Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Transkrypt

1 Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x <... < x = b x k [x k x k ]- pukt pośredi k-go podziłu P. f będzie ogriczo [ b]. Wówczs cłkę ozczoą Riem z fukcji f przedzile [ b] defiiujemy wzorem f(x = lim f(x k x k δ(p k= o ile po prwej stroie zku rówości gric jest włściw orz ie zleży od sposobu podziłów P przedziłu [ b] i od wyboru puktów pośredich. Uwg. Jeśli f jest cłkowl to wystrczy wziąć jede ciąg podziłów i jede ciąg puktów pośredich. Zdie. Korzystjąc z defiicji orz z fktu że fukcje ciągłe są cłkowle obliczyć pode cłki ozczoe: b x c x d x e cos(x si(x podpowiedź: si( si( = (+ si( si( si( g x 3 podpowiedź: ( ( + i 3 = i= h 3 x podpowiedź: i = i= ( + ( + 6 i e x e h użyć rówości: lim = h h

2 j użyć rówości z poprzediego podpuktu. 3x Zdie. Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej obliczyć gricę: lim 3 b lim ( c lim d lim e lim lim l ( ( ( ( + ( +... ( + ( g lim si α h lim + si α ( i lim e + e e ( j lim ( α si ( + + ( ( + ( k lim ( + + ( ( l lim ( ( +. Defiicj. Niech f będzie fukcją cłkowlą [ b]. Jest więc rówież cłkowl podprzedzile (dl kżdego x [ b] wtedy fukcję zywą fukcją górej gricy cłkowi fukcji f przedzile [ b] defiiujemy wzorem f(z dz. Twierdzeie (Podstwowe twierdzeie rchuku cłkowego. Niech f będzie fukcją zmieej rzeczywistej cłkowlą przedzile [ b]. Wówczs odwzorowie F : [ b] R de wzorem F (x = w przedzile [ b]. Jeżeli f jest ciągł w pewym pukcie x [ b] to fukcj F jest różiczkowl w x orz F (x = f(x. Zdie 3. Obliczyć pochodą fukcji F jeżeli: F (x = b F (x = + t dt + t dt c F (x = d F (x = 3x 3 x si(x Zdie 4. Niech f C([ b] R. Uzsdić że si(t t e t dt [ u dt f(t dt jest ciągłe e F (x = F (x = ] f(t dt du = cos(x e x rctg(t dt sg(t dt. (x uf(u du.

3 Zdie 5. Niech f C([ ] R. Zleźć f( jeżeli: f(t dt = x ( + x c 3 f(t dt = x e f(x t dt = x 4 + 4x 3 b f(t dt = x ( + x d (+x f(t dt = x f(x t dt = x ( + x. Zdie 6. Obliczyć gricę: lim b lim x+h c lim h h x x ( + x m x + x du u + u + x d lim x x 3 x e lim x x 6 t dt t 4 + t dt t 6 +. Twierdzeie (Newto-Leibiz. Niech f : I R będzie fukcją cłkowlą orz F : I R będzie jej fukcją pierwotą. Wówczs dl dowolych b I zchodzi f = F (b F (. Zdie 7. Korzystjąc z twierdzei Newto-Leibiz obliczyć pode cłki ozczoe: b x( + x 3 ( x 3 x + x 4 h i 4 (x + 3 x + x o p si(x 3 + si (x (rcsi(x x c e x l(x j e l(x x q l(x d (si(x + cos (x k 3 x x + r sg(x x e e x cos(x l si (x cos(x s 3 x [x] x 3 x 8 + m x e x t [l(x] g 3x 3x + x cos(x u si(x + 3

4 Twierdzeie 3 (o wrtości średiej. Jeśli f C([ b] R to istieje pukt c [ b] tki że f(c = f. b f(c zywmy wrtością średią fukcji f. Zdie 8. Obliczyć wrtości średie podych fukcji wskzych przedziłch: f(x = x [ ] b f(x = cos(x [ +x ] c f(x = x si(x [ ]. Twierdzeie 4. Jeśli fukcj f jest cłkowl orz jest ieprzyst to jest przyst to jest okresow o okresie T to +T f(x = f(x = f(x f(x = T f(x. Zdie 9. Korzystjąc z włsości cłek z fukcji przystych ieprzystych lub okresowych obliczyć cłki: e x si(x c 4 4 x + cos(x e x rctg(x. b x 5 3 x d 4 3 si(x + cos (x Defiicj 3. Mówimy że f jest loklie cłkowl przedzile I jeśli jest cłkowl kżdym domkiętym podzbiorze I. Defiicj 4 (cłk iewłściw. Niech f będzie loklie cłkowl [ b. Możemy zdefiiowć c f(x = lim f(x c b o ile istieje gric skończo. Jeżeli b = to przyjmujemy b =. Cłk f(x zywmy cłką iewłściwą. Jeśli skończo gric po prwej stroie rówi ie istieje to mówimy że cłk f(x jest rozbież lub f ie jest cłkowl [ b. Alogiczie defiiujemy cłkę z fukcji loklie cłkowlej ( b]. 4

5 Defiicj 5. Jeśli f jest loklie cłkowl ( b to f(x = s f(x + f(x s gdzie < s < b o ile istieją obie cłki z prwej stroy rówi (skończoe. Zdie. Zbdć zbieżość cłek iewłściwych korzystjąc z defiicji. Obliczyć ich wrtość jeśli są zbieże: (x + d x + 4 g 4 6 x b c x x si(x e e x (rctg(x + x h x + 5 x 3. Twierdzeie 5 (Kryterium porówwcze zbieżości cłek. Jeżeli f(x g(x dl x [ orz jeśli cłk jeśli cłk g(x jest zbież to cłk f(x jest rozbież to cłk f(x jest zbież. g(x jest rozbież. Twierdzeie 6 (Kryterium ilorzowe zbieżości cłek. Nich f g będą określoe i dodtie (lub obie ujeme [ orz iech f(x lim = k gdzie < k <. Wówczs x ifty g(x cłk f(x jest zbież wtedy i tylko wtedy gdy cłk Prwdziwe są rówież logicze twierdzei dl cłek h(x. g(x jest zbież. Zdie. Korzystjąc z jedego z powyższych kryteriów zbdć zbieżość cłek: 3 x 3 + e x 4 b e x + x 3 e x x(e x c d 4 x x + e x si (x g h e x e x x x x + cos(x 5

6 Stwierdzeie. Niech f g C([ b] R orz iech x [b] f(x g(x. Wówczs pole trpezu krzywoliiowego ogriczoego fukcjmi f i g orz prostymi x = i x = b wyrż się wzorem P = (g(x f(x. Zdie. Obliczyć pol obszrów ogriczoych podymi krzywymi: yx 4 = y = y = 6 b y = x x x + y = c y = x y = x = d y = x y = x 6 y = y = 4 e x = y 3 y x = y = y = x y = 4 x g y = x + y = 3 x h y = x y 3 = x i y = l(x y = x x = e j y = si(x y = cos(x x = x = k y = xe x y =. Twierdzeie 7 (Długość krzywej. Niech f C ([ b] R. Wtedy długość krzywej {(x f(x : x [ b]} wyrż się wzorem L = Zdie 3. Obliczyć długość krzywej: + [f (x]. y = x x + rccsi( x b y = l(si(x 3 x 3 c y = x 3 x d y = e x l( x l(3 e y = x5 + 6x 3 x y = l(cos(x x 4. Stwierdzeie. Niech f C([ b] R + orz iech T ozcz trpez krzywoliiowy ogriczoy wykresem fukcji f osią OX orz prostymi x = x = b. Wtedy objętość bryły powstłej w wyiku obrotu trpezu krzywoliiowego wokół osi OX wyrż się wzorem wokół osi OY wyrż się wzorem V = f (x V = xf(x. 6

7 Zdie 4. Obliczyć objętość bryły powstłej przez obrót zdej krzywej wokół wskzej osi: OX y = ctg(x 4 x b OX y = rcsi(x x c OX y = x x d OX y = x 3 x e OX y = x5 + 6x 3 x OX y = l(cos(x x 4 g OY y = x 3 x h OY y = 5 x x 4. Zdie 5. Obliczyć objętość bryły powstłej przez obrót dookoł osi OX obszru ogriczoego liimi: y = x + y = 3x b y = si(x y = si(x x 3 3. Stwierdzeie 3. Niech f C([ b] R +. Wtedy pole powierzchi bryły powstłej w wyiku obrotu wykresu fukcji f wokół osi OX wyrż się wzorem P = f(x + [f (x]. Jeśli podto to pole powierzchi bryły powstłej w wyiku obrotu wykresu fukcji f wokół osi OY wyrż się wzorem P = x + [f (x]. Zdie 6. Obliczyć pole powierzchi bryły powstłej przez obrót zdej krzywej wokół wskzej osi: OX y = 4 x x b OX y = x( x 3 x 3 c OY y = x 9 x d OY y = x x 3. Bibliogrfi:. J. Bś S. Wędrychowicz Zbiór zdń z lizy mtemtyczej WNT Wrszw.. M. Gewert Z. Skoczyls Aliz mtemtycz. Defiicje twierdzei wzory GiS Wrocłw. 3. M. Gewert Z. Skoczyls Aliz mtemtycz. Przykłdy i zdi GiS Wrocłw. 4. K. Jkowsk T. Jkowski Zbiór zdń z mtemtyki PG Gdńsk W. Krysicki L. Włodrski Aliz mtemtycz w zdich część PWN Wrszw W. Kryszewski Wykłd lizy mtemtyczej cz. - Fukcje jedej zmieej UMK Toruń F. Lej Rchuek różiczkowy i cłkowy ze wstępem do rówń różiczkowych PWN Wrszw