenie mcierzy A = ( ij ) wymiru m n przez mcierz B = (b 1, b,..., b k ) wymiru n k: AB = (Ab 1, Ab,..., Ab k ) Trnspozycj mnożenie mcierzy: (AB) T = B T A T Rząd mcierzy Dl kżdej mcierzy A mksymln liczb r liniowo niezleżnych kolumn jest równ mksymlnej liczbie liniowo niezleżnych wierszy. Liczbę r nzywmy rzędem mcierzy, symbolicznie ozncznym przez R(A) Mcierz nieosobliw: Mcierz kwdrtow A wymiru n n, dl której R(A)=n. Mcierz odwrotn A 1 do mcierzy kwdrtowej A: A 1 A = I = AA 1 Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
27 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Wyzncznik mcierzy A wymiru n n (kwdrtowej) Wyzncznik to funkcj (oznczon przez det) o włsnościch: det(i ) = 1 det : { zbiór mcierzy kwdrtowych} R det(a) = jeżeli A m dw sąsiednie wiersze równe det jest funkcją liniową względem dowolnego wiersz Uwg: istnieje tylko jedn tk funkcj Uwg: N nstępnych sljdch A(ij) ozncz mcierz powstłą z mcierzy A poprzez usunięcie z niej i-tego wiersz orz j tej kolumny. Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
28 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Włsności wyznczników: Twierdzenie Lplce dl kolumn: dl i = 1,..., n det(a) = det(a) = R(A) < n n ij ( 1) i+j det(a(i, j)) i=1 det(a) = det(b), jeżeli B powstje z A przez zminę miejscmi dwóch wierszy mcierzy A det(a) = det(b), jeżeli B powstje z A przez dodnie/odjęcie od dnego wiersz innego wiersz przemnożonego przez dowolną liczbę Twierdzenie Cuchy ego: det(ab) = det(a)det(b) Jeżeli R(A) = n (mcierz A jest pełnego rzędu), to det(a 1 ) = (det(a)) 1 Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
29 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Włsności wyznczników: Twierdzenie Lplce dl wierszy: dl i = 1,..., n det(a) = n ij ( 1) i+j det(a(i, j)) j=1 det(a) = det(b), jeżeli B powstje z A przez zminę miejscmi dwóch kolumn mcierzy A det(a) = det(b), jeżeli B powstje z A przez dodnie/odjęcie od dnej kolumny innej kolumny przemnożonej przez dowolną liczbę det(a) jest funkcją liniową dowolnej kolumny det(a T ) = det(a) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
30 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Niech A = ( ij ) mcierz wymiru n n, c = [c 1,..., c n ] T orz x = [x 1,..., x n ] T. Mcierz A orz wektor c trktujemy jko znne, wektor x jko nieznny (wektor niewidomych). Interesuje ns rozwiąznie ukłdu równń Ax = c, tzn. 11 x x n x n = c 1 1 x 1 + x n x n = c. n1 x 1 + n x nn x n = c n Twierdzenie. Jeżeli det(a), to powyższy ukłd równń liniowych m dokłdnie jedno rozwiąznie. Rozwiąznie to możn uzyskć z pomocą wzorów Crmer: x i = det( 1,,..., i 1, c, i+1,... n ), i = 1,,..., n, det(a) gdzie i ozncz i tą kolumnę mcierzy A Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
31 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Niech A = ( ij ) mcierz wymiru m n, c = [c 1,..., c m ] T orz x = [x 1,..., x n ] T. Interesuje ns rozwiąznie ukłdu równń Ax = c, tzn. 11 x x n x n = c 1 1 x 1 + x n x n = c. m1 x 1 + m x mn x n = c m Niech n n c n A = B = 1... n c m1 m... mn m1 m... mn c m Twierdzenie Kronecker-Cpellego. Powyższy ukłd równń liniowych m rozwiąznie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B) = r, przy tym 1) jeżeli r = n, to ukłd m jedno rozwiąznie, ) jeżeli r < n, to ukłd m nieskończenie wiele rozwiązń i są one zleżne od n r prmetrów. Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
32 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Niech A = ( 1,..., n ) będzie mcierzą wymiru n n. Wektory 1,..., n są jej kolumnmi. Oznczmy przez da ij wyzncznik z mcierzy ( 1,..., i 1, e i, i+1,..., n ), któr powstł z A poprzez zminę kolumny j n wektor e i = [,...,, 1,,..., ] T (który n i tym miejscu m jedynkę, poz tym sme zer). Mcierz stowrzyszon AdjA do mcierzy A: da 11 da 1... da 1n da 1 da... da n AdjA = da n1 da n... da nn Twierdzenie: Mcierz odwrotną do mcierzy A możn wyznczyć według wzoru: A 1 1 = AdjA ( det(a) ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
33 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Form kwdrtow Niech x = [x 1,..., x n ] T będzie wektorem n wymirowym orz niech A = ( ij ) będzie mcierzą symetryczną stopni n (wymiru n n). Odwzorownie x x T Ax = n n i=1 j=1 ijx i x j nzywmy formą kwdrtową Mcierz symetryczn A jest dodtnio określon: x T Ax > dl kżdego x (piszemy A > ) ujemnie określon: x T Ax < dl kżdego x (piszemy A < ) niedodtnio określon: x T Ax dl kżdego x (piszemy A ) nieujemnie określon: x T Ax dl kżdego x (piszemy A ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
34 Kryterium Sylvester Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Mcierz symetryczn A = ( ij ) stopni n jest dodtnio określon wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wiodące minory główne są dodtnie: 11 > k 1... k det..... >, dl k =,..., n k1 k... kk Uwg: Jeżeli chcemy sprwdzić, czy mcierz jest ujemnie określon, nleży sprwdzić, czy mcierz A jest określon dodtnio Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki
Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux
Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna (część II)
Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)
Bardziej szczegółowoCAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o
Bardziej szczegółowoPojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy
Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 7.
Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.
Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Całka Riemanna
Anliz Mtemtyczn. Cłk Riemnn Aleksnder Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych Wydził Informtyki w Gdńsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdńsk 29 kwietni 217 1 / 2 Cłk Riemnn
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)
Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI
MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoIII. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.
III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki
Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem
Bardziej szczegółowoWyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A
Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowonazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.
Rozdził 10 Cłk Drboux 10.1 Doln i górn sum Drboux Definicj podziłu. Niech, b R, < b. Kżdy skończony ciąg P postci (10.1) P = (x 0,..., x n ), gdzie n N, = x 0 < x 1
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6
Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2
Bardziej szczegółowoWykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia
Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna
Analiza matematyczna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki Funkcje Podstawowe pojęcia Funkcje Definicja (Funkcja) Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1
Mtemtyk II Bezpieczeństwo jądrowe i ochron rdiologiczn Semestr letni 2018/2019 Wykłd 1 Zsdy współprcy przypomnienie Wykłdy są nieobowiązkowe, le Egzmin: pytni teoretyczne z łtwymi ćwiczenimi (będzie list)
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowo9. Całkowanie. I k. sup
9. Cłkownie Zcznijmy od podstwowego dl teorii cłki pojęci podziłu. Podziłem odcink [, b] R nzywmy kżdy skończony zbiór P [, b] zwierjący ob końce odcink. Niech będą punktmi podziłu P. Odcinki = x < x
Bardziej szczegółowo2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja
2. Anliz Kresy: infim i suprem Wprowdzmy oznczenie dl rozszerzonej prostej rzeczywistej: R = R {, + }, przy czym w zbiorze tym zchowujemy nturlny porzdek w R orz przyjmujemy, że < < dl R. Niech A R. Ogrniczeniem
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowoWykład 3: Transformata Fouriera
Rchunek prwdopodobieństw MAP64 Wydził Elektroniki, rok kd. 28/9, sem. letni Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 3: Trnsformt Fourier Złóżmy, że f(t) jest określon n R, ogrniczon, okresow o okresie 2T i
Bardziej szczegółowoXI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:
XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn. 1.1. Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon
Bardziej szczegółowoN(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Bardziej szczegółowoO SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx
O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna ISIM II
Anliz mtemtyczn ISIM II Ryszrd Szwrc Spis treści Cłki niewłściwe 3. Cłki niewłściwe z funkcji nieujemnych............ 9.2 Cłki i szeregi........................... 2.3 Cłki niewłściwe z osobliwością w
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii
Bardziej szczegółowoPlan wykładów z Matematyki, I 2014/2015 semestr zimowy. (a) Podstawowe funkcje: pierwiastki, funkcja potęgowa, logarytm.
Pln wykłdów z Mtemtyki, I 014/015 semestr zimowy 1. Powtórk i widomości wstępne. () Podstwowe funkcje: pierwistki, funkcj potęgow, logrytm. (b) Trygonometri. (c) Dwumin Newton, przystość funkcji.. Rchunek
Bardziej szczegółowo< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoPiotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka
Zchodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Piotr Stefnik Mteriły uzupełnijące do wykłdu Mtemtyk dl studentów Wydziłu Nuk o Żywności i Rybctwie Szczecin, 3 grudni 208 Spis treści Mcierze i
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Bardziej szczegółowoZestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy
Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne
Bardziej szczegółowoWszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Mtemtyk 1 Šuksz Dwidowski Instytut Mtemtyki, Uniwersytet l ski Cªk oznczon Niech P = [, b] R b dzie przedziªem. Podziªem przedziªu P b dziemy nzywli k»d sko«czon rodzin Π = {P 1, P 2,..., P m } tkich przedziªów,»e
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowo3. F jest lewostronnie ciągła
Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II
Uniwersytet Jn Kochnowskiego w Kielcch Wydził Mtemtyczno-Przyrodniczy Instytut Mtemtyki Dr hb. prof. UJK Grzegorz Łysik Anliz Mtemtyczn II Skrypt wykłdów Kielce, 212. 1 1 Funkcje wielu zmiennych 1.1 Przestrzeń
Bardziej szczegółowoMatematyka II dla Wydziału Zarządzania
Mtemtyk II dl Wydziłu Zrządzni nottki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudk Uniwersytet Wrszwski Wydził Zrządzni Podręczniki. Bżńsk T., Krwowsk I., Nykowsk M., Zdni z mtemtyki. Podręcznik dl studiów ekonomicznych,
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoCałkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowo2 Całka oznaczona-cd Rozdrobnienia podziałów Warunki równoważne całkowalności Własności funkcji całkowalnych...
Spis treści Uzupełnieni do wykłdu. (4 III 200) 2. Jednostjn ciągłość funkcji.................... 2.2 Cłk Riemnn (heurez)..................... 3.3 Cłk Riemnn -konstrukcj................... 4.4 Przykłdy
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Funkcje Γ i B Eulera oraz ich zastosowania
Rozdził Cłki niewłściwe. Funkcje Γ i B Euler orz ich zstosowni W tym rozdzile omówimy pojęcie cłki niewłściwej. Zjmiemy się też dwom brdzo wżnymi konkretnymi typmi tkich cłek: funkcjmi Γ (gmm i B (bet
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.
Metody numeryczne Cłkownie Jnusz Szwbiński szwbin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/2002 10:07 p.1/69 Cłkownie numeryczne 1. Kilk uwg ogólnych 2. Kwdrtury Newton Cotes
Bardziej szczegółowoMetoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoWykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1
Algebr WYKŁAD 6 ALGEBRA Ogóln postć ukłdu równń liniowych Rozwżmy ukłd m równń liniowych z n niewidomymi m m n n mn n n n b b b m o współczynnikch ik orz b i. Mcierz ukłdu równń wymiru m n m postć A m
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowo