Metody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.

Transkrypt

1 Metody numeryczne Cłkownie Jnusz Szwbiński nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.1/69

2 Cłkownie numeryczne 1. Kilk uwg ogólnych 2. Kwdrtury Newton Cotes 3. Metod Romberg 4. Kwdrtury Guss 5. Trudności i możliwości w cłkowniu numerycznym 6. Cłkownie metodą Monte Crlo nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.2/69

3 Kilk uwg ogólnych (1) Problem: Możliwe rozwiznie: dxg(x) (, b - pewne skończone wrtości) zstąp g(x) przez funkcję interpolującą ϕ(x) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.3/69

4 Kilk uwg ogólnych (2) Niech x k, k = 0,..., n - węzły interpolcji ϕ(x) - wielomin interpolcyjny Lgrnge ϕ(x) = n k=0 g(x k )Φ k (x) gdzie Φ k (x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x k 1 )(x x k+1 )... (x x n ) (x k x 0 )(x k x 1 )... (x k x k 1 )(x k x k+1 )... (x k x n ) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.4/69

5 Kilk uwg ogólnych (3) dxg(x) = dxϕ(x) = n g(x k ) k=0 n dx Φ k (x)g(x k ) k=0 dxφ k (x) n A k g(x k ) k=0 Jeśli g(x) ϕ(x) < ɛ i x [, b], to dxg(x) n k=0 A k g(x k ) = dx(g(x) ϕ(x)) ɛ(b ) cłkę możemy obliczyć z dowolną dokłdnością, jeżeli tylko g(x) dje się przybliżyć dowolnie dokłdnie. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.5/69

6 Kilk uwg ogólnych (4) Definicj Wyrżenie dxg(x) n k=0 A k g(x k ), x [, b] nzywmy kwdrturą. Argumenty x k nzywmy węzłmi kwdrtury. Niech I(g) = n dxg(x), S(g) = A k g(x k ) Definicj Błędem przybliżeni cłki I(g) sumą S(g) nzywmy E(g) = S(g) I(g) k=0 nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.6/69

7 Kilk uwg ogólnych (5) Definicj Mówimy, że kwdrtur jest rzędu r, jeżeli () I(W ) = S(W ) dl wszystkich wielominów W (x) stopni mniejszego niż r, (b) istnieje wielomin stopni r (r 1) tki, że I(W ) S(W ). nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.7/69

8 Kilk uwg ogólnych (6) Twierdzenie 1 Kwdrtur n dxg(x) k=0 A k g(x k ), x [, b] jest zbieżn dl kżdej funkcji f(x) C([, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. jest on zbieżn dl kżdego wielominu, 2. istnieje liczb M niezleżn od N tk, że N k=0 A k M dl n = 1, 2,.... nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.8/69

9 Kilk uwg ogólnych (7) Niech g(x) = p(x)f(x) Wówczs (zstępując f(x) wielominem Lgrnge ) dxg(x) = dxp(x)f(x) = k=0 A k f(x k ) gdzie A k = dxp(x)φ k (x) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.9/69

10 Kilk uwg ogólnych (8) Twierdzenie 2 Rzd kwdrtury dxp(x)f(x) = k=0 A k f(x k ) wynosi co njmniej N + 1. A k = dxp(x)φ k (x) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.10/69

11 Kilk uwg ogólnych (9) Dowód Niech g(x) - wielomin stopni co njwyżej N. Jeżeli wielomin ten zpiszemy w postci wielominu interpolcyjnego Lgrnge W N z węzłmi x 0,... x n, to I(g) = I(W N ) = S(W N ) = S(g), czyli rząd kwdrtury rzeczywiście wynosi co njmniej N + 1. Złóżmy terz, że rząd kwdrtury wynosi N + 1. Jest on wtedy dokłdn dl wszystkich wielominów stopni mniejszego niż N, ztem również dl wielominów g(x) = Φ i (x). Stąd I(Φ i ) = dxp(x)φ i (x) = N k=0 A k Φ i (x k ) = A i nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.11/69

12 Kwdrtury Newton Cotes Niech x k = + kh, h = b n, k = 0, 1,..., n Zstępując funkcję podcłkową wielominem interpolcyjnym otrzymmy gdzie (x = + sh) dxf(x) n A k f(x k ), k=0 A k = dxφ k (x) = dx n i=0 i k x x n i = h ds x k x i 0 n i=0 i k s i k 1 hα k nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.12/69

13 Wzór trpezów (1) Dl n = 1 mmy α 0 = 1 wzór trpezów 0 ds s = 1 2, α 1 = 1 0 ds s = 1 2 dxf(x) h 1 k=0 α k f(x k ) = h 2 [f 0 + f 1 ] nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.13/69

14 Wzór trpezów (2) Jeśli f(x) C 2 ([, b]), błąd interpolcji wielominem stopni n wynosi: Stąd ɛ(x) M n+1 (n + 1)! ω n(x), E(f) = 1 12 h3 f (2) (ξ 1 ), ξ 1 (, b), h = b nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.14/69

15 Wzór trpezów (3) Y f(x) W 1(x) h b X nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.15/69

16 Wzór Simpson (1) Dl n = 2 mmy α 0 = α 1 = α 2 = ds s ds s ds s s = 1 3 s = 4 3 s = 1 3 czyli dxf(x) h 3 [f 0 + 4f 1 + f 2 ] nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.16/69

17 Wzór Simpson (2) Błąd przybliżonej wrtości cłki wynosi: gdzie ξ 1 (, b), h = b 2 E(f) = 1 90 h5 f (4) (ξ 1 ), nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.17/69

18 Wzór Simpson (3) Y f(x) W (x) 2 h +b 2 b X nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.18/69

19 Inne wzory Newton Cotes (1) Ogólnie dl wszystkich n nturlnych: dxf(x) f n k=0 α k f k = b nt k=0 σ k f k, przy czym h = b n t jest dobrne tk, by liczby σ k = tα k były liczbmi cłkowitymi Dl f C ([, b]): E(f) = h p+1 Kf (p) (ξ) gdzie ξ (, b), p i K zleżą od n nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.19/69

20 Inne wzory Newton Cotes (2) n σ k nt Błąd Nzw h f (2) (ξ) wzór trpezów h f (4) (ξ) wzór Simpson h f (4) (ξ) wzór "trzech ósmych" h f (6) (ξ) wzór Milne h f (6) (ξ) h f (8) (ξ) wzór Weddle Dl większych wrtości n pojwiją się współczynniki ujemne wzory przestją być numerycznie użyteczne (kwdrtur nie zwsze jest zbieżn) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.20/69

21 Kwdrtury złożone Newton Cotes Błąd kwdrtur Newton Cotes jest proporcjonlny do pewnej potęgi długości przedziłu cłkowni jeżeli przedził cłkowni jest duży, kwdrtur (nwet niskiego stopni) może nie zpewnić żdnej dokłdności Wyjście: 1. podziel przedził cłkowni [, b] n pewną liczbę podprzedziłów, 2. w kżdym podprzedzile zstosuj kwdrturę niskiego rzędu i zsumuj wyniki. Definicj Kwdrturę będącą sumą kwdrtur nzywmy kwdrturą złożoną. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.21/69

22 Złożony wzór trpezów (1) Stosując wzór trpezów dl przedziłu [x i, x i+1 ] otrzymujemy Stąd S(f) = = h S i (f) = h 2 [f i + f i+1 ] n 1 i=0 S i (f) = n 1 i=0 h 2 [f i + f i+1 ] ( f0 2 + f f n 1 + f n 2 ) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.22/69

23 Złożony wzór trpezów (2) Jeżeli f(x) C 2 ([, b]), to E(f) = h3 12 n 1 i=0 f (2) (ξ i ) = (b )3 12n 2 1 n n 1 i=0 f (2) (ξ i ) Czynnik 1 n 1 n i=0 f (2) (ξ i ) jest średnią rytmetyczną wrtości drugiej pochodnej w punktch ξ i E(f) = (b )3 12n 2 f (2) (ξ) błąd kwdrtury złożonej jest dużo mniejszy niż odpowiedniej kwdrtury prostej zwiększjąc liczbę węzłów możemy dowolnie zmniejszć błąd nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.23/69

24 Złożony wzór Simpson (1) Niech h = b n, n przyste W kżdym z podprzedziłów [x 2i, x 2i+2 ] stosujemy wzór Simpson: Stąd wynik: S(f) = n 2 1 i=0 S 2i (f) = h 3 [f 2i + 4f 2i+1 + f 2i+2 ] S 2i (f) = h 3 [f 0 + f n + 2(f 2 + f f n 2 ) + 4(f 1 + f f n 1 )] nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.24/69

25 Złożony wzór Simpson (2) Błąd tej kwdrtury wynosi E(f) = o ile tylko f(x) C 4 ([, b]). (b )5 180n 4 f (4) (ξ), ξ (, b) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.25/69

26 Złożony wzór Simpson (3) Przykłd DOUBLE PRECISION FUNCTION SIMPSON(A,XDEL,N) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DIMENSION A(1) N1=N-1 XINT=A(1) P=2.D0 PH=-2.D0 DO 10 I=2,N1 PH=-PH P=P+PH 10 XINT=XINT+A(I)*P XINT=(XINT+A(N))*XDEL/3.D0 RETURN END nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.26/69

27 Złożony wzór Simpson (4) Przykłd 1 0 dx exp(x) n Wzór trpezów Wzór Simpson 4 1, , , , , , , , , , Dl porównni, dokłdny wynik to 1 0 dxex = 1, nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.27/69

28 Metod Romberg (1) Twierdzenie 3 (wzór sumcyjny Euler-Mclurin) Jeżeli f C 2m+1 ([, b]), to złożony wzór trpezów m rozwinięcie: T (h) = dxf(x) + τ 1 h τ m h 2m + α m+1 (h)h 2m+2, gdzie τ i s stłymi niezleżnymi od h, α m+1 (h) jest funkcj ogrniczon zmiennej h, tzn. α m+1 M < dl kżdego h = b n (n cłkowite). nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.28/69

29 Metod Romberg (2) Dowód Niech h = b. Zmist funkcji f(x) rozwżmy n funkcję Dlej, rozwżmy cłkę g(t) = f( + th). 1 0 dts 1 (t)g (t) gdzie S 1 (t) - funkcj o okresie 1, złożon kwłkmi liniowo z wielominu Bernoulliego B 1 (x) = x 1 2. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.29/69

30 Metod Romberg (3) Dowód (ciąg dlszy) Poniewż zchodzi B k(x) = kb k 1 (x), k B 0 (x) = 1 dxb k (x) = 0 więc cłkując przez części otrzymmy 1 0 dts 1 (t)g (t) = 1 0 dtb 1 (t)g (t) = 1 2 [g(1) + g(0)] 1 0 dtg(t) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.30/69

31 Metod Romberg (4) Dowód (ciąg dlszy) Podobnie i+1 i dts 1 (t)g (t) = 1 0 dl i = 0, 1,..., n 1. Ztem dtb 1 (t)g (t + i) = 1 2 [g(i + 1) + g(i)] i+1 i dtg(t) g(0) 2 +g(1)+...+g(n 1)+ g(n) 2 n 0 dtg(t) = n 0 dts 1 (t)g (t) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.31/69

32 Metod Romberg (5) Dowód (ciąg dlszy) Cłkując 2m rzy przez części otrzymmy k=1 n g(0) g(n) + g(1) g(n 1) + dtg(t) m = ( 1) k+1 B k [ g (2k 1) (n) g (2k 1) (0) ] + R m+1 (2k)! z resztą R m+1 = 1 (2m + 2)! n 0 dt[s 2m+2 (t) S 2m+2 (0)]g (2m+2) (t) Przy tym B k = ( 1) k+1 B 2k (0) to tzw. liczby Bernoulliego. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.32/69

33 Metod Romberg (6) Dowód (ciąg dlszy) Poniewż g(t) = f( + th), więc mmy n 0 dtg(t) = 1 h dxf(x) g (k) (t) = h k f (k) ( + th), k = 0, 1,... orz g(0) 2 g(n) + g(1) g(n 1) f( + h) f(b h) + f(b) 2 = f() 2 = T (h) h. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.33/69

34 Metod Romberg (7) Dowód (ciąg dlszy) Stąd wynik T (h) = gdzie dxf(x) + τ 1 h τ m h 2m + α m+1 (h)h 2m+2, τ k = ( 1)k+1 B k [f (2k 1) (b) f (2k 1) ()], k = 1,..., m, (2k)! 1 b [ ( ) ] x α m+1 (h) = dxf (2m+2) (x) S 2m+2 S 2m+2 (). (2m + 2)! h S 2m+2 jest ciągłą funkcją okresową, istnieje więc kres górny dl α m+1 (h) niezleżny od h. Tym smym twierdzenie jest udowodnione. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.34/69

35 Metod Romberg (8) Dzielimy [, b] n 2 i równych części (i = 0, 1,...): Złożony wzór trpezów: [ 2i T 0,i = h i h i = b 2 i x i,k = + kh i f i,k = f(x i,k ) k=0 f i,k 1 2 (f() f(b)) ] nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.35/69

36 Metod Romberg (9) Mmy I(f) T 0,i = k=1 τ 0,k h 2k i wyrz wiodący błędu jest rzędu h 2 i Niech Wówczs T 1,i = T 0,i+1 + T 0,i+1 T 0,i I(f) T 1,i = 1 3 k=1 τ 0,k (2 2 h 2k i+1 h 2k i ) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.36/69

37 Metod Romberg (10) Wprowdźmy wielkość τ 1,k = 1 3 ( ) k τ 0,k Poniewż τ 1,1 = 0, otrzymujemy I(f) T 1,i = k=2 τ 1,k h 2k i wiodący wyrz błędu jest rzędu h 4 i nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.37/69

38 Metod Romberg (11) Ogólnie T m,i = T m 1,i+1 + T m 1,i+1 T m 1,i 2 2m 1 Jeżeli f(x) C 2m+2 ([, b]), to I(f) T m,i = Ch 2m+2 f (2m+2) (ξ), gdzie ξ (, b), C jest pewną stłą. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.38/69

39 Metod Romberg (12) T m,i możn przedstwić w postci kombincji liniowej T 0,1,..., T 0,m+i, ztem T m,i = h 2 m+i j=0 d m,j f( + jh), h = b 2 m+i d m,j są dodtnie dl wszystkich m, j T m,i są zbieżnymi kwdrturmi o węzłch równoodległych nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.39/69

40 Metod Romberg (13) T 0,0 T 0,1 T 1,0 T 0,2 T 1,1 T 2,0 T 0,3 T 1,2 T 2,1 T 3,0 T 0,4 T 1,3 T 2,2 T 3,1 T 4,0 T 0,5 T 1,4 T 2,3 T 3,2 T 4,1 T 5, elementy pierwszej kolumny ze złożonego wzoru trpezów po obliczeniu m pierwszych elementów z 1. kolumny możemy wyznczyć m pierwszych wierszy n ogół zbieżność ciągu T m,0 szybsz niż T 0,m nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.40/69

41 Wielominy ortogonlne (1) Niech {P n (x)} n=0 - ciąg wielominów ortogonlnych z wgą p(x) n przedzile [, b] P n (x) - wielomin stopni n (P r, P s ) = dxp(x)p r (x)p s (x) = 0, r s nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.41/69

42 Wielominy ortogonlne (2) Twierdzenie 4 Wielominy ortogonlne n przedzile [, b] mj tylko pierwistki rzeczywiste, jednokrotne, leżce w (, b). Dowód Złóżmy, że pierwistki wielominu P k (x) nie spełniją powyższych wrunków. Niech ξ 1,..., ξ m będą rzeczywistymi, różnymi pierwistkmi wielominu z przedziłu (, b) o nieprzystych krotnościch. Mmy m < k. Niech W (x) = (x ξ 1 )... (x ξ m ) Przedstwmy W (x) w postci kombincji liniowej wielominów P 0 (x),..., P m (x): W (x) = 0 P 0 (x) m P m (x) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.42/69

43 Wielominy ortogonlne (3) Dowód (ciąg dlszy) Mmy (W, P k ) = m<k i (P i, P k ) = 0. i=0 Z drugiej strony W (x)p k (x) 0 w przedzile [, b], ztem (W, P k ) > 0, co prowdzi do sprzeczności. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.43/69

44 Wielominy ortogonlne (4) Przykłd W przedzile [, b] = [ 1, 1] wielominmi ortogonlnymi z wgą p(x) = 1 są wielominy Legendre P n (x) = 1 2 n n! d n dx n (x2 1) n nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.44/69

45 Wielominy ortogonlne (5) Przykłd W przedzile [, b] = [ 1, 1] ciąg wielominów ortogonlnych z wgą p(x) = (1 x) α (1 + x) β, (α, β > 1) tworzą wielominy Jcobiego: J n (x; α, β) = ( 1)n 2 n n! (1 x) α β dn (1+x) dx n [(1 x)α+n (1+x) β+n ] W szczególności, gdy α = β = 1, mówimy o wielominch 2 Czebyszew pierwszego rodzju: T n (x) = cos( rccos x) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.45/69

46 Wielominy ortogonlne (6) Przykłd Wielominy Lguerre L n (x) = ( 1) n e x dn dx n (xn e x ) są wielominmi ortogonlnymi z wgą p(x) = e x w przedzile [0, ). Przykłd Wielominy Hermite H n (x) = ( 1) n e x2 dn dx n e x2 są wielominmi ortogonlnymi z wgą p(x) = e x2 n przedzile (, ). nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.46/69

47 Kwdrtury Guss (1) Szukmy kwdrtury S(f) = N A k f(x k ) A k = k=0 o njwyższym możliwym rzędzie dxp(x)φ k (x) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.47/69

48 Kwdrtury Guss (2) Twierdzenie 5 Nie istnieje kwdrtur postci S(f) = A k = N A k f(x k ) k=0 dxp(x)φ k (x) rzędu wyższego niż 2(N + 1). nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.48/69

49 Kwdrtury Guss (3) Dowód Niech W (x) = ωn+1 2 (x), gdzie Mmy ω N+1 (x) = (x x 0 )... (x x N ). I(W ) = S(W ) = dxp(x)w (x) > 0 N A k W (x k ) = 0 k=0 Istnieje ztem wielomin stopni 2(N + 1), dl którego kwdrtur nie jest dokłdn. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.49/69

50 Kwdrtury Guss (4) Twierdzenie 6 Niech p(x) będzie funkcj wgow dodtni w przedzile [, b]. Jeżeli punkty x 0,..., x N s pierwistkmi wielominu P N+1 (x) z cigu wielominów ortogonlnych n [, b] z wg p(x), to kwdrtur S(f) = A k = N A k f(x k ) k=0 dxp(x)φ k (x) jest rzędu 2(N + 1). nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.50/69

51 Kwdrtury Guss (5) Dowód Niech W (x) - wielomin stopni 2N + 1 Q(x) - ilorz z dzieleni W (x)/p N+1 (x) R(x) - reszt z dzieleni W (x)/p N+1 (x) W (x) = Q(x)P N+1 (x) + R(x) Q(x) orz R(x) mją stopień N, ztem z wrunku ortogonlności otrzymmy dxp(x)w (x) = = dxp(x)q(x)p N+1 (x) + dxp(x)r(x) dxp(x)r(x) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.51/69

52 Kwdrtury Guss (6) Dowód (ciąg dlszy) Pondto N i=0 A i f i = N i=0 A i {Q(x i )P N+1 (x i ) + R(x i )} = N i=0 A i R(x i ) poniewż P N+1 (x i ) = 0. Kwdrtur jest co rzędu co njmniej (N + 1), więc jest dokłdn dl R(x), N i=0 co kończy dowód. A i R(x i ) = dxp(x)r(x), nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.52/69

53 Kwdrtury Guss (7) Twierdzenie 7 Wszystkie współczynniki A k w kwdrturch Guss s dodtnie. Dowód Rozwżmy wielomin stopni 2N R i (x) = [(x x 0 )... (x x i 1 )(x x i+1 )... (x x N )] 2 gdzie i = 0, 1,..., N. Mmy 0 < dxp(x)r i (x) = k=0 R i (x k ) = A i R i (x i ) więc rzeczywiście współczynniki A i muszą być dodtnie. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.53/69

54 Kwdrtury Guss (8) kwdrtury Guss są zbieżne dl kżdej funkcji ciągłej Jeżeli f C 2N+2 ([, b]), to E(f) = 1 (2N + 2)! f (2N+2) (ξ) dxp(x)ω 2 N+1(x), przy czym ξ (, b). nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.54/69

55 Kwdrtury Guss-Legendre (1) Niech p(x) = 1 orz [, b] = [ 1, 1] wielominmi ortogonlnymi są wielominy Legendre Współczynniki i błąd kwdrtury Guss Legendre wyrżją się wzormi A k = 2 (N + 2)P N+2 (x k )P N+1 (x k) E(f) = 2 2N+3 [(N + 1)!] 4 (2N + 3)[(2N + 2)!] 3 f (2N+3) (ξ) gdzie 1 < ξ < 1 orz x k - pierwistki wielominu P N+1 (x) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.55/69

56 Kwdrtury Guss-Legendre (2) W przypdku dowolnego przedziłu cłkowni [, b]: dtf(t) = b 1 ( b dxf x + b + ) 2 b N A k f(t k ), 2 gdzie k=0 t k = b 2 x k + b + 2 i x k zdefiniowne jest jk powyżej nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.56/69

57 Kwdrtury Guss-Legendre (3) N k Węzły x k Współczynniki A k 1 0 x 0 = 0, A 0 = 1 1 x 1 = 0, A 1 = x 0 = 0, A 0 = 5/9 1 x 1 = 0 A 1 = 8/9 2 x 2 = 0, A 2 = 5/9 3 0 x 0 = 0, A 0 = 0, x 1 = 0, A 1 = 0, x 2 = 0, A 2 = 0, x 3 = 0, A 3 = 0, nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.57/69

58 Kwdrtury Guss-Legendre (4) Przykłd Obliczyć cłkę 0,25 0,25 dxe x dl N = 1. Mmy 0,25 0,25 dxe x 1 4 [ ( x0 ) exp 4 + exp ( x1 4 )] = 1 [exp( 0, ) + exp(0, )] 4 = 0, Dl porównni, wynik dokłdny jest równy 2 sinh 0, 25 = 0, nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.58/69

59 Kwdrtury Guss-Legendre (5) Przykłd Dl N = 2 mmy 1 0 dxe x = 1, Ciekwostk Pod dresem możn obliczyć węzły i wgi kwdrtury Guss Legendre on line. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.59/69

60 Trudności i możliwości w cłkowniu numerycznym (1) Jeśli funkcj podcłkow jest osobliw lub prwie osobliw, spróbuj zmodyfikowć problem. Środki zrdcze: zmin zmiennych cłkownie przez części wyłącznie łtwo cłkowlnego skłdnik zwierjącego osobliwości (uwg: możliwe znoszenie się skłdników!) specjlne wzory cłkowe (konstruowne metodą czynników nieoznczonych) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.60/69

61 Trudności i możliwości w cłkowniu numerycznym (2) Przykłd Niech I(f) = 1 0 dx xe x. Funkcj podcłkow jest nieskończon dl x = 0. Niech x = t 2. Wówczs I(f) = dt exp(t 2 ) i cłk t dje się już łtwo obliczyć numerycznie. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.61/69

62 Cłkownie metod Monte Crlo (1) f(x) - funkcj cłkowln w [, b] Szukmy cłki dxf(x) = dx ( ) f(x) h(x) h(x) Ale dx ( ) f(x) h(x) = h(x) f(x), h(x) jeżeli tylko h(x) m włsności gęstości prwdopodobieństw n przedzile [, b], tzn. dxh(x) = 1. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.62/69

63 Cłkownie metod Monte Crlo (2) Metod Monte Crlo: wybierz losowo M punktów x i o rozkłdzie h(x) n podstwie tej próbki utwórz wrtość średnią funkcji f(x) h(x) w przedzile [, b] dx ( ) f(x) h(x) 1 h(x) M M i=1 ( ) f(xi ) h(x i ) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.63/69

64 Cłkownie metod Monte Crlo (3) Twierdzenie 8 (Prwo wielkich liczb) Niech x 1,..., x M będ zmiennymi losowo wybrnymi zgodnie z funkcj gęstości prwdopodobieństw h(x), spełnijc wrunek dxh(x) = 1. Zkłdmy, że istnieje cłk I = dxh(x)g(x). Wówczs dl kżdego ɛ > 0 { lim M P I ɛ 1 M M i=1 g(x i ) I + ɛ } = 1 nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.64/69

65 Cłkownie metod Monte Crlo (4) Twierdzenie 9 (Mocne prwo wielkich liczb) { } 1 M P lim g(x i ) = I = 1 M M Twierdzenie 10 i=1 E(f) 1 M nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.65/69

66 Cłkownie metod Monte Crlo (5) Próbkownie bezpośrednie (x i są równomiernie rozłożone w cłym przedzile [, b]): h(x) = 1 b Stąd dx ( ) f(x) h(x) b h(x) M M i=1 ( ) f(xi ) h(x i ) nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.66/69

67 Cłkownie metod Monte Crlo (6) Przykłd Obliczmy cłkę 1 0 dx exp{ 30x 2 } metodą Monte Crlo, stosując dwie różne funkcje rozkłdu prwdopodobieństw: h 1 (x) = h 2 (x) = 1 = 1, x [0, 1] b 2, 0 x 1 2 0, x > 1 2 nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.67/69

68 Cłkownie metod Monte Crlo (7) I(f) 0,19 0,18 0,17 0,16 0,15 0,14 rozkld równomierny 0, M e+05 0,19 0,18 0,17 rozkld "dopsowny" do f(x) I(f) 0,16 0,15 0,14 0, M e+05 nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.68/69

69 Cłkownie metod Monte Crlo (8) 1 f(x)=exp{ 30x 2 } 0,8 f(x)=exp{ 30x 2 } 0,6 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 x nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/ :07 p.69/69