Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.
|
|
- Łucja Pietrzak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz Elblg Mtemtyk p. 1
2 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem Mtemtyk p. 2
3 Definicj cłki oznczonej Niech f(x) będzie funkcj ogrniczon n skończonym przedzile [, b]. Definicj Niech dne będ punkty = x < x 1 < < x n = b. Mówimy wówczs, że określony jest podziłp n przedziłu(,b). 2. Przedziły[x i 1,x i ], gdziei = 1,2,...,n, nzwiemy przedziłmi czstkowymi podziłu. 3. Długości przedziłów[x i,x i 1 ] oznczmy przez i ( i = x i x i 1 ), mksymln z nich, (P n ) = mx i=1,...,n i nzwiemy średnic podziłup n. Mtemtyk p. 3
4 Definicj cłki oznczonej, cd 4. Niech dne będ również węzły ξ i [x i 1,x i ], gdzie i = 1,...,n. Sumę S(f,P n ) = n f(ξ i ) i nzwiemy sum cłkow. 5. Grnicę (o ile istnieje) lim n (Pn) i=1 S(f,P n ) nzwiemy cłk oznczon (cłk Riemnn), oznczmy f(x)dx. Funkcj f(x) nzyw się wówczs cłkowln n przedzile [, b]. Mtemtyk p. 4
5 Sens geometryczny cłki oznczonej =x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 =b ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 Rysunek 1: Sens geometryczny cłki Riemnn Mtemtyk p. 5
6 Sens geometryczny cłki oznczonej, cd Niech będzie f(x) dl x [,b]. Sum cłkow, odpowidjc podziłowi P n i wyborowi węzłów ξ i równ jest polu figury, złożonej z prostoktów, zobcz rysunek 1. Grnic pól tkich figur, czyli cłk zgdz się z polem trpezu krzywoliniowego, i.e., obszru ogrniczonego łukiem krzywej y = f(x), odcinkiem osi Ox orz prostymi x = i x = b. Jeżeli zś w przedzile [,b] jest f(x), to nlogiczne pole równ się f(x)dx. Mtemtyk p. 6
7 Klsy funkcji cłkowlnych Twierdzenie 2. Cigł w przedzile[, b] funkcj jest cłkowln. Twierdzenie 3. Funkcj ogrniczon i cigł w przedzile[,b] z wyjtkiem co njwyżej skończonej liczby punktów jest cłkowln. Twierdzenie 4. Monotoniczn w przedzile[, b] funkcj jest cłkowln. Mtemtyk p. 7
8 Sum i różnic cłek Twierdzenie 5. Niech funkcjef(x) ig(x) będ cłkowlne w przedzile [,b]. Wtedyf(x)±g(x) będzie funkcj cłkowln ) ( f(x)±g(x) dx = f(x)dx± g(x)dx. Dowód. Rozwżmy sumy cłkowe: S(f ±g,p n ) = = n ( f(ξi )±g(ξ i ) ) i = i=1 n f(ξ i ) i ± i=1 orz n g(ξ i ) i = S(f,P n )±S(g,P n ). i=1 Mtemtyk p. 8
9 Liniowość cłki względem mnożeni przez liczbę Twierdzenie 6. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[,b]. Wtedyλf(x), gdzieλ R będzie funkcj λf(x)dx = λ f(x)dx. Dowód. nlogicznie do twierdzeni 5 cłkowln orz Mtemtyk p. 9
10 Włsności funkcji cłkowlnych Twierdzenie 7. Niech funkcjef(x) ig(x) będ cłkowlne w przedzile [,b]. Wtedyf(x) g(x) będzie funkcj cłkowln. Twierdzenie 8. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[, b]. Wtedy f(x) też będzie funkcj cłkowln. Twierdzenie 9. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[,b]. Wtedyf(x) będzie cłkowln w dowolnym przedzile[c,d] [,b]. Mtemtyk p. 1
11 Włsności funkcji cłkowlnych, cd. Definicj 1. Umówmy się, że dl fukcji f(x), cłkowlnej w przedzile[, b] b f(x)dx = f(x)dx =. f(x)dx Twierdzenie 11. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedziłch[,c] orz[c,b]. Wtedyf(x) będzie cłkowln w przedzile[,b] orz f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx. Mtemtyk p. 11
12 Oszcownie cłek Twierdzenie 12. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[,b] orzf(x) przyx [,b]. Wtedy Dowód. f(x)dx. n S(f,P n ) = f(ξ i ) i. i=1 Wniosek 13. Niech funkcjef(x) ig(x) będ cłkowlne w przedzile[, b] orzf(x) g(x) przyx [,b]. Wtedy f(x)dx g(x)dx. Wniosek 14. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[, b]. Wtedy b f(x)dx f(x) dx. Mtemtyk p. 12
13 Oszcownie cłek, cd. Twierdzenie 15. Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w przedzile[, b], M = sup f(x),m = inf f(x). Wtedy µ,m µ M, tkie że x [,b] x [,b] f(x)dx = µ (b ). Mtemtyk p. 13
14 Cłk oznczon cłk nieoznczon Twierdzenie 16. Niech funkcjf(x) będzie cigł w przedzile[,b]. Wtedy x f(t)dt jest funkcj pierwotn dlf(x). Wniosek 17. Niech funkcjf(x) będzie cigł w przedzile[,b]. Wtedy istnieje funkcj pierwotn dl f(x). Wniosek 18 (Twierdzenie Newton-Leibniz). Niech funkcjf(x) będzie cigł w przedzile[,b],f(x) będzie funkcj pierwotn. Wtedy f(x)dx = F(x) b, gdzie użyto oznczenief(x) b = F(b) F(). Dowód. F(x) = x f(t)dt+c. Mtemtyk p. 14
15 Przykłdy π 1 x n dx = xn+1 n+1 1 = 1 n+1, n 1, sinxdx = cosx π = 2, 1+x = 4rctgx 1 = π. 2 4 dx Mtemtyk p. 15
16 Zmin zmiennej w cłce oznczonej Twierdzenie 19. Niech funkcjϕ (x) będzie cigł w przedzile[α,β], funkcj ϕ(x) będzie monotoniczn w tym przedzile, g(t) będzie cigł β w przedzile(ϕ(α), ϕ(β)). Wtedy α g(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(β) ϕ(α) g(x) dx. Dowód. Niech G(x) będzie funkcj pierwotn dlg(x). WtedyG ( ϕ(t) ) będzie funkcj pierwotn dlg(ϕ(t)). Mtemtyk p. 16
17 Przykłdy x 1+x 2 dx = π/2 1 sin 3 xdx = π/2 1+x 2 = t 2xdx = dt = sinx(1 cos 2 x)dx = (1 t 2 )dt = ( 1 3 t3 t) = tdt = t3/2 2 1 = cosx = t sinxdx = dt = Mtemtyk p. 17
18 Cłkownie przez części w cłce oznczonej Twierdzenie 2. Niech funkcjeu (x) orzv (x) będ cigłe w przedzile [, b]. Wtedy Przykłd 21. xsinx u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b b u (x)v(x)dx. π/2 π π/2 2 xcosxdx = sinxdx = π 2 +cosx π 2 u(x) = x v (x) = cosx u (x) = 1 v(x) = sinx = = π 2 1. Mtemtyk p. 18
19 Cłki niewłściwe Definicj 22 (Cłki funkcji nieogrniconych). Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w kżdym przedzile[,b ε] (ε > ). Wtedy f(x)dx = lim ε b ε f(x)dx Definicj 23 (Cłki w przedzile nieskończonym). Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w kżdym przedzile[,n (N > ). Wtedy N f(x)dx = lim f(x)dx N Mtemtyk p. 19
20 Przykłdy cłek niwłściwych Przykłd dx x λ = { x 1 λ x lim 1 λ 1 ε 1 λ ε, λ 1 lim lnx 1 ε ε, λ = 1 = dx 1 1 λ, λ 1 lnx 1, λ = 1 = { 1 1 λ, λ < 1, λ 1 1+x 2 = rctgx = lim N rctgx N = π 2 dx x λ = { x 1 λ 1 λ λ 1 1 lnx 1, λ = 1 = { 1 λ 1, λ > 1, λ 1 Mtemtyk p. 2
Analiza Matematyczna. Całka Riemanna
Anliz Mtemtyczn. Cłk Riemnn Aleksnder Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych Wydził Informtyki w Gdńsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdńsk 29 kwietni 217 1 / 2 Cłk Riemnn
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux
Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki
Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Mtemtyk 1 Šuksz Dwidowski Instytut Mtemtyki, Uniwersytet l ski Cªk oznczon Niech P = [, b] R b dzie przedziªem. Podziªem przedziªu P b dziemy nzywli k»d sko«czon rodzin Π = {P 1, P 2,..., P m } tkich przedziªów,»e
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoIII. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.
III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 7.
Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6
Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2
Bardziej szczegółowonazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.
Rozdził 10 Cłk Drboux 10.1 Doln i górn sum Drboux Definicj podziłu. Niech, b R, < b. Kżdy skończony ciąg P postci (10.1) P = (x 0,..., x n ), gdzie n N, = x 0 < x 1
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna (część II)
Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)
Bardziej szczegółowoCAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)
Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Bardziej szczegółowoZastosowania całki oznaczonej
Przkłd 9 Nie kd funkcj okrelon i ogrniczon n [, b] jes cłkowln n [, b], np funkcj Dirichle nie jes cłkowln n przedzile [, ], gd f ( ), gd liczb wmiern odcink [,] liczb niewmiern odcink [,] Gdbm dl kdego
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak
Cłk oznczon funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Witold Mjdk 6 Spis treści Definicj cłki oznczonej Riemnn Włsności cłki Riemnn Twierdzenie o średniej cłkowej funkcji Pierwsze zsdnicze twierdzenie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna
Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoCałkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:
Bardziej szczegółowo2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja
2. Anliz Kresy: infim i suprem Wprowdzmy oznczenie dl rozszerzonej prostej rzeczywistej: R = R {, + }, przy czym w zbiorze tym zchowujemy nturlny porzdek w R orz przyjmujemy, że < < dl R. Niech A R. Ogrniczeniem
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI
MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. wykład z MATEMATYKI
Cłki oznzone wkłd z MATEMATYKI Budownitwo, studi niestjonrne sem. I, rok k. 28/29 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politehnik Biłostok 1 Podstwowe pojęi 1.1 Podził P przedziłu, Nieh f ędzie funkją ogrnizoną
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowo9. Całkowanie. I k. sup
9. Cłkownie Zcznijmy od podstwowego dl teorii cłki pojęci podziłu. Podziłem odcink [, b] R nzywmy kżdy skończony zbiór P [, b] zwierjący ob końce odcink. Niech będą punktmi podziłu P. Odcinki = x < x
Bardziej szczegółowoPlan wykładów z Matematyki, I 2014/2015 semestr zimowy. (a) Podstawowe funkcje: pierwiastki, funkcja potęgowa, logarytm.
Pln wykłdów z Mtemtyki, I 014/015 semestr zimowy 1. Powtórk i widomości wstępne. () Podstwowe funkcje: pierwistki, funkcj potęgow, logrytm. (b) Trygonometri. (c) Dwumin Newton, przystość funkcji.. Rchunek
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoNiewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6
Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1
Mtemtyk II Bezpieczeństwo jądrowe i ochron rdiologiczn Semestr letni 2018/2019 Wykłd 1 Zsdy współprcy przypomnienie Wykłdy są nieobowiązkowe, le Egzmin: pytni teoretyczne z łtwymi ćwiczenimi (będzie list)
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów wykład 10.
Mtemtyk dl biologów wykłd 10. Driusz Wrzosek 13 grudni 2016 Cłki i krzywe Cłki przypomnienie Cłki zstosowni Zstosowni cłek: obliczni pól i objętości figur, długości krzywych; rozwizywnie równń różniczkowych
Bardziej szczegółowoWykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoN(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowo3. F jest lewostronnie ciągła
Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )
Bardziej szczegółowo< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowoWykład 3: Transformata Fouriera
Rchunek prwdopodobieństw MAP64 Wydził Elektroniki, rok kd. 28/9, sem. letni Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 3: Trnsformt Fourier Złóżmy, że f(t) jest określon n R, ogrniczon, okresow o okresie 2T i
Bardziej szczegółowof(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1
Mtemtyk -. rok Trnsport, stcjonrne. stopie«przykªdowe zdni n kolokwium nr.cªki nieoznczone - cªkownie przez cz ±ci, cªkownie przez podstwienie Denicj F () = f(), f()d = F () + C Cªkownie przez cz ±ci:
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoWykłady 11 i 12: Całka oznaczona
Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć
Bardziej szczegółowoXI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:
XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn. 1.1. Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon
Bardziej szczegółowoO SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx
O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja
Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Lista zadań 10
Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowo2 Całka oznaczona-cd Rozdrobnienia podziałów Warunki równoważne całkowalności Własności funkcji całkowalnych...
Spis treści Uzupełnieni do wykłdu. (4 III 200) 2. Jednostjn ciągłość funkcji.................... 2.2 Cłk Riemnn (heurez)..................... 3.3 Cłk Riemnn -konstrukcj................... 4.4 Przykłdy
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej
Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.
Metody numeryczne Cłkownie Jnusz Szwbiński szwbin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/2002 10:07 p.1/69 Cłkownie numeryczne 1. Kilk uwg ogólnych 2. Kwdrtury Newton Cotes
Bardziej szczegółowoRównania róniczkowe liniowe. = 2. dx x. dy dy. dx y. y dx. dy y. dy 2
Równni róniczkow liniow Równni róniczkow, kór mon zpis w posci + p( q(, gdzi p ( i q ( s funkcjmi cigłmi, nzwm równnim liniowm pirwszgo rzdu Jli q (, o równni nzwm liniowm nijdnorodnm W przciwnm przpdku
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoZastosowania geometryczne całek
Matematyka Zastosowania geometryczne całek Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-3 Elblag Matematyka p. 1 Zastosowania geometryczne całek
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI
Wykłady z matematyki inżynierskiej ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI IMiF UTP 04 JJ (IMiF UTP) ZASTOSOWANIA POCHODNEJ FUNKCJI 04 1 / 13 Reguła de L Hospitala TWIERDZENIE (Reguła de L Hospitala). Załóżmy,
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoWłaściwości funkcji Różniczkowalnych
Matematyka Właściwości funkcji Różniczkowalnych Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag Matematyka p. 1 Właściwości funkcji Różniczkowalnych
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoWykłady 14 i 15. Zmienne losowe typu ciągłego
Wykłady 14 i 15. Zmienne losowe typu ciągłego dr Mariusz Grządziel r. akad. 14 15 Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x, gdzie f jest funkcją ciągłą
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoWykład 13. Zmienne losowe typu ciągłego
Wykład 13. Zmienne losowe typu ciągłego dr Mariusz Grządziel styczeń 014 Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x, gdzie f jest funkcją ciągłą; proste
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 11: CAŁKOWANIE
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 11: CAŁKOWANIE KOGNITYWISTYKA UAM, 2016 2017 JERZY POGONOWSKI Zkłd Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@mu.edu.pl Początki systemtycznego rchunku różniczkowego
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna
Analiza matematyczna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki Funkcje Podstawowe pojęcia Funkcje Definicja (Funkcja) Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 14
Obliczeni nuowe Wyłd nr 14 Pweł Zielińsi Ktedr Informtyi, Wydził Podstwowych Problemów Technii, Politechni Wrocłws Litertur Litertur podstwow [1] D. Kincid, W. Cheney, Anliz numeryczn, WNT, 2005. [2] A.
Bardziej szczegółowoWzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).
Wzory uproszczonego mno zeni: ( + b) = + b + b, ( b) = b + b, b = ( b) ( + b). Dzi ni n pot ¾egch: Dl ; y R orz ; b > 0 (dl pewnych wyk dników ; y z o zeni o ; b mog¾ być os bine w zle zności od sytucji)
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Funkcje Γ i B Eulera oraz ich zastosowania
Rozdził Cłki niewłściwe. Funkcje Γ i B Euler orz ich zstosowni W tym rozdzile omówimy pojęcie cłki niewłściwej. Zjmiemy się też dwom brdzo wżnymi konkretnymi typmi tkich cłek: funkcjmi Γ (gmm i B (bet
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x)
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora
Analiza Matematyczna Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045
Bardziej szczegółowoSpis treści. 1 Wprowadzenie 2
Spis treści 1 Wprowdzenie 2 2 Podstwowe przestrzenie funkcyjne 14 2.1 Przestrzenie L p (, b) i L (, b)......................... 14 2.2 Przestrzenie L p (, b) L p (, b) i L (, b) L (, b)............. 27
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoArkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa
Arkusz - krt prcy Cłk oznczon i jj zstosowni. Cłk niwłściw Zdni : Obliczyć nstępując cłki oznczon 5 d 5 d + 5 + 7 d Zuwżmy, ż d, Stąd d, + 5 + 7 d + ] 7 + + ln d cos sin d d ]. d + d 5, d + 5 + 7 7 7 d
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 6.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 6. Dariusz Wrzosek 14 listopada 2018 Matematyka dla biologów Zajęcia 6. 14 listopada 2018 1 / 25 Pochodna funkcji przypomnienie Dzięki pochodnej można określić czy funkcja
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
YH JJ, MiF UP 13 D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ). D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowo