f(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1

Transkrypt

1 Mtemtyk -. rok Trnsport, stcjonrne. stopie«przykªdowe zdni n kolokwium nr.cªki nieoznczone - cªkownie przez cz ±ci, cªkownie przez podstwienie Denicj F () = f(), f()d = F () + C Cªkownie przez cz ±ci: f()g ()d = f()g() f ()g()d. Cªkownie przez podstwienie: f(g())g ()d = f(t)dt Zdnie. Oblicz cªki nieoznczone: ) 5 d, 2) 3 d, d 4, 4 d, 5) d, 6) 5 d, 7) e 2 d. Zdnie 2. Oblicz cªki nieoznczone: ) ( )d, 2) ( 2e )d, ( )( 2)d, ( )d, 3 5) 2 3 d, 6) d, ( 7) 2 3 ) 4 d, 8) 2 9) ctg 2 d, e ) 2 +d. e + 2 d, Zdnie 3. Cªkuj c przez cz ±ci oblicz cªki nieoznczone: ) ( 2 +e d, 2) ( 2 sin 2d, (2+) sin 3d, e 2 sin d, 5) e cos 2d, 6) e 2 d, 7) e 2 d, 8) sin d, 9) ln 2 d, ) ln( + )d, ) ln d, 2) ln d, ( ) ln d, 5 ln d, 5) ln 2 d. Zdnie 4. Cªkuj c przez podstwienie oblicz cªki nieoznczone: ) cos 3 sin d, 2) sin 3 cos d, d ln, e d 2 e 2, rctg 4 d 5), 4 rcsind + 2 6) 2, cos 7) d, sin 4 8) sin d, cos 3 9) sin 2 d, ) sin 5 cos d, ) (2 5) 7 d, 2) ( d, 3 + d, d, cos(ln ) + 2 5) d, cos 6) d, +sin 2 7) ln d d, 2) 2) sin +cos tg d 26) d, cos 2 27) d, (+ 2 ) 5 22), (+ 2 )rctg 28) Zdnie 5. Oblicz cªki nieoznczone: ) rctgd, 2) rcsin d, d, 8) 5e 2 d, e 9) d, e d, 2 2 4d, 2 e 2 d, 25) sin(2 2 +)d, d , 29) d Cªki nieoznczone - cªkownie funkcji wymiernych

2 Denicj 2 ) Cªkownie uªmków prostych pierwszego rodzju: stosujemy podstwienie t = + b, { ln t + C dl α =, t α dt = t α+ α+ + C dl α. Q : stosujemy podstwie- 2 +q 2) Cªkownie uªmków prostych drugiego rodzju postci nie = qt, dt = rctgt + C, + t2 Cªkownie uªmków prostych drugiego rodzju postci : stosujemy podstwienie = t p, nst pnie post pujemy tk jk w punkcie poprzednim 2 +p+q 2 P Cªkownie uªmków prostych drugiego rodzju postci : stosujemy podstwienie 2 + q = t, dt 2 +q = ln t + C, t 5) Cªkownie uªmków prostych drugiego rodzju postci + : do pierwszej cªki stosujemy podstwienie 2 + p + q = t, do drugiej tk jk w punkcie 2 +p+q 2 +p+q 3. Q α(2+p) β 6) Cªkownie uªmków prostych drugiego rodzju postci pierwszej cªki stosujemy podstwienie 2 + p + q = t, dt t = n n tn + C, α(2+p) ( 2 +p+q) n + β ( 2 +p+q) n : do do drugiej wzór rekurencyjny d ( ) = 2n 3 + n 2(n ) 2 ( ) n 2(n ) 2 d ( ) n Zdnie 6. Obliczy podne cªki rozkªdj c n sum uªmków prostych pierwszego rodzju: ) d (+)(+2)(, 2) d, (2+d, d, (+2) 3 5) 7) d ( 2 ), 8) (2 2 +d ( ) 2, 9) d , ) 2) Zdnie 7. d Obliczy cªki nieoznczone: d ), ) d 8), ) d, d, d ( 2 +( 2 2+5) d, (2 ( 2 ) 2 6) 2 2 )d, 3 2 d, ) d, ) d, ) d, 2 + 7) d, d, Zdnie 8. Obliczy cªki nieoznczone: ) d 2 +3, 2) (2+)d 2 ++2, (+)d 8) (4+5)d ,, 9) (2+d 2 ++, ) (+2)d d, ) (+2)d 2 +9, 6) (3 )d, 2(+)d 2 7),

3 Zdnie 9. Obliczy cªki nieoznczone: ) d, ( 2 + 2) ( 4 +)d 4 7) d, ) , ( 3 ++)d, d 4 + 2, 3 + 5) d, d ) d, 9) ( 2 +) d, ) d , Denicj 3 Wªsno±ci cªek oznczonych: 3.Cªki oznczone - wª±ciwe i niewª±ciwe Twierdzenie Newton-Leibnitz: b Cªkownie przez cz ±ci: b Cªkownie przez podstwienie: b f()d = b f()d, dl < b, f()d = F (b) F () = F () b, F () = f(), f()g ()d = f()g() b b f()d = β α b f(φ(t))φ (t)dt, Cªkownie przez podstwienie dl φ ±ci±le monotonicznych: Liniowo± cªki oznczonej: b b f()d = φ (b) φ () (αf() + βg())d = α b Addytywno± wzgl dem przedziªu cªkowni: b f()d = c f()d + f ()g()d, f(φ(t))φ (t)dt, f()d + β b c b f()d g()d, Zdnie. Obliczy cªki oznczone wª±ciwe: ) ( )d, 2 2) e d, 4 d, d, 2 + 5) π/4 sin d, π/6 6) e d, 7) d, 8) 4 ( 2 5 )d, 9) 8 ( 3 ) 2 d, ) (3 + )d, ) (+ 3 2 )d, 2 2) (+3 )d, 2 ( )d, 3 2 e d, 2 5) cos d 6) π/2 π/3 (+e2 )d,

4 Zdnie. Cªkuj c przez cz ±ci obliczy cªki oznczone wª±ciwe: 3 2 6) 2 ) π sin d, 2) ln 3 e d, 3 rctgd, e sin πd, 5) e ln2 d, rcsin d, 7) π/2 sin 3 cos d, 8) π/2 (4 2 +5) cos d, 9) rctgd, ) π 2 cos d, ) e d, 3 2) rcctgd, e ln d, π/2 e 2 cos d, 2 5) ln d, π/4 6) sin 2d, 7) e2 d, π 8) sin cos d, π/4 9) 2 e d, π/2 2) sin 2 cos d Zdnie 2. Cªkuj c przez podstwienie obliczy cªki oznczone wª±ciwe: ) 2 3 d, 3+ 2) 2 e2 d, + d, /2 2 π/2 6) cos sin e cos d, e 7) ) 2 d, ) 2 6) (2 + )e 2 d, π/2 7) π/6 ln d, 8) 2 ln 3 4 d, Zdnie 3. Obliczy cªki oznczone niewª±ciwe: 6) ) d, 3 5 2) 3 d, 7) 2 d 2, 8) 2 e 3 d, 9) e d, 2) 3 cos d, 25+sin 2 8) π/ d, 9 d 2, /e 9) d, π/2 5) sin cos e sin d, e d, π +e 2 9) sin ecos d, 2 ) d, 2 + d, cos d +sin d, d, ln 2 ) ln d, 3 5) e d, 6) d, + 2 2) 3d, ) 2 d, 5) d, d, d, 3 ) e 2 d, 2) e / 2 d, 7) (rctg) 2 d, d ), e / 2 d, 8) /2 d ( 2 e cos d, d, 2 rcsin 4.Cªki nieoznczone - zstosowni Denicj 4 Pole gury ogrniczonej wykresmi funkcji f() i g(), f() g(): D = b [g() f()]d, Obj to± bryªy obrotowej powstªej z obrotu wokóª osi OX ogrniczonej wykresem funkcji f(): V = π b f 2 ()d Obj to± bryªy obrotowej powstªej z obrotu wokóª osi OY ogrniczonej wykresem funkcji f(): V = 2π b f()d, Obj to± bryªy której powierzchni przekroju wyr» si funkcj S(): Dªugo± ªuku krzywej: Γ = V = b b S()d, + (f ()) 2 d,

5 Pole powierzchni obrotowej: Σ = 2π b f() + (f ()) 2 d Zdnie 4. Obliczy pol gur ogrniczonych krzywymi: ) y = , y = 3, 2) y = 4 2 8, y =, y = , y = , y = 2, y =, 5) y = , y = 3, 6) y = 2 + 4, y = 2 2, 7) y = 2 + 2, y = 2 2, 8) y = 2 4, y = 3 2, 9) y = 2 2, y = 3 2, ) y = 2, y = +, y =, ) y = 2 2, y = , 2) y = , y = 2 6, y = 2, y = 2+3, y = 2, y = 2, =, 5) y = 2 2, y =, 6) y = e, y =,, 7) y = 2, y = 4, 8) y = 2, y =, 9) y =, y = + 5, 2) y = sin, y =, π, 2 2) y = ( )d, y =, 2 2, 22) y = 2, y =, 2 y = 3, y = 4, 2 y = 2 3, y = 2, 25) y = 3, y =, 9 Zdnie 5. Obliczy obj to±ci bryª powstªych w wyniku obrotu funkcji wokóª osi OX ) 2 4, y = 2, 2) 2, y = 2 2, 4, y = e, π, y = sin, 5) 2, y = e, 6) π 2, y = cos, 7), y = e 2, 8) π 2 π, y = sin, 9) π 2, y = cos, ) π 2 π 2, y = cos, ), y = e, 2) π, y = sin Zdnie 6. Obliczy dªugo±ci krzywych: ) y = 2, [, 2 ], 2) y = 2 3, [, ], y = 2 3, [, ] Zdnie 7. Obliczy pol powierzchni powstªe z obrotu podnych funkcji wokóª osi OX: ) y = 3,, 2) y = 4 2,, y = 2, 3