MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI"

Transkrypt

1 MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów A i B. Definicj 2. Rzeczywistą mcierzą prostokątną o m wierszch i n kolumnch nzywmy funkcję o wrtościch rzeczywistych określoną n iloczynie krtezjńskim {1, 2,..., m} {1, 2,..., n}. Mcierze oznczmy dużymi, pogrubionymi litermi lfbetu i zpisujemy w postci tblicy prostokątnej n n A = m1 m2 mn O tkiej mcierzy mówimy, że m wymir m n. Symbol ij ozncz element mcierzy (liczbę), który znjduje się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie. Często mcierze zpisujemy w postci skróconej A = [ ij ] i m,j n. Gdy m = n, mcierz nzywmy mcierzą kwdrtową stopni n. Definicj 3. Elementy ii mcierzy [ ij ] i,i n tworzą główną przekątną mcierzy zwną też digonlą, sme nzywne są elementmi digonlnymi. Definicj 4. Mcierzą zerową nzywmy mcierz 0 M (m,n), której wszystkie elementy są zermi. Uwg 1. Wymir mcierzy zerowej zwykle wynik z kontekstu Definicj 5. Mcierzą digonlną nzywmy mcierz kwdrtową spełnijącą wrunek: ij = 0, gdyi j. Oznczeni: M (m,n) (R)- zbiór mcierzy rzeczywistych o m wierszch i n kolumnch, M n (R) zbiór mcierzy rzeczywistych stopni n. Definicj 6. Niech A M (m,n). Mcierzą trnsponowną do mcierzy A = [ ij ] i m,j n nzywmy mcierz A T = [ ji ] j n,i n Definicj 7. Mcierzą digonlną nzywmy mcierz kwdrtową spełnijącą wrunek: ij = 0, gdyi j 1

2 Definicj 8. Mcierzą jednostkową (identycznościową) stopni n nzywmy mcierz digonlną, której wszystkie elementy n przekątnej są równe 1: n = dig(1, 1,..., 1) = Uwg 2. Mcierz jednostkową oznczmy 1 n. Kiedy 1 pojwi się bez indeksu, stopień mcierzy wynik z kontekstu. Często używ się też oznczeń I n orz I. Definicj 9. Mcierzą symetryczną nzywmy mcierz kwdrtową A, któr spełni wrunek A = A T, tzn., gdy ij = ji. i,j 1,...,n Definicj 10. Sumą mcierzy A = [ ij ] i m,j n orz B = [b ij ] i m,j n nzywmy mcierz A + B = [ ij + b i,j ] i m,j n Definicj 11. Iloczynem mcierzy A = [ ij ] i m,j n przez liczbę (rzeczywist lub zespoloną) k nzywmy mcierz k A = [k ij ] i m,j n Definicj 12. Iloczynem A B mcierzy A = [ ij ] i m,j p przez mcierz B = [b ij ] i p,j n nzywmy mcierz C = [c ij ] i m,j n której elementy określone są wzormi: c ij = p ik b kj i = 1,..., m, j = 1,..., n. k=1 Uwg 3. Aby pomnożyć dwie mcierze liczb kolumn pierwszej z nich musi być równ liczbie wierszy drugiej mcierzy! Twierdzenie 1. Dl dowolnych mcierzy rzeczywistych A, B, C orz stłych α, β R, prwdziwe są równości (zkłdmy, że wymiry mcierzy pozwlją n wykonnie wskznych dziłń): 1. A + B = B + A, 2. (A + B) + C = A + (B + C), 3. α (A + B) = α A + α B, 4. (α + β) A = α A + β A, 5. α (β A) = (αβ) A = β (α A), 6. 1 A = A 1 = A, 2

3 7. α (A B) = (α A) B = A (α B) = (A B) α, 8. (A B) C = A (B C), 9. (A + B) C = A C + B C, 10. C (A + B) = C A + C B, 11. A B B A 12. (A T ) T = A, 13. (A B) T = B T A T, Definicj 13. Niech A = [ ij ] i,j n będzie mcierzą rzeczywistą stopni n. Wyzncznikiem mcierzy A nzywmy liczbę deta określoną nstępująco: 1. deta = 11, gdy n = 1 2. deta = n k=1 ( 1) 1+k 1k A 1k, gdy n > 1, gdzie A 1k jest wyzncznikiem mcierzy stopni (n 1) powstłej z mcierzy A przez usunięcie pierwszego wiersz orz k-tej kolumny. Liczbę A ij = ( 1)i+j A ij nzywmy dopełnieniem lgebricznym elementu ij mcierzy A. Wyzncznik mcierzy stopni n nzywmy wyzncznikiem stopni n. Definicj 14. Mcierzą dopełnień lgebricznych mcierzy A M (n,n) (R) nzywmy mcierz A ij której elementmi są dopełnieni lgebriczne elementów mcierzy A [ ] i,j n Twierdzenie 2. (Lplce) Wrtość wyzncznik mcierzy kwdrtowej jest równ sumie iloczynów kolejnych elementów dowolnego wiersz (lub dowolnej kolumny) przez odpowidjące im dopełnieni lgebriczne. Twierdzenie 3. Jeżeli A i B są mcierzmi kwdrtowymi stopni n, to ( ) 1. det A T = deta, 2. det(a B) = det(b A) = det A det B. Twierdzenie 4. Wrtość wyzncznik jest równ zero, gdy 1. wszystkie elementy dowolnego wiersz (lub dowolnej kolumny) są równe zero lub 2. dw wiersze (lub dwie kolumny) są identyczne lub 3. wszystkie elementy pewnego wiersz (lub pewnej kolumny) są proporcjonlne do odpowiednich elementów innego wiersz (kolumny) lub 4. dowolny wiersz (lub dowoln kolumn) jest kombincją liniową pozostłych wierszy (kolumn). 3

4 Twierdzenie 5. Wyzncznik mcierzy trójkątnej dolnej (górnej) jest równy iloczynowi elementów digonlnych tej mcierzy (elementów leżących n głównej przekątnej). Twierdzenie 6. Wrtość wyzncznik nie zmieni się, gdy do elementów pewnego wiersz (lub pewnej kolumny) dodmy odpowiednie elementy innego wiersz (kolumny) pomnożone przez tę sm liczbę. Twierdzenie 7. Pomnożenie wyzncznik przez dowolną liczbę jest równowżne pomnożeniu przez tę liczbę dowolnego wiersz (lub dowolnej kolumny) tego wyzncznik. Definicj 15. Niech A, B M n (R). Mcierz B nzywmy mcierzą odwrotną do mcierzy A (odwrotną względem mcierzy A), gdy A B = B A = 1 n Uwg 4. Jeżeli mcierz B istnieje, to jest wyznczon jednozncznie. Definicj 16. Mcierzą nieosobliwą nzywmy mcierz kwdrtową, której wyzncznik jest rożny od zer. Definicj 17. Mcierzą osobliwą nzywmy mcierz kwdrtową, której wyzncznik jest równy zero. Twierdzenie 8. Mcierz kwdrtow A M n (R) posid mcierz odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliw. Twierdzenie 9. Jeżeli mcierz kwdrtow A M n (R) jest nieosobliw, to mcierz odwrotn A 1 M n (R) jest postci A 1 = 1 deta AD gdzie A D jest mcierzą dołączoną mcierzy A, czyli trnsponowną mcierzą dopełnień elementów mcierzy A. Rozwżmy równni A X = B A X = B A 1 A 1 A X = A 1 B 1 X = A 1 B X = A 1 B X A = B X A = B A 1 X A A 1 = B A 1 X 1 = B A 1 X = B A 1 4

5 UKŁADY RÓWNAŃ Definicj 18. Ukłdem m równń liniowych o n niewidomych nzywmy ukłd równń postci 11 x x n x n = b 1 21 x x n x n = b 2 (1)..... m1 x 1 + m2 x mn x n = b m Z ukłdem równń (1) związne są cztery wżne mcierze: mcierz współczynników przy niewidomych n n A = m1 m2 mn, mcierz niewidomych mcierz wyrzów wolnych orz mcierz uzupełnion U = X = B = x 1 x 2. x n b 1 b 2. b m, n b n b m1 m2 mn b m, któr powstje przez dopisnie do mcierzy współczynników kolumny mcierzy wyrzów wolnych. Uwg 5. Ukłd równń (1) możn równowżnie zpisć w postci równni mcierzowego A X = B. 5

6 Definicj 19. Ukłd równń (1), w którym mcierz B złożon jest z smych zer nzywmy jednorodnym. Twierdzenie 10. (Crmer) Ukłd n równń liniowych z n niewidomymi 11 x x 2 + 1n x n = b 1 21 x x 2 + 2n x n = b 2 (2)..... n1 x 1 + n2 x 2 + nn x n = b n m dokłdnie jedno rozwiąznie wtedy i tylko wtedy, gdy mcierz współczynników przy niewidomych jest nieosobliw. Rozwiąznie to wyrż się wzormi Crmer x i = A i deta i = 1, 2,..., n (3) gdzie A i jest wyzncznikiem mcierzy powstłej z mcierzy A przez zstąpienie i-tej kolumny kolumną wyrzów wolnych (mcierzą kolumnową B). Wniosek 1. Jednorodny ukłd n równń liniowych z n niewidomymi o nieosobliwej mcierzy współczynników przy niewidomych m dokłdnie jedno rozwiąznie. Jest to rozwiąznie zerowe. Definicj 20. Minorem stopni k mcierzy A M m,n (C), k min{m, n} nzywmy wyzncznik dowolnej mcierzy kwdrtowej stopni k powstłej przez usunięcie z mcierzy A (m k) wierszy i (n k) kolumn Definicj 21. Niech A M (m,n) (C). Rzędem mcierzy A nzywmy liczbę r, gdy w mcierzy tej istnieje niezerowy minor stopni r i jednocześnie nie istnieje w tej mcierzy niezerowy minor stopni wyższego niż r. Rząd mcierzy oznczmy r(a). Uwg 6. Wprost z definicji wynik, że jeśli mcierz A M (m,n) (C) (mcierz m m wierszy orz n kolumn), to 0 r(a) min{m, n}. Twierdzenie 11. Jeżeli r(a) = r, to r(a T ) = r. Twierdzenie 12. Rząd mcierzy nie zmieni się jeżeli: 1. usuniemy wiersz lub kolumnę złożoną z smych zer, 2. usuniemy jeden z dwóch identycznych lub proporcjonlnych wierszy, 3. usuniemy jedną z dwóch identycznych lub proporcjonlnych kolumn, 4. dodmy do elementów pewnego wiersz (lub kolumny) odpowiednie elementy innego wiersz (lub kolumny) pomnożone przez tę smą liczbę, 5. pomnożymy (lub podzielimy) elementy dowolnego wiersz (lub kolumny) przez dowolną liczbę różną od zer. 6

7 Twierdzenie 13. (Kronecker-Cpell) Ukłd równń zwierjący m równń orz n niewidomych m rozwiąznie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd mcierzy współczynników przy niewidomych jest równy rzędowi mcierzy uzupełnionej. Rozwiąznie to jest zleżne od liczby prmetrów równej różnicy pomiędzy liczbą niewidomych wspólnym rzędem mcierzy. W przypdku, gdy wspomnine rzędy są różne ukłd jest sprzeczny. Procedur wyznczni rozwiązni (rozwiązń) w przypdku, gdy istnieje jest nstępując: 1. ustlmy wspólny rząd r mcierzy współczynników A i mcierzy uzupełnionej U, 2. w mcierzy A znjdujemy różny od zer minor stopni r, 3. odrzucmy równni nie objęte tym minorem (jeśli minor obejmuje wszystkie równni, to oczywiście żdnego nie odrzucmy), 4. nieobjęte tym minorem niewidome trktujemy jko prmetry (jeśli minorem objęte są wszystkie prmetry, to ukłd m dokłdnie jedno rozwiąznie), 5. uzyskny w ten sposób ukłd równń rozwiązujemy dowolną metodą (np. stosując wzory Crmer). 7

8 Ciągi liczbowe Definicj 22. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg oznczmy krócej symbolem ( n ) lub 1, 2,... n.... Ciągi, których wyrzy są funkcjmi nzywmy ciągmi funkcyjnymi. Definicj 23. Ciąg liczbowy ( n ) nzywmy: stłym, jeżeli n+1 = n, rosnącym, jeżeli mlejącym, jeżeli n N nierosnącym, jeżeli niemlejcym, jeżeli n N n N n+1 > n, n N n+1 < n, n N n+1 n, n+1 n. Definicj 24. Ciąg liczbowy ( n ) nzywmy: ogrniczonym z dołu, jeżeli n m, m R n N ogrniczonym z góry, jeżeli M R n N n M, ogrniczonym, jeżeli m,m R n N m n M. Definicj 25. Ciąg n m grnicę włściwą g, jeżeli w kżdym otoczeniu (g ɛ, g + ɛ) liczby g, gdzie ɛ > 0, leżą prwie wszystkie wyrzy ciągu, tzn. wszystkie począwszy od pewnego wskźnik N 0. Fkt, że ciąg ( n ) m grnicę g zpisujemy lim n n = g lub n g. lim n n = g ɛ>0 N 0 N n>n 0 n g < ɛ. 8

9 Ciąg, który m grnicę włściwą nzywmy zbieżnym. Twierdzenie 14. Ciąg m co njwyżej jedn grnicę. Twierdzenie 15. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ogrniczony. Uwg 7. Jeżeli ciąg jest ogrniczony, to nie musi być zbieżny! Twierdzenie 16. Jeżeli ciąg jest ogrniczony i monotoniczny, to jest zbieżny. Definicj 26. lim n = + n M R K N n>k n > M lim n = n M R K N Twierdzenie 17. (o trzech ciągch) Jeżeli lim n = lim b n n n orz n c n b n, to istnieje grnic lim n c n orz n N n>k lim c n = lim n = lim b n. n n n n < M Twierdzenie 18. Jeżeli ciągi ( n ) i (b n ) mją grnice włściwe lim n = A, lim b n = B n n orz k R, to 1. lim n ( n + b n ) = A + B, 2. lim n ( n b n ) = A B, 3. lim n (k n) = k A, 4. lim n ( n b n ) = A B, ( n ) 5. lim = A n b n B, gdy b n 0 orz B 0. n N Twierdzenie 19. Jeżeli ciąg ( n ) jest zbieżny do zer i ciąg (b n ) jest ogrniczony, to ciąg i ( n b n ) jest zbieżny do zer. 9

10 Twierdzenie 20. Prwdziwe są wzory: 1. lim n qn = nie istnieje dl q 1, 0 dl q ( 1, 1) 1 dl q = 1, + dl q > 1., 2. lim n nα = 0 dl α < 0 1 dl α = 0, + dl α > 0., Twierdzenie 21. Prwdziwe są wzory: 1. lim >0 n n = 1, 2. lim n 3. ( n N n n k = 1, k > 0, n 0 lim n > 0 n ) lim n n n = 1. Twierdzenie 22. Jeżeli lim n N n = A orz lim n N b n = ±, to 1. lim n ( n ± b n ) = ±, 2. lim n ( n b n ) = ±, A 0, ( n ) 3. lim = 0, gdy b n 0. n b n n N Twierdzenie 23. Jeżeli lim n = + orz lim b n = +, to n N n N 1. lim n ( n + b n ) = +, 2. lim ( n b n ) = +, n Twierdzenie 24. Jeżeli K N N>K n > 0 orz lim n n = 0, to lim n 1 n = +. 10

11 Symbole nieoznczone Definicj 27. Pondto 0 0,,, 0, 00, 0, 1 ( lim n = e. n n) ( lim 1 1 n = n n) 1 e. Twierdzenie 25. Jeżeli lim n n = ±, to orz ( lim ) n = e n n ( lim 1 1 ) n 1 = n n e. Uwg 8. Logrytm, którego podstwą jest liczb e nzywmy logrytmem nturlnym i oznczmy symbolem ln, np. log e 7 = ln 7. 11

12 Rchunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Definicj 28. Otoczeniem o promieniu ɛ > 0 punktu x 0 R nzywmy zbiór U(x 0, ɛ) = {x R : x x 0 < ɛ}. Definicj 29. Sąsiedztwem o promieniu ɛ > 0 punktu x 0 promieniu ɛ punktu x 0 pozbwione punktu x 0, czyli zbiór R nzywmy otoczenie o S(x 0, ɛ) = {x R : 0 < x x 0 < ɛ}. Definicj 30. Otoczeniem nieskończoności nzywmy zbiór U( ) = (, ) dl dowolnego R. Definicj 31. Otoczeniem minus nieskończoności nzywmy zbiór U( ) = (, ) dl dowolnego R. Definicj 32. Sąsiedztwem prwostronnym (lewostronnym) o promieniu ɛ punktu x 0 R nzywmy zbiór ( ) S(x + 0, ɛ) = (x 0, x 0 + ɛ) S(x 0, ɛ) = (x 0 ɛ, x 0 ). Definicj 33. (Heine) lim f(x) = g x x 0 Definicj 34. (równowżn, Cuchy) lim x x 0 f(x) = g ɛ>0 δ>0 Definicj 35. (grnicy niewłściwej) lim f(x) = ± x x 0 x (x n) x 0, x n S(x 0 ) lim f(x n) = g n [(0 < x x 0 < δ) f(x) g < ɛ] (x n) x 0, x n S(x 0 ) lim f(x n) = ± n Definicj 36. (grnicy w punkcie niewłściwym) lim f(x) = g x + (x n), x n S( ) Definicj 37. (grnicy w punkcie niewłściwym) lim f(x) = g x (x n), x n S( ) lim f(x n) = g n lim f(x n) = g n 12

13 Definicj 38. (grnicy lewostronnej) lim f(x) = g x x 0 Definicj 39. (grnicy prwostronnej) lim f(x) = g x x + 0 (x n) x 0, x n S(x 0 ) lim n f(x n) = g. (x n) x 0, x n S(x + 0 ) lim n f(x n) = g. Definicj 40. Niech funkcj f będzie określon w pewnym sąsiedztwie punktu x 0. Prostą x = x 0 nzywmy symptotą lewowostronną funkcji f, jeżeli lim f(x) = ± x x 0 symptotą prwostronną funkcji f, jeżeli lim f(x) = ± x x + 0 Definicj 41. Prostą y = x + b nzywmy symptotą ukośną w minus nieskończoności funkcji f(x), jeżeli lim [f(x) (x + b)] = 0. x Definicj 42. Prostą y = x + b nzywmy symptotą ukośną w plus nieskończoności funkcji f(x), jeżeli lim [f(x) (x + b)] = 0. x + Twierdzenie 26. Definicj 43. Punktem izolownym zbioru D nzywmy kżdy punkt x 0 D, dl którego istnieje sąsiedztwo S(x 0 rozłączne ze zbiorem D. Definicj 44. Funkcję f : X Y określoną w pewnym otoczeniu punktu x 0 nzywmy ciągłą w punkcie x 0, jeżeli m w tym punkcie grnicę równ swojej wrtości w tym punkcie, tzn. jeżeli ( ) lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 lim f(x) = f(x 0 ) = lim f(x) x x 0 x x + 0 lub, gdy punkt x 0 jest punktem izolownym dziedziny funkcji f. Definicj 45. Jeżeli lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 to funkcję f nzywmy lewostronnie ciągłą w punkcie x 0, jeżeli lim f(x) = f(x 0 ), x x + 0 to funkcję f nzywmy prwostronnie ciągłą w punkcie x 0. 13

14 Definicj 46. (nieciągłości I rodzju) Mówimy, że punkt x 0 jest punktem nieciągłości I rodzju funkcji f, jeżeli funkcj nie jest ciągł w tym punkcie orz grnice lewo- i prwostronn tej funkcji w punkcie x 0 są skończone. Definicj 47. (nieciągłości II rodzju) Mówimy, że punkt x 0 jest punktem nieciągłości II rodzju funkcji f, jeżeli funkcj nie jest ciągł w tym punkcie orz jedn z grnic lewo- lub prwostronn tej funkcji w punkcie x 0 jest nieskończon lub nie istnieje. Twierdzenie 27. Jeżeli dwie funkcje f i g są określone n pewnym otoczeniu punktu x 0 i obie są ciągłe w punkcie x 0 orz R, to w tym punkcie są ciągłe tkże funkcje f, f + g, f g, f g, f g przy czym t osttni przy złożeniu, że g(x) 0. Twierdzenie 28. (o ciągłości funkcji złożonej) Jeżeli funkcj f(g) jest złożeniem funkcji g : X Y orz f : Y Z, pondto funkcj g jest ciągł w punkcie x 0, funkcj f jest ciągł w punkcie g(x 0 ), to funkcj f(g(x)) jest ciągł w punkcie x 0. Definicj 48. Funkcję nzywmy ciągłą w zbiorze A X, jeżeli jest ciągł w kżdym punkcie tego zbioru. Definicj 49. Funkcję nzywmy ciągłą w przedzile domkniętym [, b], jeżeli jest ciągł w kżdym punkcie tego zbioru orz jest prwostronnie ciągł w punkcie i lewostronnie ciągł w punkcie b. Definicj 50. Funkcjmi elementrnymi nzywmy funkcję tożsmościową x x, funkcje wykłdnicze, funkcje trygonometryczne orz wszystkie funkcje, które możn z nich otrzymć z pomocą ogrniczni dziedziny (obcinni), dodwni, odejmowni, mnożeni, dzieleni, skłdni i odwrcni funkcji. Twierdzenie 29. Funkcje elementrne są ciągłe. W szczególności ciągłe są wielominy, funkcje wymierne, funkcje wykłdnicze, funkcje logrytmiczne, funkcje trygonometryczne, funkcje hiperboliczne, funkcje cyklometryczne. Twierdzenie 30. Funkcj ciągł w przedzile domkniętym osiąg w tym przedzile swoj wrtość njmniejszą i njwiększą (w szczególności jest ogrniczon). Twierdzenie 31. (o loklnym zchowniu znku) Jeżeli funkcj w pewnym punkcie jest ciągł i dodtni (ujemn), to jest również dodtni (ujemn) w pewnym otoczeniu tego punktu. Twierdzenie 32. (włsność Drboux) Funkcj ciągł w przedzile domkniętym [, b] przyjmuje w tym przedzile kżdą wrtość pośrednią między wrtościmi n końcch przedziłu. Innymi słowy, (f() = A f(b) = B) f(c) = M. M (A,B) c (,b) 14

15 Twierdzenie 33. Jeżeli funkcj f jest ciągł w przedzile domkniętym [, b] orz jej wrtości n krńcch tego przedziłu f() i f(b) są różnych znków, to istnieje tki punkt c (, b) (co njmniej jeden), że f(c) = 0. 15

16 Pochodn funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Definicj 51. Niech f będzie funkcją o wrtościch rzeczywistych określoną n przedzile (, b) i niech x 0 orz x będą dwom różnymi punktmi tego przedziłu. Wyrżenie f(x) f(x 0 ) x x 0 nzywmy ilorzem różnicowym odpowidjącym przyrostowi rgumentu x x 0. Definicj 52. Jeżeli istnieje grnic ilorzu różnicowego f(x) f(x 0), gdy x x 0, to x x 0 grnicę tę nzywmy pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznczmy symbolem f (x 0 ), tzn. f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. x x 0 x x 0 Jeśli grnic t nie istnieje mówimy, ze funkcj f nie posid pochodnej w punkcie x 0. Definicj 53. O funkcji posidjącej pochodną w punkcie x mówimy, że jest różniczkowln w tym punkcie. Definicj 54. Jeżeli funkcj f m pochodną w kżdym punkcie zbioru X, to funkcję x f (x) nzywmy funkcją pochodną ( krótko, pochodną) funkcji f w zbiorze X i oznczmy f. Mówimy wówczs, że funkcj f jest różniczkowln w zbiorze X. Twierdzenie 34. Jeśli funkcj f posid pochodną w punkcie x 0, to jest w tym punkcie ciągłą. Uwg 9. Z ciągłości funkcji f w punkcie x 0 nie wynik istnienie jej pochodnej w tym punkcie. Twierdzenie 35. Jeżeli funkcje f i g określone n pewnym przedzile (, b) posidją pochodne w punkcie x orz k R, to funkcje k f, f + g, f g orz f posidją pochodne w punkcie g x orz prwdziwe są wzory: (k f) (x) = k f (x) (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + g (x) f(x) ( f g ) (x) = f (x) g(x) g (x) f(x) [g(x)] 2 16

17 Pochodne funkcji elementrnych () = 0, (x n ) = n x n 1, x R, n Z, (tg x) = 1 cos 2 x, (ctg x) = 1 sin 2 x, (x α ) = α x α 1, x > 0, α R, (x + b) =, ( x) = 1 2 x, (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (ln x) = 1 x, (e x ) = e x, (rcsin x) = (rccos x) = 1 1 x 2, 1 1 x 2, ( rctg x) = x 2, ( rcctg x) = x 2. 17

18 Twierdzenie 36. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcj g jest różniczkowln w punkcie x 0, funkcj f jest różniczkowln w punkcie u 0 = g(x 0 ), to funkcj złożon f g = f(g) jest różniczkowln w punkcie x 0 orz jej pochodn określon jest wzorem: [f(g(x 0 ))] = f (u 0 ) g (x 0 ). Twierdzenie 37. (o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcj f jest ciągł i sciśle monotoniczn n przedzile (, b) orz m pochodną różną od zer w punkcie x 0 tego przedziłu, to funkcj odwrotn f 1 jest różniczkowln w punkcie y = f(x 0 ) orz jej pochodn określon jest wzorem: (f 1 ) (x 0 ) = 1 f (x 0 ). Definicj 55. Jeżeli pochodn f funkcji f jest różniczkowln w zbiorze X, to jej pochodną nzywmy pochodną rzędu drugiego funkcji f i oznczmy symbolem f. Uwg 10. Anlogicznie (z pomocą indukcji mtemtycznej) określmy pochodne wyższych rzędów. Definicj 56. Niech funkcj f będzie różniczkowln w pewnym otoczeniu dnego punktu x 0, zś x 0, niech ozncz dowolny przyrost rgumentu x. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nzywmy wyrżenie Uwg 11. Twierdzenie 38. (Rolle ) Jeżeli df(x 0, x) = f (x 0 ) x. f(x 0 ) = f(x 0 + x) f(x 0 ) df(x 0, x) = f (x 0 ) x. 1. funkcj f jest ciągł w przedzile [, b], 2. funkcj f jest różniczkowln w przedzile (, b), 3. f() = f(b), to istnieje (przynjmniej jeden) punkt c (, b) tki, że f (c) = 0. 18

19 Twierdzenie 39. (Lgrnge ) Jeżeli 1. funkcj f jest ciągł w przedzile [, b], 2. funkcj f jest różniczkowln w przedzile (, b), to istnieje (przynjmniej jeden) punkt c (, b) tki, że f (c) = Twierdzenie 40. (Wnioski z twierdzeni Lgrnge ) f(b) f() b. 1) Jeżeli f (x) = 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest stł w przedzile (, b), 2) jeżeli funkcje f i g mją równe pochodne w przedzile (, b), to funkcje te różnią się w tym przedzile co njwyżej o stłą, 3) jeżeli f (x) > 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest rosnąc w tym przedzile, 4) jeżeli f (x) < 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest mlejąc w tym przedzile, 5) jeżeli f (x) 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest niemlejąc w tym przedzile, 6) jeżeli f (x) 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest nierosnąc w tym przedzile. Twierdzenie 41. Jeżeli funkcj f : (, b) R jest różniczkowln w przedzile (, b), to jest on rosnąc w tym przedzile wtedy i tylko wtedy, gdy x (,b) f (x) 0 i zbiór {x : f (x) = 0} nie zwier przedziłu. Twierdzenie 42. Jeżeli funkcj f : (, b) R jest różniczkowln w przedzile (, b), to jest on mlejąc w tym przedzile wtedy i tylko wtedy, gdy x (,b) f (x) 0 i zbiór {x : f (x) = 0} nie zwier przedziłu. Twierdzenie 43. (Wzór Tylor) Jeżeli funkcj f m ciągłą pochodną rzędu n w przedzile [, b] i ciągłą pochodną rzędu (n + 1) w przedzile (, b), to istnieje tki punkt c (, b), że f(b) = f() + f () 1! Osttni skłdnik (b ) + f () 2! nzywmy resztą w postci Lgrnge. (b ) f (n) () (b ) n + f (n+1) (c) n! (n + 1)! (b )n+1. R n = f (n+1) (c) (b )n+1 (n + 1)! 19

20 Gdy przyjmiemy = 0 orz b = x, to wzór Tylor przyjmuje postć f(x) = f(0) + f (0) 1! i nosi nzwę wzoru Mclurin. x + f (0) 2! x f (n) (0) x n + R n (x). n! e x = 1 + x 1! + x2 2! xn n! + R n(x), x R. sin x = x 1! x3 3! ( 1)k 1 x 2k 1 (2k 1)! + R n(x), x R. cos x = 1 x2 2! + x4 4!... + ( 1)n + R n (x), x R. ln(1 + x) = x x2 2 + x ( 1)n 1 xn (1 + x) α = ( α1 ) x + ( α2 ) x 2... n + R n(x), dl 1 < x < 1. ( αn ) x n + R n (x), dl 1 < x < x = (1 + ( x)) 1 = 1 + x + x x n + R n (x) dl 1 < x < 1. Definicj 57. Złóżmy terz, że funkcj f jest określon w pewnym otoczeniu punktu x 0. Mówimy, że funkcj f osiąg w punkcie x 0 mksimum (minimum) loklne, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 tkie, że x S(x 0 ) f(x 0 ) f(x) x S(x 0 ) f(x 0 ) f(x) Gdy nierówności są ostre, to mówimy o mksimum (minimum) loklnym włściwym. Twierdzenie 44. Fermt (wrunek konieczny istnieni ekstremum) Jeżeli funkcj f jest różniczkowln w punkcie x 0 i osiąg w tym punkcie ekstremum, to f (x 0 ) = 0. Uwg 12. Wrunek konieczny nie jest jednk wrunkiem wystrczjącym, gdyż np. funkcj f(x) = x 3 w punkcie x 0 = 0 m pochodną równą zero, nie m ekstremum. Twierdzenie 45. (I wrunek wystrczjący istnieni ekstremum) Jeżeli funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 i różniczkowln w sąsiedztwie S(x 0, ɛ) punktu x 0 orz f (x) < 0 dl x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) > 0 dl x (x 0, x 0 + ɛ), to funkcj f osiąg w punkcie x 0 minimum loklne włściwe. Jeżeli funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 i różniczkowln w sąsiedztwie S(x 0, ɛ) punktu x 0 orz f (x) > 0 dl x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) < 0 dl x (x 0, x 0 + ɛ), to funkcj f osiąg w punkcie x 0 mksimum loklne włściwe. 20

21 Twierdzenie 46. (II wrunek wystrczjący istnieni ekstremum) Jeżeli funkcj f jest dwukrotnie różniczkowln w pewnym otoczeniu punktu x 0 orz 1. f (x 0 ) = 0, 2. f (x 0 ) 0, 3. pochodn drugiego rzędu x 0 jest ciągł w punkcie x 0, to funkcj f m w punkcie x 0 ekstremum loklne. Jest to mksimum, gdy f (x 0 ) < 0, minimum, gdy f (x 0 ) > 0. Twierdzenie 47. (II wrunek wystrczjący istnieni ekstremum - uogólnienie) Jeżeli funkcj f jest n-krotnie różniczkowln w pewnym otoczeniu punktu x 0 orz 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0, 2. f (n) (x 0 ) 0, 3. pochodn rzędu n jest ciągł w punkcie x 0, to funkcj f m w punkcie x 0 ekstremum loklne, gdy n jest liczbą przystą. Jest to mksimum, gdy f (n) (x 0 ) < 0, minimum, gdy f (n) (x 0 ) > 0. Gdy n jest liczbą nieprzystą, funkcj f nie osiąg ekstremum loklnego w tym punkcie. Definicj 58. Niech zbiór A będzie podzbiorem dziedziny funkcji rzeczywistej f. Powiemy, że funkcj f osiąg mksimum (minimum) bsolutne w punkcie x 0 A, jeżeli x A f(x 0 ) f(x) ( x A f(x 0 ) f(x) Definicj 59. Mówimy, że krzyw y = f(x) jest wypukł w punkcie x 0, jeżeli istnieje tkie sąsiedztwo S(x 0 ), że dl kżdego x S(x 0 ) punkty tej krzywej leżą powyżej stycznej poprowdzonej w punkcie x 0. Definicj 60. Mówimy, że krzyw y = f(x) jest wklęsł w punkcie x 0, jeżeli istnieje tkie sąsiedztwo S(x 0 ), że dl kżdego x S(x 0 ) punkty tej krzywej leżą poniżej stycznej poprowdzonej w punkcie x 0. Twierdzenie 48. (wrunek wystrczjący) Jeżeli pochodn drugiego rzędu funkcji f jest dodtni (ujemn) w przedzile (, b), to krzyw y = f(x) jest wypukł (wklęsł) w tym przedzile. Definicj 61. Punkt x 0 nzywmy punktem przegięci krzywej f, jeśli istnieje tkie sąsiedztwo S(x 0, ɛ) punktu x 0, że krzyw jest wypukł (wklęsł) dl x (x 0 ɛ, x 0 ) orz wklęsł (wypukł) dl x (x 0, x 0 + ɛ). Inczej punkt, w którym styczn przechodzi z nd krzywej pod nią, lub odwrotnie. Twierdzenie 49. (wrunek konieczny istnieni punktu przegięci) Jeżeli krzyw f m w punkcie x 0 punkt przegięci i istnieje ciągł pochodn drugiego rzędu funkcji f w pewnym otoczeniu punktu x 0, to f (x 0 ) = 0. ). 21

22 Uwg 13. Wrunek konieczny nie jest wrunkiem wystrczjącym. Twierdzenie 50. (I wrunek wystrczjący) Jeżeli funkcj f jest różniczkowln w otoczeniu U(x 0, ɛ) i dwukrotnie różniczkowln w sąsiedztwie S(x 0, ɛ) orz f (x 0 ) > 0 (f (x 0 ) < 0) dl x (x 0 ɛ, x 0 ) orz f (x 0 ) < 0 (f (x 0 ) > 0) dl x (x 0, x 0 + ɛ), to punkt P 0 = (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięci krzywej y = f(x). Twierdzenie 51. (REGUŁA DE L HOSPITALA) Jeżeli funkcje f i g są różniczkowlne w pewnym sąsiedztwie S(x 0 ) punktu x 0, g(x) 0 dl S(x 0 ) orz lim f(x) = lim g(x) = 0 x x 0 x x 0 f (x) i istnieje grnic lim x x 0 g (włściw lub nie), (x) f(x) to istnieje również grnic lim przy czym x x 0 g(x) f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Uwg 14. Twierdzenie odwrotne nie zchodzi. Uwg 15. Modyfikując odpowiednio złożeni twierdzenie pozostje prwdziwe dl symbolu orz w przypdku grnic jednostronnych przy x i x. Aby zstosowć regułę de l Hospitl do wyrżeń nieoznczonych typu, 0 stosujemy odpowiednio tożsmości: f(x) g(x) = f(x) 1 1 g(x) lub f(x) g(x) = 1 1 f(x) g(x). f(x) g(x) = 1 1 f(x) 1 1 g(x) = 1 g(x) 1 f(x) g(x) 1 f(x). 1 f(x) g(x) 22

23 Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej Definicj 62. Złóżmy, że funkcj f jest określon n pewnym przedzile I. Funkcją pierwotną funkcji f nzywmy kżdą funkcję F, któr jest różniczkowln w przedzile I orz spełni wrunek F (x) = f(x). x I Twierdzenie 52. Jeżeli funkcj F (x) jest w pewnym przedzile funkcją pierwotną funkcji f(x), to kżd funkcj postci F (x)+c, gdzie C jest dowolną stłą rzeczywistą, jest również funkcją pierwotną funkcji f(x). Co więcej, wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) mją tę postć, to znczy różnią się co njwyżej o stłą. Definicj 63. Wyrżenie F (x)+c, gdzie C jest dowolną stłą rzeczywistą nzywmy cłką nieoznczoną funkcji f(x) i oznczmy symbolem f(x)dx. Funkcję f(x) nzywmy funkcją podcłkową, iloczyn f(x)dx wyrżeniem podcłkowym. Twierdzenie Jeżeli funkcj f(x) posid funkcję pierwotną n przedzile I, to ( f(x)dx) = f(x) dl x I. 2. Jeżeli funkcj f(x) posid ciągłą pochodną n przedzile I, to f (x)dx = f(x) + C dl x I. Twierdzenie 54. Kżd funkcj ciągł n przedzile I, posid funkcję pierwotną n tym przedzile. Twierdzenie 55. (o liniowości cłki nieoznczonej Jeżeli funkcje f orz g posidją funkcje pierwotne n pewnym przedzile I orz k jest dowolną liczbą rzeczywistą, to [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx, k f(x)dx = k f(x)dx. (Sformułownie równowżne) Jeżeli funkcje f orz g posidją funkcje pierwotne n pewnym przedzile I orz, b są dowolnymi liczbmi rzeczywistymi, to [ f(x) + b g(x)]dx = f(x)dx + b g(x)dx. 23

24 Wzory podstwowe x α dx = sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C e x dx = e x + C α x1+α + C, gdy α 1 ln x + C, gdy α = 1 x dx = x + C, > 0, 1 ln dx cos 2 = tg x + C, cos x 0 x dx sin 2 = ctg x + C, sin x 0 x dx k x 2 = rcsin ( xk ) + C, k > 0 dx x x 2 + k = ln + x 2 + k + C dx k + x 2 = 1 k rctg x k + C, k > 0 Dw brdzo użyteczne wzory f (x)dx f(x) = ln f(x) + C f (x)dx = 2 f(x) + C. f(x) 24

25 Twierdzenie 56. (o cłkowniu przez części) Jeżeli funkcje f i g posidją ciągłe pochodne w pewnym przedzile I, to f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. Twierdzenie 57. (o cłkowniu przez podstwienie) Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedzile [, b]. Jeśli funkcj x = ϕ(t) m ciągłą pochodną w przedzile [α, β] i zbiór jej wrtości zwrty jest w przedzile [, b], to zchodzi wzór f(x)dx = f[ϕ(t)]ϕ (t)dt. Twierdzenie 58. Kżdą funkcję wymierną niewłściwą P (x) możn przedstwić w postci Q(x) sumy wielominu i funkcji wymiernej włściwej P (x) R(x) = W (x) + Q(x) Q(x). Wielomin R(x) jest resztą z dzieleni wielominu P (x) przez wielomin Q(x). Definicj 64. Ułmki proste, to funkcje wymierne postci A (x ) k orz Bx + C (x 2 + bx + c) m, gdzie A, B, C,, b, c R, k, m N, przy tym wyróżnik = b 2 4c trójminu kwdrtowego x 2 +bx+c jest ujemny (mówiąc prościej, trójmin ten nie m pierwistków rzeczywistych). Twierdzenie 59. Kżdą funkcję wymierną włściwą możn przedstwić w postci skończonej sumy ułmków prostych. Uwg 16. Liczb i postć ułmków prostych w rozkłdzie dnej funkcji wymiernej zleżą od wielominu występującego w minowniku. Aby rozłożyć funkcję wymierną n ułmki proste njpierw rozkłdmy minownik n czynniki postci (x ) k orz (x 2 + bx + c) m k, m N (w tym drugim przypdku musi zchodzić b 2 4c < 0). Nstępnie tworzymy sumę ułmków prostych wg schemtu 1. kżdemu czynnikowi (x ) k odpowid k ułmków prostych postci A 1 (x ), A 2 (x ) 2,, A k (x ) k, 2. kżdemu czynnikowi (x 2 +bx+c) m odpowid m ułmków prostych postci 25 B 1 x + C 1 x 2 + bx + c, B 2 x + C 2 (x 2 + bx + c) 2,

26 Cłkownie ułmków prostych I rodzju Ułmki proste pierwszego rodzju, czyli funkcje postci A cłkujemy przez podst- (x ) k wienie x = t, wówczs dx = dt. A Oblicznie cłek typu x 2 dx, c > 0 + c Stosujemy wzór Oblicznie cłek typu W tym przypdku nleży 1 x 2 + k dx = 1 rctg x + C, k > 0, k k A x 2 + bx + c dx, b2 4c < 0 1. zpisć minownik w postci knonicznej (x p) 2 + q, 2. wyłączyć stłą 1 przed cłkę (gdy = 1 pomijmy ten punkt), 3. podstwić x p = t. Cłkownie funkcji typu Funkcję typu Ax + B x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c, b2 4c < 0. (b 2 4c < 0) zpisujemy w postci Wówczs α(2x + b) + β x 2 + bx + c = α α(2x + b) + β x 2 + bx + c dx = α 2x + b x 2 + bx + c + β 1 x 2 + bx + c 2x + b x 2 + bx + c dx }{{} I 1 +β dx x 2 + bx + c } {{ } I 2 Cłkę I 1 obliczmy korzystjąc ze wzoru A x 2 + bx + c dx. Cłkownie funkcji typu Funkcje typu 1 x 2 + bx + c 1 x 2 + bx + c f (x) f(x) = ln f(x) + C, cłkę I 2 jk cłkę typu cłkujemy korzystjąc ze wzorów dx x 2 + k = ln x + x 2 + k + C (4) 26

27 lub dx k x 2 = rcsin x k + C, k > 0. (5) Postępujemy według nstępującego schemtu: 1. zpisujemy funkcję x 2 + bx + c w postci knonicznej (x p) 2 + q, 2. podstwimy x p = t, 3. otrzymną funkcję cłkujemy stosując wzór (4), gdy > 0 lub wzór (5), gdy < 0. Cłkownie funkcji typu Funkcję typu Ax + B x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c zpisujemy w postci α(2x + b) + β x 2 + bx + c = α 2x + b x 2 + bx + c + β 1 x 2 + bx + c Wówczs α(2x + b) + β x 2 + bx + c dx = α 2x + b x 2 + bx + c dx }{{} I 1 +β dx x 2 + bx + c }{{} I 2 Cłkę I 1 obliczmy korzystjąc ze wzoru f (x)dx f(x) = 2 f(x) + C, cłkę I 2 ze wzoru (4) lub (5). 27

28 CAŁKA OZNACZONA Definicj 65. Rozwżmy funkcję f(x) określoną i ogrniczoną n przedzile [, b]. Podzielmy przedził [, b] n n podprzedziłów punktmi x 0, x 1,..., x n tkimi, że = x 0 < x 1 <... < x n = b. Oznczmy długość kżdego z podprzedziłów [x i 1, x i ] przez x i x i = x i x i 1, i = 1,..., n. Njwiększą długość x i przedziłu będziemy oznczć przez λ i nzywć średnicą podziłu odcink [, b]. W kżdym z podprzedziłów [x i 1, x i ] wybiermy dowolny punkt x i zwny punktem pośrednim. Nstępnie obliczmy wrtość f(x i ) funkcji f(x) w kżdym z punktów x i orz tworzymy sumę n S n = f(x 1 ) x 1 + f(x 2 ) x f(x n ) x n = f(x i ) x i. i=1 zwną n-tą sumą częściową. Jeżeli istnieje skończon grnic ciągu (S n ), gdy ilość podprzedziłów n dąży do nieskończoności i λ 0, przy tym grnic t nie zleży od sposobu podziłu odcink [, b] punktmi x 0, x 1,..., x n i wyboru punktów pośrednich x i, to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną Riemnn (mtemtyk niemiecki, ( )) funkcji f(x) w przedzile [, b] i oznczmy symbolem b f(x)dx. Liczby i b nzywmy, odpowiednio, dolną i górną grnicą cłkowni. Funkcję f(x) nzywmy funkcją podcłkową, przedził [, b] przedziłem cłkowni. Definicj 66. Funkcję f(x) nzywmy cłkowlną w sensie Riemnn w przedzile [, b], gdy istnieje jej cłk oznczon w przedzile [, b]. Uwg 17. Dodtkowo, jeżeli b <, to przyjmujemy orz b b f(x)dx = f(x)dx = 0. f(x)dx Twierdzenie 60. Kżd funkcj ciągł w przedzile [, b] jest w tym przedzile cłkowln. 28

29 Twierdzenie 61. Kżd funkcj ogrniczon w przedzile [, b] i mjąc w nim tylko skończoną liczbę punktów nieciągłości jest w tym przedzile cłkowln. Twierdzenie 62. Kżd funkcj monotoniczn i ogrniczon w przedzile [, b] jest w tym przedzile cłkowln. Twierdzenie 63. (o liniowości cłki oznczonej) Jeżeli funkcje f(x) orz g(x) są cłkowlne w przedzile [, b], ( < b) orz k R, to prwdziwe są równości b [f(x) ± g(x)] dx = b b f(x)dx ± g(x)dx, b b [k f(x)]dx = k f(x)dx. Twierdzenie 64. (o ddytywności cłki względem przedziłu cłkowni) Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b] orz w przedziłch [, c] i [c, b] dl dowolnego c (, b), to b f(x)dx = c b f(x)dx + c f(x)dx. Twierdzenie 65. Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b], ( < b) i nieujemn w tym przedzile, to b f(x)dx 0. Twierdzenie 66. Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b], ( < b) i dodtni w tym przedzile, to b f(x)dx > 0. Cłk oznczon włsności Twierdzenie Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są cłkowlne w przedzile [, b], ( < b) i w kżdym punkcie tego przedziłu zchodzi nierówność f(x) g(x), to b b f(x) g(x). 29

30 Twierdzenie 67. (o wrtości średniej dl cłki oznczonej) Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b], ( < b) i w cłym przedzile zchodzi równość m f(x) M, to istnieje liczb m < m 0 < M tk, że b f(x) = m 0 (b ). Wniosek 2. Jeżeli funkcj f(x) jest ciągł w przedzile [, b], < b i w cłym przedzile zchodzi równość m f(x) M, to m(b ) b f(x)dx M(b ). Co więcej, istnieje punkt c (, b) tki, że b f(x)dx = f(c)(b ). Twierdzenie 68. ( Newton-Leibniz) Jeżeli funkcj F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej n przedzile [, b], to b f(x)dx = F (b) F (). Uwg 18. Liczbę F (b) F () zpisujemy krócej F (x) b. Przy obliczniu cłek oznczonych stosujemy więc zpis b f(x)dx = F (x) b = F (b) F (). Twierdzenie 69. ( o cłkowniu przez części dl cłki oznczonej) Jeżeli funkcje f(x) i g(x) posidją ciągłe pochodne f (x) i g (x) w przedzile [, b], to b f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx. Twierdzenie 70. ( o cłkowniu przez podstwienie dl cłki oznczonej) Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedzile [, b]. Jeśli funkcj x = ϕ(t) m ciągłą pochodną w przedzile [α, β] przy czym ϕ(α) =, ϕ(β) = b i zbiór jej wrtości zwrty jest w przedzile [, b], to zchodzi wzór b f(x)dx = β α f[ϕ(t)]ϕ (t)dt. 30

31 Twierdzenie 71. Jeżeli funkcj f(x) jest nieprzyst i cłkowln n przedzile [, ], to f(x)dx = 0. Twierdzenie 72. Jeżeli funkcj f(x) jest przyst i cłkowln n przedzile [, ], to f(x)dx = 2 0 f(x)dx. Rozwżmy funkcję f(x) ciągłą n przedzile domkniętym [, b] i przyjmującą wrtości nieujemne n tym przedzile. Pole obszru D (zwnego trpezem krzywoliniowym) ogrniczonego prostymi x =, x = b, y = 0 (osią Ox) i krzywą y = f(x) jest liczbowo równe cłce oznczonej D = b f(x)dx. Jeżeli funkcj f(x) ciągł n przedzile domkniętym [, b] przyjmuje w tym przedzile wrtości niedodtnie, to pole obszru D ogrniczonego prostymi x =, x = b, y = 0 (osią Ox) i krzywą y = f(x) jest równe b D = f(x)dx. 31

32 CAŁKA NIEWŁAŚCIWA Definicj 67. Rozwżmy funkcję f(x) określoną n przedzile [, ) i cłkowlną w sensie Riemnn w kżdym przedzile domkniętym [, b] [, ),(b > ). Jeśli istnieje grnic lim b b f(x)dx, to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą Riemn I rodzju funkcji f n przedzile [, ) i oznczmy symbolem Ztem W przypdku, gdy grnic lim f(x)dx. b b f(x)dx = lim b b f(x)dx. f(x)dx istnieje mówmy, że cłk jest zbieżn, funkcję f(x) nzywmy cłkowlną w przedzile nieskończonym [, ). Gdy grnic nie istnieje lub jest niewłściw, mówimy, że cłk jest rozbieżn. Definicj 68. Rozwżmy funkcję f(x) określoną n przedzile (, b] i cłkowlną w sensie Riemnn w kżdym przedzile domkniętym [, b] (, b], (b > ). Jeśli istnieje grnic lim b f(x)dx, to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą Riemn I rodzju funkcji f n przedzile (, b] i oznczmy symbolem Ztem b b f(x)dx. f(x)dx = lim b f(x)dx. Definicj 69. Rozwżmy funkcję f(x) określoną n przedzile (, ) i cłkowlną w sensie Riemnn w kżdym przedzile domkniętym [, b], (b > ). Cłkę niewłściwą funkcji f(x) n przedzile (, ) definiujemy z pomocą równości f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. dl dowolnego R, zkłdjąc, że obie cłki po prwej stronie równości istnieją. Uwg 19. Powyższ definicj nie zleży od wyboru R. 32

33 ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK Twierdzenie 73. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe w przedzile [, b], to pole obszru D ogrniczonego linimi y = f(x), y = g(x), x = orz x = b określone jest wzorem D = b g(x) f(x) dx. W szczególności, gdy f(x) g(x) dl x [, b], to pole obszru D jest równe D = b [g(x) f(x)]dx. Twierdzenie 74. Jeżeli funkcj f(x) m ciągłą pochodną w przedzile [, b], to długość łuku krzywej y = f(x) dl x [, b] określon jest wzorem L = b 1 + [f (x)] 2 dx. 33

34 Twierdzenie 75. Objętość bryły powstłej w wyniku obrotu wokół osi Ox krzywej y = f(x) w przedzile [, b] jest równ b V = π [f(x)] 2 dx. Twierdzenie 76. Pole S powierzchni obrotowej powstłej w wyniku obrotu wokół osi Ox krzywej y = f(x) w przedzile [, b] jest równe b S = 2π f(x) 1 + [f (x)] 2 dx. 34

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I. RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40

Bardziej szczegółowo

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,

Bardziej szczegółowo

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco: Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6 Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2

Bardziej szczegółowo

1 Definicja całki oznaczonej

1 Definicja całki oznaczonej Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag. Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1) Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7. Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).

Bardziej szczegółowo

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna Anliz Mtemtyczn. Cłk Riemnn Aleksnder Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych Wydził Informtyki w Gdńsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdńsk 29 kwietni 217 1 / 2 Cłk Riemnn

Bardziej szczegółowo

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P. Rozdził 10 Cłk Drboux 10.1 Doln i górn sum Drboux Definicj podziłu. Niech, b R, < b. Kżdy skończony ciąg P postci (10.1) P = (x 0,..., x n ), gdzie n N, = x 0 < x 1

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka Zchodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Piotr Stefnik Mteriły uzupełnijące do wykłdu Mtemtyk dl studentów Wydziłu Nuk o Żywności i Rybctwie Szczecin, 3 grudni 208 Spis treści Mcierze i

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja

2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja 2. Anliz Kresy: infim i suprem Wprowdzmy oznczenie dl rozszerzonej prostej rzeczywistej: R = R {, + }, przy czym w zbiorze tym zchowujemy nturlny porzdek w R orz przyjmujemy, że < < dl R. Niech A R. Ogrniczeniem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami) List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

Wzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).

Wzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b). Wzory uproszczonego mno zeni: ( + b) = + b + b, ( b) = b + b, b = ( b) ( + b). Dzi ni n pot ¾egch: Dl ; y R orz ; b > 0 (dl pewnych wyk dników ; y z o zeni o ; b mog¾ być os bine w zle zności od sytucji)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się

Bardziej szczegółowo

9. Całkowanie. I k. sup

9. Całkowanie. I k. sup 9. Cłkownie Zcznijmy od podstwowego dl teorii cłki pojęci podziłu. Podziłem odcink [, b] R nzywmy kżdy skończony zbiór P [, b] zwierjący ob końce odcink. Niech będą punktmi podziłu P. Odcinki = x < x

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1 Mtemtyk II Bezpieczeństwo jądrowe i ochron rdiologiczn Semestr letni 2018/2019 Wykłd 1 Zsdy współprcy przypomnienie Wykłdy są nieobowiązkowe, le Egzmin: pytni teoretyczne z łtwymi ćwiczenimi (będzie list)

Bardziej szczegółowo

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Mtemtyk 1 Šuksz Dwidowski Instytut Mtemtyki, Uniwersytet l ski Cªk oznczon Niech P = [, b] R b dzie przedziªem. Podziªem przedziªu P b dziemy nzywli k»d sko«czon rodzin Π = {P 1, P 2,..., P m } tkich przedziªów,»e

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. De nicje, twierdzenia. 13 października 2012

Matematyka I. De nicje, twierdzenia. 13 października 2012 Mtemtyk I De nicje, twierdzeni 3 pździernik 202 Litertur K. Dobrowolsk, W. Dyczk, H. Jkuszenkow, Mtemtyk dl studentów studiów technicznych, cz.,2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn

Bardziej szczegółowo

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6 Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,

Bardziej szczegółowo

Plan wykładów z Matematyki, I 2014/2015 semestr zimowy. (a) Podstawowe funkcje: pierwiastki, funkcja potęgowa, logarytm.

Plan wykładów z Matematyki, I 2014/2015 semestr zimowy. (a) Podstawowe funkcje: pierwiastki, funkcja potęgowa, logarytm. Pln wykłdów z Mtemtyki, I 014/015 semestr zimowy 1. Powtórk i widomości wstępne. () Podstwowe funkcje: pierwistki, funkcj potęgow, logrytm. (b) Trygonometri. (c) Dwumin Newton, przystość funkcji.. Rchunek

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Pierwiastek z liczby zespolonej

Pierwiastek z liczby zespolonej Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to

Bardziej szczegółowo

Pierwiastek z liczby zespolonej

Pierwiastek z liczby zespolonej Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak

Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak Cłk oznczon funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Witold Mjdk 6 Spis treści Definicj cłki oznczonej Riemnn Włsności cłki Riemnn Twierdzenie o średniej cłkowej funkcji Pierwsze zsdnicze twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2 Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

3. F jest lewostronnie ciągła

3. F jest lewostronnie ciągła Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII

MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Spis treści Litertur. Pojęci wstępne.. Kwntyfiktory.. Zbiory. Dziłni n zbiorch. Elementy lgebry liniowej 3.. Mcierze. Dziłni n mcierzch

Bardziej szczegółowo