Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Transkrypt

1 Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki Politechnik Biłostock AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 1/38

2 PodziłP przedziłu,b x 1 x 2 x 3 x k x n =x 0 x 1 x 2 x 3... x k 1 x k... x n 1 x n =b x 1 x 2 x 3 x k x n =x 0 <x 1 <x 2 <...<x n 1 <x n =b. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 2/38

3 Pojęci wstępne zwizne z podziłem przedziłu Niech f będzie funkcją ogrniczoną n przedzile,b. PodziłP przedziłu,b : =x 0 <x 1 <x 2 <...<x n 1 <x n =b. Długośćk-tego podprzedziłu: x k =x k x k 1 Średnic podziłup (długość njdłuższego podprzedziłu): δ(p)=mx 1 k n x k Punkt pośredni podziłu (dowolny punkt zk-tego podprzedziłu):x k x k x k 1,x k. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 3/38

4 Sum cłkow Niech funkcjf będzie ogrniczon n przedzile,b orz niechp będzie podziłem tego przedziłu, A def ={x 1,x 2,...,x n} zbiorem punktów pośrednich. Sum cłkow z funkcjif n przedzile,b odpowidjc podziłowip i punktom pośrednimanzywmy liczbę n k=1 f(x k ) x k. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 4/38

5 Sum cłkow - interpretcj geometryczn y (x 3,f(x 3 )) y=f(x) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 =x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 =b x AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 5/38

6 Sum cłkow - interpretcj geometryczn y y=f(x) =x 0 x n =b n=18 x AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 5/38

7 Sum cłkow - interpretcj geometryczn y y=f(x) =x 0 x n =b n=30 x AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 5/38

8 Sum cłkow - interpretcj geometryczn y y=f(x) =x 0 x n =b n=60 x AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 5/38

9 Sum cłkow - interpretcj geometryczn y y=f(x) =x 0 x n =b n=100 x AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 5/38

10 Sum cłkow - interpretcj geometryczn y y=f(x) =x 0 x n =b n=600 x AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 5/38

11 Interpretcj geometryczn sumy cłkowej Jeżeli funkcjf przyjmuje wrtości nieujemne n przedzile,b, to sum cłkow jest przybliżeniem pol trpezu krzywoliniowego ogrniczonego wykresem funkcjif, osiąox i prostymix=,x=bprzez sumę pól prostokątów o podstwch x k i wysokościchf(x k), gdzie1 k n. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 6/38

12 Cłk oznczon Riemnn Niech funkcjf będzie ogrniczon n przedzile,b. Cłk oznczon Riemnn z funkcjif n przedzile,b nzywmy liczbę, którą oznczmy symbolem definiujemy wzorem: f(x)dx i f(x)dx def = lim δ(p) 0 n k=1 f(x k ) x k, o ile grnic po prwej stronie znku równości jest włściw i nie zleży od sposobu podziłup przedziłu,b ni od sposobu wyboru punktów pośrednichx k, gdzie1 k n. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 7/38

13 Cłk oznczon Riemnn Przyjmujemy: f(x)dx def =0, b f(x)dx def = f(x)dx, dl<b. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 8/38

14 Interpretcj geometryczn cłki Riemnn Niechf będzie funkcją ciągłą i nieujemną n przedzile,b. Wówczs f(x)dx jest równ polu figury ogrniczonej wykresem funkcjif, osiąox orz prostymix= ix=b. y y=f(x) f(x)dx= D x b D={(x,y): x b 0 y f(x)} AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 9/38

15 Interpretcj geometryczn cłki Riemnn y f(x)dx= D b x y=f(x) D={(x,y): x b f(x) y 0} AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 10/38

16 Twierdzenie Newton-Leibniz Jeżeli funkcjf jest ciągł n przedzile,b, to f(x)dx=f(x) b =F(b) F(), gdzief ozncz dowolną funkcję pierwotną funkcjif n tym przedzile. Przykłd: 1 0 (x 3 +1)dx= e x dx=... AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 11/38

17 Włsności cłki oznczonej Jeżeli funkcjef ig są cłkowlne n przedzile,b, to: (f(x)+g(x))dx= f(x)dx+ g(x)dx. (f(x) g(x))dx= f(x)dx g(x)dx. [c f(x)]dx=c f(x)dx,c R. Przykłd: 1 (2x 3e x )dx=... 0 AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 12/38

18 Twierdzenie o ddytywności cłki względem przedziłów cłkowni Jeżeli funkcjf jest cłkowln n przedzile,b orz c,b, to f(x)dx= c f(x)dx+ c f(x)dx. Przykłd: 1 1 x dx=... AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 13/38

19 Twierdzenie o cłkowniu przez części Jeżeli funkcjef ig mją ciągłe pochodne n przedzile,b, to f(x) g (x)dx=f(x) g(x) b f (x) g(x)dx. Przykłd: ln3 0 x e x dx=... π 0 x sinxdx=... e 1 ln 2 xdx=... AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 14/38

20 Twierdzenie o cłkowniu przez podstwienie Jeżeli 1 funkcjf jest ciągł n przedzile,b 2ϕ: α,β n,b m ciągłą pochodną n przedzile α,β, 3ϕ(α)=,ϕ(β)=b, to Przykłd: f(x)dx= β α f(ϕ(t))ϕ (t)dt. 1 x 1+xdx= xe x2 dx=... 0 AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 15/38

21 Wrtość średni funkcjif Wrtości średni funkcjif n przedzile,b nzywmy liczbę def fśr = 1 b f(x)dx. Uwg: Wrtość średni funkcjif n przedzile,b jest wysokości prostokąt o podstwie długościb, którego pole jest równe polu trpezu krzywoliniowego ogrniczonego wykresem funkcjif, osiąox orz prostymix=,x=b. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 16/38

22 Wrtość średni funkcjif y y=f(x) fśr b x AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 17/38

23 Wrtość średni funkcjif Przykłd. Poziom wody w zbiorniku wyrż się (w metrch) wzorem przybliżonymh(t)=10+2sin πt, gdzie0 t ozncz czs liczony w godzinch. Oblicz średni poziom wody w tym zbiorniku w czsie doby. Twierdzenie: Jeżeli funkcjf jest ciągł n przedzile,b, to w tym obszrze istnieje punktc (,b), tki że fśr =f(c), tzn. f(x)dx=(b )f(c). AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 18/38

24 Funkcj górnej grnicy cłkowni Niech funkcjf będzie cłkowln n przedzile,b orz niech c,b. Funkcję F(x)= x c f(t)dt, gdzie x, b, nzywmy funkcj górnej grnicy cłkowni. Twierdzenie: Jeżeli funkcjf jest cłkowln n przedzile,b, to funkcj górnej grnicy cłkownif(x)= x,b, jest ciągł n,b. x c f(t)dt, gdzie AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 19/38

25 Interpretcj geometryczn funkcji górnej grnicy cłkowni y y=f(x) F(x)=pole c x b x Uwg: Zuwżmy, że F(c) = 0. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 20/38

26 Funkcj górnej grnicy cłkowni Twierdzenie: Jeżeli funkcjf jest cłkowln n przedzile,b orz jest ciągł w punkciex 0,b, to funkcj górnej grnicy cłkowni F(x) = x włściwą w punkciex 0 orz c f(t)dt, gdziex,b, m pochodną F (x 0 )=f(x 0 ). AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 21/38

27 Zstosowni geometryczne cłek oznczonych Pole trpezu krzywoliniowego Niech funkcjef orzg będą ciągłe n przedzile,b orz niech f(x) g(x) dl kżdegox,b. Wtedy pole trpezu krzywoliniowegod ogrniczonego wykresmi funkcjif ig orz prostymix=,x=b wyrż sie wzorem: D = [g(x) f(x)]dx. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 22/38

28 Zstosowni geometryczne cłek oznczonych Pole trpezu krzywoliniowego D = [g(x) f(x)]dx y y=g(x) D y=f(x) b x D={(x,y): x b f(x) y g(x)} AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 23/38

29 Zstosowni geometryczne cłek oznczonych Pole trpezu krzywoliniowego Niech funkcjeporzq będą ciągłe n przedzile c,d orz niech p(y) q(y) dl kżdegoy c,d. Wtedy pole trpezu krzywoliniowegod ogrniczonego wykresmi funkcjipiq orz prostymi y = c, y = d wyrż sie wzorem: D = d c [q(y) p(y)]dy. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 24/38

30 Zstosowni geometryczne cłek oznczonych Pole trpezu krzywoliniowego D = y d c [q(y) p(y)]dy d x=p(y) c D x=q(y) x D={(x,y):c y d p(y) x q(y)} AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 25/38

31 Zstosowni geometryczne cłek oznczonych Długość łuku krzywej Niech funkcjf m ciągłą pochodną n przedzile,b. Wtedy długość łuku krzywejγ={(x,f(x)):x,b } wyrż sie wzorem: Γ = 1+[f (x)] 2 dx. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 26/38

32 Zstosowni geometryczne cłek oznczonych Długość łuku krzywej Γ = 1+[f (x)] 2 dx y Γ y=f(x) b x Γ={(x,f(x)):x,b } AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 27/38

33 Zstosowni geometryczne cłek oznczonych Objętość bryły obrotowej Niech funkcj nieujemnf będzie ciągł n przedzile,b. NiechT ozncz trpez krzywoliniowy ogrniczony wykresem funkcjif, osiąox orz prostymix=,x=b. Wtedy objętość bryłyv powstłej z obrotu trpezut wokół osi OX wyrż sie wzorem: V =π [f(x)] 2 dx. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 28/38

34 Zstosowni geometryczne cłek oznczonych Objętość bryły obrotowej V =π y [f(x)] 2 dx. y=f(x) b x AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 29/38

35 Zstosowni geometryczne cłek oznczonych Pole powierzchni obrotowej Niech funkcjf m ciągłą pochodną n przedzile,b. Wtedy pole powierzchniσpowstłej z obrotu wykresu funkcjif wokół osiox wyrż sie wzorem: Σ =2π f(x) 1+[f (x)] 2 dx. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 30/38

36 Zstosowni geometryczne cłek oznczonych Pole powierzchni obrotowej Σ =2π b f(x) 1+[f (x)] 2 dx. y y=f(x) b x AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 31/38

37 Cłki niewłściwe Niech funkcj f:, + ) R będzie cłkowln n przedziłch, T dl kżdego T >. Cłkę niewłściw pierwszego rodzju funkcji f n przedzile,+ definiujemy wzorem: + f(x)dx def = lim T + T f(x)dx. Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest skończon, to mówimy, że cłk niewłściw b f(x)dx jest zbieżn. Jeżeli grnic t jest równ+ lub, to mówimy, że cłk jest rozbieżn odpowiednio do+ lub. W pozostłych przypdkch mówimy, że cłk jest rozbieżn. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 32/38

38 Cłki niewłściwe Niech funkcj f:(, b R będzie cłkowln n przedziłch S, b dl kżdego S < b. Cłkę niewłściw pierwszego rodzju funkcji f n przedzile(,b definiujemy wzorem: f(x)dx def = lim S S f(x)dx. Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest skończon, to mówimy, że cłk niewłściw + f(x)dx jest zbieżn. Jeżeli grnic t jest równ+ lub, to mówimy, że cłk jest rozbieżn odpowiednio do+ lub. W pozostłych przypdkch mówimy, że cłk jest rozbieżn. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 33/38

39 Cłki niewłściwe Niech funkcjf: R R będzie cłkowln n przedziłch S,T dls,t, tkich że <S<T<+. Cłkę niewłściw pierwszego rodzju funkcji f n przedzile(,+ definiujemy wzorem: + f(x)dx def = f(x)dx+ + f(x)dx, gdzie R. Jeżeli obie cłki po prwej stronie znku równości są zbieżne, to mówimy, że cłk + f(x)dx jest zbieżn. Jeżeli jedn z tych cłek jest rozbieżn do lub+, drug jest zbieżn lbo rozbieżn odpowiednio do lub+, to mówimy, że cłk jest rozbieżn do lub+. W pozostłych przypdkch mówimy, że cłk t jest rozbieżn. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 34/38

40 Cłki niewłściwe Niech funkcj f:(, b R będzie nieogrniczon n prwostronnym sąsiedztwie punktuorz cłkowln n przedziłch +ε,b dl kżdego0<ε<b. Cłkę niewłściw drugiego rodzju funkcjif n przedzile(,b definiujemy wzorem: f(x)dx def = lim ε 0 + +ε f(x)dx. Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest skończon, to mówimy, że cłk niewłściw b f(x)dx jest zbieżn. Jeżeli grnic t jest równ+ lub, to mówimy, że cłk jest rozbieżn odpowiednio do+ lub. W pozostłych przypdkch mówimy, że cłk jest rozbieżn. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 35/38

41 Cłki niewłściwe Niech funkcj f:, b) R będzie nieogrniczon n lewostronnym sąsiedztwie punktuborz cłkowln n przedziłch,b ε dl kżdego0<ε<b. Cłkę niewłściw drugiego rodzju funkcjif n przedzile,b) definiujemy wzorem: f(x)dx def = lim ε 0 + b ε f(x)dx. Jeżeli grnic po prwej stronie znku równości jest skończon, to mówimy, że cłk niewłściw b f(x)dx jest zbieżn. Jeżeli grnic t jest równ+ lub, to mówimy, że cłk jest rozbieżn odpowiednio do+ lub. W pozostłych przypdkch mówimy, że cłk jest rozbieżn. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 36/38

42 Cłki niewłściwe Niech funkcjf:,b \{c} R, gdziec (,b), będzie nieogrniczon n obustronnych sąsiedztwch punktucorz cłkowln n przedziłch,c ε, c+ε,b dl kżdego0<ε<min{b c,c }. Cłkę niewłściw drugiego rodzju funkcjif n przedzile,b definiujemy wzorem: f(x)dx def = c f(x)dx+ f(x)dx. c Jeżeli obie cłki po prwej stronie znku równości są zbieżne, to mówimy, że cłk b f(x)dx jest zbieżn. Jeżeli jedn z tych cłek jest rozbieżn do lub+, drug jest zbieżn lbo rozbieżn odpowiednio do lub+, to mówimy, że cłk jest rozbieżn do lub+. W pozostłych przypdkch mówimy, że cłk t jest rozbieżn. AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 37/38

43 Dziękuję z uwgę AUTOMATYKA I ROBOTYKA, SEM. I, rok. kd. 2009/2010 Cłki oznczone str. 38/38