Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Transkrypt

1 Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i ] f (x), M i = M i (f, π) := sup x [xi 1,x i ] f (x) Doln i górn sum cłkow Drboux funkcji f względem π s(f, π) := k m i x i S(f, π) := k M i x i

2 Doln i górn sum cłkow Drboux Doln i górn sum cłkow Drboux funkcji f względem π k k s(f, π) := m i x i S(f, π) := M i x i Rysunek: Sumy doln i górn dl funkcji ln(x + 1) i podziłu odcink [0, 5]: π 1 = { i 5 8 } 8

3 Doln i górn sum cłkow Drboux Doln i górn sum cłkow Drboux funkcji f względem π k k s(f, π) := m i x i S(f, π) := M i x i Rysunek: Sumy doln i górn dl funkcji ln(x + 1) i podziłu odcink [0, 5]: π 2 = { i 5 20 } 20

4 Doln i górn sum cłkow Drboux Doln i górn sum cłkow Drboux funkcji f względem π k k s(f, π) := m i x i S(f, π) := M i x i Rysunek: Sumy doln i górn dl funkcji ln(x + 1) i podziłu odcink [0, 5]: π 3 = { i 5 60 } 60

5 Cłk doln i górn Cłk doln Cłk górn f := sup {s(f, π); π P} f := inf {S(f, π); π P}

6 Cłk doln i górn Cłk doln Cłk górn f := sup {s(f, π); π P} f := inf {S(f, π); π P} Definicj Funkcj ogrniczon f : [, b] R jest cłkowln w sensie Riemnn n przedzile [, b], jeżeli f = Wspólną wrtość cłki dolnej i górnej oznczmy przez f (x) dx lub krótko f i nzywmy cłką Riemnn funkcji f n przedzile [, b]. f.

7 Cłkowlność w sensie Riemnn Wrunki konieczne i dostteczne Twierdzenie Funkcj ogrniczon f : [, b] R jest cłkowln w sensie Riemnn n przedzile [, b] wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnego ε > 0 istnieje podził π P tki, że S(f, π) s(f, π) < ε.

8 Cłkowlność w sensie Riemnn Wrunki konieczne i dostteczne c.d. f : [, b] R ogrniczon; π = {x 0,..., x n } P; Dl 1 i n niech ξ i [x i 1, x i ] dowolny punkt; ξ π = {ξ 1,... ξ n }

9 Cłkowlność w sensie Riemnn Wrunki konieczne i dostteczne c.d. f : [, b] R ogrniczon; π = {x 0,..., x n } P; Dl 1 i n niech ξ i [x i 1, x i ] dowolny punkt; ξ π = {ξ 1,... ξ n } Definicj Sumą cłkową Riemnn funkcji f względem podziłu π i wyboru punktów ξ π nzywmy wyrżenie σ(f, π, ξ π ) := n f (ξ i ) x i.

10 Cłkowlność w sensie Riemnn Wrunki konieczne i dostteczne c.d Rysunek: Sum cłkową Riemnn funkcji ln(x + 1) n przedzile [0, 5]: π 1 = { i 1 2 } 10 { xi 1 + x i ξ π1 = 2 } 10

11 Cłkowlność w sensie Riemnn Wrunki konieczne i dostteczne c.d Rysunek: Sum cłkową Riemnn funkcji ln(x + 1) n przedzile [0, 5]: π 2 = { i 1 6 } 30 { xi 1 + x i ξ π2 = 2 } 30

12 Cłkowlność w sensie Riemnn Wrunki konieczne i dostteczne c.d. Twierdzenie (Drboux Riemnn) Ogrniczon funkcj f : [, b] R jest cłkowln wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje grnic lim σ(f, π, ξ π). Wówczs również δ(π) 0 f = lim σ(f, π, ξ π). δ(π) 0

13 Włsności Niech f, g będą cłkowlne n przedzile [, b], λ R. (1) Funkcje f + g i λf są cłkowln n [, b] orz zchodzą wzory (f + g) = (λf ) = λ (2) Jeśli f (x) g(x) dl x [, b], to f f + f g g

14 Włsności Niech f, g będą cłkowlne n przedzile [, b], λ R. (1) Funkcje f + g i λf są cłkowln n [, b] orz zchodzą wzory (f + g) = (λf ) = λ (2) Jeśli f (x) g(x) dl x [, b], to f f + f g g

15 Włsności c.d. (3) Niech c [, b]. Funkcj f jest cłkowln n [, b] wtedy i tylko wtedy, gdy jest cłkowln n [, c] i [c, b] orz f = c f + (4) Jeśli f jest cłkowln n [, b], to również f i zchodzi wzór f f. c f.

16 Włsności c.d. (3) Niech c [, b]. Funkcj f jest cłkowln n [, b] wtedy i tylko wtedy, gdy jest cłkowln n [, c] i [c, b] orz f = c f + (4) Jeśli f jest cłkowln n [, b], to również f i zchodzi wzór f f. c f.

17 Twierdzenie o wrtości średniej Twierdzenie Jeśli f : [, b] R jest funkcją ciągłą, to istnieje punkt ξ [, b] tki, że f (ξ) = 1 b f

18 Funkcj górnej grnicy cłkowni Definicj Niech f : [, b] R będzie funkcją cłkowlną n przedzile [, b]. Funkcję F : [, b] R zdefiniowną wzorem F (x) := x f (t) dt nzywmy funkcją górnej grnicy cłkowni.