RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

Transkrypt

1 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie kżdemu elementowi ze zbioru X jednego i tylko jednego elementu zbioru Y. Niech f będzie funkcją z X do Y. Zpisujemy to jko f : X Y. Zbiór X nzyw się dziedziną, Y przeciwdziedziną funkcji f. Jeżeli x X to jego wrtość, czyli jego obrz w przyporządkowniu f oznczmy f(x). Funkcję f zpisuje się tkże jko f : X x f(x) Y lub krócej jko x f(x). Oczywiście, użyt tutj liter x może być zmienin przez jkąkolwiek inną, n przykłd y f(y), z f(z) itd. oznczją wciąż tę smą funkcję f. Uwg.. W dlszej części tekstu funkcj f będzie czsem oznczn jko f(x) ( tkże f(y), f(z) itd.). Możn to interpretowć jko skrót zpisu x f(x) (wtedy f(y) jest skrótem zpisu y f(y) itd.). Mimo formlnej niepoprwności (kolizj oznczeń funkcji i jej wrtości w punkcie), stosownie tego oznczeni jest wygodne i zwykle nie powoduje nieporozumień. Jest używne w nieml wszystkich klsycznych podręcznikch z rchunku różniczkowego i cłkowego. Wykresem funkcji f nzyw się zbiór {(x, y) X Y : y = f(x)}. Jeżeli A X to f(a) := {f(x) Y : x A} nzyw się obrzem podzbioru A poprzez f. Zbiór f(x) nzyw się tkże obrzem funkcji f. Funkcj f A : A x f(x) Y nzyw się zwężeniem f do A. Złożeniem g f funkcji f : X Y i g : Y Z nzyw się odwzorownie X Z dne wzorem (g f)(x) := g(f(x)). Funkcj f nzyw się różnowrtościową (inczej: jest injekcją) jeżeli dl wszystkich x, x X równość f(x ) = f(x ) implikuje x = x. Jeżeli f jest różnowrtościow to funkcj odwrotn do niej f : f(x) X jest zdefiniownym wzorem f (y) := z, gdzie z X jest tki że f(z) = y. Wtedy, dl wszystkich x X i y f(x), f (f(x)) = x, f(f (y)) = y... Zbiory liczbowe. Zbiór liczb nturlnych (czyli zbiór którego elementmi są liczby 0,,, 3 itd.) oznczmy N. Dl liczby nturlnej n definiuje się liczbę n-silni wzormi 0! :=,! :=, n! := n(n )!, gdy n. Zbiór liczb cłkowitych (oznczny Z) powstje z N przez dołączenie liczb ujemnych, to znczy Z := {...,,, 0,,,...}. Zbiór liczb rzeczywistych oznczmy R; mimo skomplikownej formlnej definicji wystrczjąc jest intuicj z nim związn: liczby rzeczywiste możn trktowć jk punkty osi liczbowej. R wrz z dziłnimi dodwni i mnożeni posid strukturę

2 4 ROMAN SRZEDNICKI cił. Niech n, m N i niech m < n. Sumę liczb i R, gdzie i = m, m +,..., n, n często zpisujemy jko n i=m i, to znczy n i := m + m n + n. i=m Potęgi nturlne liczby rzeczywistej definiujemy jko 0 :=, :=, n := n, gdy n N, n. Dl n N, n orz 0 definiujemy n-ty pierwistek z : n := z, gdy z 0, z n =. W szczególności, pierwistek jest zwsze liczbą nieujemną i Wrtość bezwzględn liczby x R jest zdefiniown jko { x, gdy x 0, x := x, gdy x < 0. n 0 = 0. Liczby rzeczywiste postci p/q, gdzie p Z i q N, q 0, nzywją się liczbmi Rysunek. x wymiernymi; ich zbiór jest oznczny Q. Dl liczb rzeczywistych < b definiuje się przedziły [, b], [, b), (, b] i (, b) jko zbiory tkich x R, że, kolejno, x b, x < b itd. Liczby i b nzywją się końcmi przedziłu, (, b) nzyw się przedziłem otwrtym, [, b] przedziłem domkniętym. Anlogicznie definiuje się przedziły [, ), (, ), (, ] orz (, )..3. Ciągi. Funkcj N Y (dl dowolnego zbioru Y ) nzyw się ciągiem. Wrtość elementu n N w ciągu : N Y zpisujemy zwykle jko n zmist (n); sm ciąg zpisuje się jko { n } n N lbo { n } (lbo, niezbyt poprwnie, n ). Przykłdy ciągów: : N R nzyw się ciągiem rytmetycznym jeżeli istnieje liczb r R tk że n N: n+ = n + r, ntomist b: N R nzyw się ciągiem geometrycznym jeżeli istnieje liczb q R tk że n N: b n+ = qb n. T liczb q nzyw się wtedy ilorzem ciągu {b n }.

3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/ Funkcje o wrtościch rzeczywistych. Niech terz X będzie dowolnym zbiorem i niech f, g : X R będą dowolnymi funkcjmi. Definiujemy dziłni sumy f + g, różnicy f g, iloczynu fg orz ilorzu f/g tych funkcji wzormi: (f ± g)(x) := f(x) ± g(x), (fg)(x) := f(x)g(x), f f(x) (x) := g g(x). Dziedzinmi f±g orz fg jest X, ntomist dziedziną f/g jest zbiór {x X : g(x) 0}. Niech D R będzie zbiorem mjącym tę włsność, że jeżeli x D to również x D i niech f : D R. f nzyw się funkcją przystą jeżeli f(x) = f( x) dl wszystkich x D, funkcją nieprzystą jeżeli f( x) = f(x) dl wszystkich x D. Niech T > 0. Złóżmy terz, że D jest tkim zbiorem że jeżeli x D to tkże x + T D. f : D R nzyw się funkcją okresową o okresie T jeżeli f(x + T ) = f(x) dl wszystkich x D. Niech D R będzie przedziłem. f : D R nzyw się funkcją rosnącą (względnie: silnie rosnącą, mlejącą, silnie mlejącą) jeżeli dl wszystkich x, x D, x < x, f(x ) f(x ) (odpowiednio: f(x ) < f(x ), f(x ) f(x ), f(x ) > f(x )). Funkcj nzyw się monotoniczną jeżeli jest rosnąc lub mlejąc..5. Funkcje elementrne. Niech n N i niech i R dl i = 0,..., n. Ndużywjąc nieco ścisłości, zgodnie z Uwgą. przez n x n + n x n x + 0 będziemy oznczć funkcję w : R x n x n + n x n x + 0 R. (Tkże inne funkcje będą zpisywne w podobny sposób.) Kżd funkcj powyższej postci nzyw się wielominem. Liczb x 0 tk że n x n 0 + n x n x = 0 nzyw się pierwistkiem wielominu w. Wielominem jest więc w szczególności funkcj stł R x R orz funkcj liniow x + b (czyli, w poprwniejszym zpisie, funkcj R x x + b R) orz funkcj potęgow x n dl n N. Ilorz dwóch wielominów nzyw się funkcją wymierną, jej dziedziną jest oczy Rysunek. x wiście zbiór R \ Z, gdzie Z jest zbiorem pierwistków minownik. Przykłdmi funkcji wymiernych są więc x, x 3 + x + x +. x Funkcję potęgową x r możn określić nie tylko dl liczb nturlnych r. Niech x > 0.

4 6 ROMAN SRZEDNICKI Rysunek 3. x Dl p, q N, q 0, definiujemy x p/q := ( q x ) p, x p/q := ( q x) p. W szczególność, x = /x, x n := /(x n ) i x /n := n x. Tę definicje jednozncznie rozszerz się do x r dl dowolnego r R tk by spełniony był nstępujący wrunek: jeżeli < r < b i, b Q to x r nleży do przedziłu otwrtego o końcch x i x b. r w wyrżeniu x r nzyw się wykłdnikiem. Funkcje niewymierne otrzymuje się jko złożeni funkcji wymiernych z funkcjmi potęgowymi o wykłdnikch wymiernych, tkimi funkcjmi są więc n przykłd Rysunek 4. x x, x, 3 + x x. 3 Do funkcji trygonometrycznych zliczne są sin x, cos x, tg x := sin x cos x, ctg x := cos x sin x,

5 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 7 zwne, odpowiednio, sinus, cosinus, tngens i cotngens. Pierwsze dwie z tych funkcji definiuje się nstępująco: jeżeli 0 x < π jest długością łuku n okręgu jednostkowym {(u, w) R : u + w = } od punktu (, 0) w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskzówek zegr do punktu (, b), to cos x := i sin x := b. Aby określić sinus i cosinus dl dowolnych liczb rzeczywistych, rozszerz się jednozncznie powyższą definicje wrunkiem π-okresowości, to znczy sin x = sin(x + π), cos x = cos(x + π) dl x R (Rysunki 5 i 6). Wynik stąd, w szczególności, że Π 3Π Π Π - Π Π 3Π Π Rysunek 5. sin x Π 3Π Π Π - Π Π 3Π Π Rysunek 6. cos x sin x + cos x =. Obrzmi funkcji sinus i cosinus jest przedził [, ]. 4 Π 3Π Π Π - Π Π 3Π Π -4 Rysunek 7. tg x

6 8 ROMAN SRZEDNICKI 4 Π 3Π Π Π Π Π 3Π Π - -4 Rysunek 8. ctg x Funkcje odwrotne do pewnych zwężeń funkcji trygonometrycznych (tkich, by te funkcje są różnowrtościowe) nzywją się funkcjmi cyklometrycznymi. Trdycyjnie przyjmuje się nstępujące dziedziny dl tych funkcji: rc sin x jest funkcją [, ] [ π/, π/] odwrotną do sinus (oczywiście, zwężonego do przedziłu [ π/, π/]); rc cos x jest funkcją [, ] [0, π] odwrotną do cosinus, rc tg x jest funkcją R ( π/, π/) odwrotną do tngens, rc ctg x jest funkcją R (0, π) odwrotną do kotngens. Π Π Π 4 Π Rysunek 9. rc sin x Dl > 0 definiuje się funkcję wykłdniczą R x x R. W szczególności, 0 = i gdy = to funkcj t jest stłą równą. Możn wykzć prwdziwość nstępujących wzorów: () () x y = x+y, (b) x = x b x, x y = x y, ( x ) y = xy, x = x, ( ) x x = b b x.

7 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 9 Π 3Π 4 Π Π Rysunek 0. rc cos x Π Π Rysunek. rc tg x Jeżeli > 0 i to możn udowodnić, że x jest różnowrtościow i jej obrzem Rysunek. x jest przedził (0, ), możn więc zdefiniowć funkcję logrytmiczną (0, ) x log x R jko odwrotną do x, to znczy log x := z wtedy i tylko wtedy gdy z = x.

8 0 ROMAN SRZEDNICKI Wyrżenie log x czyt się logrytm przy podstwie z x. W szczególności, log = 0 i log = orz log x = x i log ( x ) = x. Z powyższych wzorów dl funkcji wykłdniczej możn wyprowdzić nstępujące włsności logrytmów: (3) log (xy) = log x + log y, log x y = log x log y, log (x r ) = r log x. Z osttniego wzoru wynik, że dl, b > 0,, b, Rysunek 3. log x (4) log x = log b log b x, bo log x = log (b log b x ) = log b x log b. Stąd, w szczególności, log b = log b. Nietrudno też wyprowdzić wzór n zminę podstw: jeżeli, b > 0, b to (5) x = b x log b. Uzsdnienie: Z odpowiedniego wzoru w () otrzymuje się: x = ( b log b ) x = b x log b..6. Rysownie wykresów funkcji w progrmie Mthemtic. Wykres funkcji f : D R (gdzie D R) w zbiorze D [, b] otrzymuje się z pomocą komendy Plot[f[x], {x,,b}] (i po jej wypisniu nleży jednocześnie wcisnąć klwisze Shift i Enter ). f[x] ozncz tutj wrtość f w x, czyli f(x). Do jej wpisywni używ się znków trybu tekstowego: spcj lub znk * ozncze mnożenie, / ozncz dzielenie, znk ^ potęgownie. Stąd x 3 + 4x 7 x 9 4 zpisuje się jko (x^3+4 x-7)/(x^9-(+3 x)^(/4)) + 3x

9 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 Nzwy funkcji elementrnych zczynją się do dużych liter; n przykłd wyrżenie sin x nleży zpisć jko Sin[x]. Tk więc wykres sinus w przedzile [ π, π] możn otrzymć pisząc Plot[Sin[u], {u, -Pi, Pi}] Dodtkowe opcje pozwlją uzyskć inny wygląd wykresów, n przykłd Rysunek 5 uzyskuje się komendą Plot[Sin[x], {x, -Pi, Pi}, PlotRnge -> {-.,.}, AspectRtio ->., Ticks -> {Rnge[-Pi, Pi, Pi/], Rnge[-,, ]}]. Grnice ciągów liczbowych.. Grnic i jej włsności. Niech { n } będzie ciągiem. (Rozptrujemy wyłącznie ciągi liczbowe: n R dl n N). Definicj.. g R jest grnicą ciągu { n } (inczej: { n } jest zbieżny do g; zpis: g = lim n n lub g = lim n lub n g) jeżeli ɛ > 0 k N n k : n g < ɛ. Mniej ściśle: g jest grnicą { n } jeżeli wrz ze wzrostem n wyrzy n zbliżją się do g. Uwg.. Do formułowni wrunków dotyczących grnic często używ się zwrotu prwie wszystkie, który znczy wszystkie z wyjątkiem skończonej ilości. Pondto, prwie wszystkie liczby nturlne znczy to smo co dosttecznie duże liczby nturlne i ozncz zbiór {n N: n k} dl pewnego k N. Tk więc fkt, że g jest grnicą ciągu { n } możn wyrzić dl kżdego ɛ > 0 prwie wszystkie wyrzy ciągu { n } spełniją nierówność n g < ɛ lub dl kżdego ɛ > 0 nierówność n g < ɛ jest spełnion dl dosttecznie dużych n. Przykłd.. Ciąg {( /) n } m grnicę równą 0, ciąg {( ) n } nie posid grnicy. Przy obliczniu grnic często korzyst się z nstępujących dwóch twierdzeń: Twierdzenie.. Jeżeli f : D R jest funkcją elementrną (to znczy jedną z funkcji zdefiniownych w podrozdzile.5),, n D dl kżdego n i n to Niech { n } i {b n } będą ciągmi. f( n ) f(). Twierdzenie.. Jeżeli n i b n b to i jeżeli pondto b n 0 i b 0 to n + b n + b, n b n b, n b n b n b n b. Definicj.. jest grnicą ciągu { n } (inczej: { n } jest rozbieżny do nieskończoności; zpis lim n n =, n itd.) jeżeli r R k N n k : n > r. jest grnicą ciągu { n } (zpis n itd.) jeżeli ciąg { n } jest rozbieżny do (to znczy n ).

10 ROMAN SRZEDNICKI Jeżeli n i istnieje b tki że b n b to tkże n + b n. (Możn podć jeszcze kilk podobnych kryteriów zbieżności do i nlogicznych kryteriów dotyczących.) Twierdzenie.3. (I) Jeżeli k > 0 to n k. (II) Jeżeli > to n i log n. (III) Jeżeli n lub n to n 0... Oblicznie grnic ciągów. Z Twierdzeni.3(I) wynik, że jeżeli k N to n k 0. Zdnie.. Obliczyć grnicę ciągu pn p + p n p n + 0 b q n q + b q n q przy złożeniu p 0 i b q b n + b 0 0. Rozwiąznie: I przypdek: p = q, wtedy z Twierdzeni. otrzymuje się p n p + p n p n + 0 b p n p + b p n p b n + b 0 = p + p n n + 0 p n p b p + bp n b n p + b0 n p p b p. II przypdek: p < q, wtedy w nlogiczny sposób otrzymuje się grnicę równą 0. III przypdek: p > q, wtedy grnic jest równ + gdy znk p /b q jest dodtni i gdy znk p /b q jest ujemny. Zdnie.. Obliczyć grnicę ciągu n n + n 3. Rozwiąznie: Trzeb skorzystć ze wzoru b = b +b. n n + n 3 = (n ) (n + n 3) n + n + n 3 = n + n + n + n 3 = n + + n + n 3 n = +. Zdnie.3. Obliczyć grnicę ciągu 3 n 3 n + n. Rozwiąznie: Wykorzystuje się wzór b = 3 b 3 +b+b. 3 n3 n + n = (n 3 n + ) n 3 (n3 n + ) + n 3 n 3 n + + n = 3 + n (n3 n + ) + n 3 n 3 n + + n = n = n (n 3 n + ) n (n 3 n + ) n = 3 ( n + n ) n + n = 3. 3 Zdnie.4. Obliczyć grnice ciągu ( 3)n n+. + 3

11 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3 Rozwiąznie: Korzystmy z wzoru w (): ( 3) n n+ + 3 n ( 3) 4 4 n + 3 = = ( 3)n n n n = ( ) 3 n n = 0 6 = 0 4 n Twierdzenie.4 (o trzech ciągch). Jeżeli n b n c n dl dosttecznie dużych n i n g, c n g to tkże b n g. Zdnie.5. Obliczyć grnicę ciągu ( )n n + 0. Rozwiąznie: Grnic jest równ 0, co wynik z Twierdzeni o trzech ciągch (Twierdzenie.4): n + 0 ( )n n + 0 n + 0. Twierdzenie.5. (I) Jeżeli > 0 to n. (II) n n. Zdnie.6. Obliczyć grnicę ciągu n 0 n + 9 n Rozwiąznie: Dl n 3, więc 0 n 0 n + 9 n n, 0 n 0 n + 9 n n 3 (bo funkcj n x jest rosnąc) i z Twierdzeń.4 i.5(i) wynik że grnic jest równ 0. Zdnie.7. Obliczyć grnicę ciągu n 5n 4 + n. Rozwiąznie: (bo n n 5 dl kżdego n) więc 5n 4 5n 4 + n 6n 4 n 5 ( n n ) 4 n 5n 4 + n n 6 ( n n ) 4 i z Twierdzeń.4 i.5 wynik że grnicą jest. Zdnie.8. Niech >. Obliczyć grnicę ciągu log n n. Rozwiąznie: Z Twierdzeni.5(II), log n n = log ( n n ) log = 0.

12 4 ROMAN SRZEDNICKI.3. Liczb e. Twierdzenie (.6. (I) Ciąg + n) n jest zbieżny i jego grnicą jest liczb e (II) Jeżeli n 0 i n 0 to ( + n ) n e. Funkcję x e x ozncz się czsem jko exp, więc exp x := e x. Logrytm log e nzyw się logrytmem nturlnym i z tego powodu liczb e nzyw się podstwą logrytmów nturlnych. Zmist log e używ się oznczeni ln, stąd Tk więc dl b = e wzór (5) m postć ln x := log e x. (6) x = e x ln, z wzoru (4) wynik (7) log x = ln x ln. Zdnie.9. Obliczyć grnicę ciągu ( + n) n. Rozwiąznie: Z () i z Twierdzeni.6(II) wynik, że ( ( + n) n ( = + ) n ) e. n Zdnie.0. Obliczyć grnicę ciągu Rozwiąznie: ( n + n + ( + ) n = (n + ) ( ( + ( n + n + n + ) ( )( (n +)+) ) n ( n ) n + n. + ) n ( = + (n = + ) ( ( ) ) (n +)+ = + (n = + ) ) (n +) ( ) ) (n + + ) (n (e ) = e. + ).4. e i wrtości przybliżone w progrmie Mthemtic. Liczbę e zpisuje się jko E. Jej przybliżoną wrtość z dokłdnością do 5 miejsc po przecinku uzyskuje się komendą N[E] (i, oczywiście, nleży wcisnąć Shift i Enter ). Większą dokłdność, n przykłd 50 miejsc po przecinku, uzyskuje się wpisując

13 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 5 N[E,5] 5 ozncz tutj liczbę wszystkich cyfr przybliżeni (chodzi o cyfry znczące; n przykłd 0.00, inczej zpisne jko., m cyfry), więc e Ogólniej, dl uzyskni przybliżeni wyrżeni zwierjącego n cyfr używ się komendy N[,n] Aby rzeczywiście osiągnąć żądną dokłdność, musi być wyrżeniem zwierjącym liczby nturlne, liczby tkie jk e i π orz funkcje zdefiniowne w progrmie Mthemtic (są to, między innymi, wszystkie funkcje elementrne). Ozncz to, że liczby mjące rozwinięcie dziesiętne muszą być zpisne jko ułmki (n przykłd 3 4, nie 0.75). Tk więc N[Pi Sin[E^(3/4)]/8, 30] prowdzi do przybliżeni π 8 sin e3/ , ntomist komend N[Pi Sin[E^(.75)]/8, 30] dje jedynie przybliżenie z sześciom, nie trzydziestom cyfrmi..5. Kpitlizcj odsetków. Lokując pieniądze w bnku zwykle liczymy n uzysknie zysku z odsetków. Bnk powinien podć dwie wielkości chrkteryzujące opłclność lokt: stopę procentową i okres kpitlizcji. Stop procentow r jest wielkością przyrostu lokty rocznej, to znczy lokt P (liczon w ustlonej wlucie) powinn po jednym roku oszczędzni przynieść P ( + r) (oczywiście po przeliczeniu % = 0.0). W rzeczywistości zwykle uzyskuje się nieco więcej, gdyż kpitlizcje przeprowdz się nie co roku, w odstępch czsu schrkteryzownych przez okres kpitlizcji. Tk więc kpitlizcj roczn przynosi P ( + r) t po upływie t lt (dopuszczmy tutj dowolne wrtości t R, t > 0). Gdy bnk m półroczny okres kpitlizcji (czyli dw terminy do dopisywni odsetków w roku), lokt P prowdzi do P ( + r ) po pół roku, któr to z kolei kwot po nstępnym pół roku przynosi P ( + r ). Stąd wynik, że po upływie t lt uzyskuje się P ( + r )t. Jeżeli jest n okresów kpitlizcji w roku (lokt kwrtln to n = 4, lokt miesięczn to n = itd.), lokt P przynosi po t ltch P ( + r n )nt. Gdy liczb okresów kpitlizcji zmierz do nieskończoności, w grnicy dostjemy (8) lim n P ( + r n ) nt = P e rt (uzsdnienie jk w Zdniu.9). Mówimy wtedy o kpitlizcji ciągłej ; prw stron (8) jest więc równ wrtości lokty P po t ltch przy kpitlizcji ciągłej. Zdnie.. Ile dolrów nleży ulokowć w bnku n % przy kpitlizcji ciągłej, by po ltch otrzymć $5000? Rozwiąznie: Niech x ozncz szukną kwotę = xe 0., więc x = 5000e , co ozncz, że trzeb ulokowć $ Zdnie.. Ile lt potrzeb, by inwestycj ulokown n 6% przy kpitlizcji ciągłej podwoił swoją wrtość?

14 6 ROMAN SRZEDNICKI Rozwiąznie: Niech t ozncz szukną liczbę lt i niech P ozncz początkową wrtość inwestycji. Wtedy P = P e 0.06t, więc 0.06t = ln , skąd t.55 lt. Zdnie.3. Obrz zkupiony w roku 995 z mln zł był wrty 3 mln zł w roku 005. W którym roku osiągnie wrtość 0 mln zł, jeżeli jego cen będzie rosł w tkim smym tempie? Rozwiąznie: Niech r ozncz poziomem wzrostu ceny obrzu w ltch , to znczy = 0 6 e 0r. Stąd r = ln 3/ , więc jeżeli t ozncz liczbę lt w której cen wzrośnie od mln do 0 mln to 0 = e 0.t, więc t = ln 0/ /0. 0.9, czyli obrz będzie wrty 0 mln zł w roku Grnice i ciągłość funkcji 3.. Grnic i grnice jednostronne funkcji. Niech f : D R będzie funkcją, D R. Niech będzie liczbą rzeczywistą lub ± i niech x 0 R. Definicj 3.. jest grnicą lewostronną f w x 0 jeżeli dl kżdego ciągu {x n } tkiego, że x n < x 0 i x n x 0, f(x n ). Wyrżenie jest grnicą lewostronną f zpisujemy jko lbo piszemy = lim f(x) x x 0 f(x) gdy x x 0. Dokłdnie tk smo definiuje się grnicę prwostronną f w x 0. Nleży tylko złożyć, że ciąg {x n } zbieżny do x 0 spełni wrunek x n > x 0 ; reszt definicji przenosi się bez zmin. Grnicę prwostronną funkcji zpisujemy jko lim x x + f(x); gdy t grnic 0 jest równ to piszemy tkże f(x) gdy x x + 0. Definicj 3.. jest grnicą f w x 0, co zpisujemy lub = lim x x 0 f(x) f(x) gdy x n x 0, jeżeli jest jednocześnie prwo- i lewostronną grnicą f w x 0. Łtwo stąd wywnioskowć, że jest grnicą f w x 0 wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego ciągu {x n } tkiego, że x n x 0 i x n x 0 ciąg {f(x n )} jest zbieżny do. Przykłd 3.. lim x 0 + rc tg x = π, lim x 0 rc tg x = π lim x 0 rc tg x nie istnieje. (Rysunek 4), więc Podobnie jk grnice w x 0 R definiuje się grnice w ±. Definicj lim x f(x) jest powtórzeniem definicji grnicy lewostronnej (Definicj 3.) z zstąpieniem x 0 przez. Anlogicznie otrzymuje się definicję lim x f(x). Przykłd 3.. lim x rc tg x = π, lim x rc tg x = π (Rysunek ).

15 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 7 3Π 4 Π Π Π 4 Π 3Π 4 Rysunek 4. rc tg x Istnienie grnicy funkcji nzyw się tkże zbieżnością funkcji (gdy grnic jest skończon) lub rozbieżnością do ±. N zbieżność funkcji w x 0 R mją tylko wpływ wrtości funkcji w punktch nleżących do (dowolnie młego) przedziłu otwrtego zwierjącego x 0 ; kżdy tki przedził nzyw się otoczeniem x 0 ; otoczeniem ± nzyw się kżdy przedził otwrty, którego końcem jest ±. Przykłd 3.3. Funkcj sin x (Rysunek 5) nie m ni grnicy lewostronnej, ni prwostronnej gdy x 0 ( więc nie m tkże grnicy w x 0) Rysunek 5. sin x 3.. Ciągłość funkcji. Niech f : D R i niech x 0 D.

16 8 ROMAN SRZEDNICKI Definicj 3.3. f jest funkcją ciągłą w x 0 jeżeli lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 f nzyw się funkcją ciągłą jeżeli jest ciągł w kżdym punkcie x 0 D. Możn łtwo wykzć, że sum, różnic, iloczyn, ilorz orz złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Definicje grnicy i ciągłości pozwlją przeformułowć Twierdzenie.: Twierdzenie 3.. Kżd z funkcji elementrnych zdefiniownych w Podrozdzile.5 jest funkcją ciągłą Oblicznie grnic funkcji. Bezpośrednią konsekwencją definicji ciągłości funkcji jest Twierdzenie 3.. Jeżeli f(x) y 0 gdy x x 0 i g jest funkcją ciągłą w y 0 to lim g(f(x)) = g(y 0 ). x x 0 Innym ogólnym twierdzeniem dotyczącym złożeń funkcji jest Twierdzenie 3.3 (o podstwiniu). Jeżeli g(y) z 0 gdy y y 0, funkcj f jest ciągł i różnowrtościow w otoczeniu x 0, f(x 0 ) = y 0, to lim g(f(x)) = z 0. x x 0 Uzsdnienie: Z ciągłości i różnowrtościowości f wynik, że jeżeli x n x 0 i x n x 0 to f(x n ) y 0 i f(x n ) y 0. Możn łtwo udowodnić podobne twierdzenie dotyczące grnic jednostronnych; trzeb wtedy osobno rozptrywć przypdki silne rosnącej i silnie mlejącej funkcji f w otoczeniu x 0. Przy obliczniu grnic funkcji zwykle korzyst się z twierdzeń będących konsekwencjmi nlogicznych twierdzeń dotyczących grnic ciągów. Twierdzenie 3.4. Jeżeli f i g mją grnice skończone w x 0 to (9) (0) () lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x). x x 0 x x 0 x x 0 lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x). x x 0 x x 0 x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) = lim x x 0 f(x) lim x x0 g(x), gdy lim x x 0 g(x) 0. (Powyższe wzory są tkże prwdziwe gdy f lub g m grnicę równą ± i wyrżeni po prwej stronie są sensowne.) Z wzoru (6) otrzymuje się f(x) g(x) = e g(x) ln f(x), więc, jeżeli f(x), > 0 i g(x) b to ln f(x) ln (z Twierdzeni 3., bo ln jest funkcją ciągłą), g(x) ln f(x) b ln (z (0)), e g(x) ln f(x) e b ln (bo e x jest funkcją ciągłą), skąd po ponownym zstosowniu (6) wynik

17 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 9 Twierdzenie 3.5. Jeżeli lim x x0 f(x) =, lim x x0 g(x) = b i > 0 to ( lim f(x) g(x)) = b. x x 0 Podobnie, wzór (7) implikuje log f(x) g(x) = ln g(x) ln f(x), z tej równości, z Twierdzeni 3. orz z wzorów () i (7) wynik Twierdzenie 3.6. Jeżeli lim x x0 f(x) =, lim x x0 g(x) = b i > 0, to lim log f(x) g(x) = log b. x x 0 Konsekwencją Twierdzeni o trzech ciągch (Twierdzenie.4) jest nstępujące Twierdzenie 3.7 (o trzech funkcjch). Jeżeli trzy funkcje f, g, h spełniją dl x x 0 nleżących do pewnego otoczeni x 0 nierówność i lim x x0 f(x) = lim x x0 h(x) = to f(x) g(x) h(x) lim g(x) =. x x 0 Zdnie 3.. Obliczyć grnicę lim x 0 x sin x. Rozwiąznie: x x sin x x, więc z Twierdzeni o trzech funkcjch (Twierdzenie 3.7) grnic jest równ 0. Ogólniejszą wersją Twierdzeni.3 jest Twierdzenie 3.8. (I) Jeżeli k > 0 to x k gdy x. (II) Jeżeli > to x i log x gdy x. (III) Jeżeli f(x) lub f(x) gdy x x 0 to lim x x0 f(x) = 0. Wynik stąd, w szczególności, że () x 0 gdy x ( > ), bo x n implikuje x n, więc xn = xn 0. Zdnie 3.. Obliczyć grnice lim x 0 + /x i lim x 0 /x dl >. Rozwiąznie: Obliczeni przeprowdzimy bezpośrednio z definicji, posługując się ciągiem {x n }. Niech x n 0, x n > 0, skąd x n, więc z Twierdzeni 3.8(II) wynik, że /xn, więc lim /x =. x 0 +

18 0 ROMAN SRZEDNICKI Niech terz x n 0, x n < 0, skąd x n, więc z () /xn 0, co ozncz, że lim x 0 /x = 0. Twierdzenie.6 dotyczące liczby e może być sformułowne jko Twierdzenie 3.9. (I) lim x ( + x) x = lim x (II) lim x 0 ( + x) /x = e. ( + x) x = e. Wżnym wzorem używnym przy liczeniu grnic jest (3) lim x 0 sin x x =. Zdnie 3.3. Obliczyć lim x 0 sin 5x tg 6x. Rozwiąznie: Z definicji tngens (4) sin 5x tg 6x = 5x sin 5x 5x cos 6x. sin 6x 6x Z wzoru (3) orz Twierdzeni 3.3 wynik, że 6x sin 5x lim x 0 5x =, bo funkcj 5x jest różnowrtościow. Z wzoru (4) terz widć, że szukn grnic jest równ 5 6, bo cos jest funkcją ciągłą w 0. Zdnie 3.4. Obliczyć lim x 0 ( + x) / sin x. Rozwiąznie: Z Twierdzeń 3.5 i 3.9 orz z wzoru (3) wynik ) ( + x) sin x = (( + x) x sin x x e = e gdy x Oblicznie grnic w progrmie Mthemtic. Do obliczni grnic lim f(x), x używ się komend, kolejno Lim[f[x], x -> ] Lim[f[x], x ->, Direction -> -] Lim[f[x], x ->, Direction -> ] N przykłd, lim f(x) orz lim f(x) x + x Limit[/t, t -> Infinity] Limit[Exp[/x], x -> 0, Direction -> ] W obu przypdkch wynikiem jest 0.

19 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 4. Szeregi liczbowe 4.. Zbieżność szeregu. Niech { n } n N będzie ustlonym ciągiem. Tworzymy nowy ciąg, którego kolejnymi wyrzmi są 0, 0 +, 0 + +,..., { k } to znczy ciąg n=0 n. Gdy k, ciąg ten zmierz do wyrżeni k N lub, nieco dokłdniej, n. To wyrżenie nzyw się szeregiem o wyrzch n. Zpisuje się go czsem jko 0 n lbo nwet n. Szereg może się zczynć nie od wyrzu 0-wego, le od dowolnego wyrzu, n przykłd od wyrzu pierwszego i wtedy jest to } n. Ciąg { k n=0 n k N n=0 nzyw się ciągiem sum częściowych szeregu n=0 n. Definicj 4.. Mówimy, że szereg { n=0 n jest zbieżny, jeżeli ciąg sum częściowych k } n=0 n m grnicę skończoną (to znczy grnicę nie będącą ± ); jeżeli k N g R jest tą grnicą to używmy zpisu n = g. n=0 Gdy ciąg sum częściowych nie m grnicy skończonej to mówimy, że szereg n=0 n jest rozbieżny. Bezpośrednio z definicji wynik że jeżeli r 0 to 0 n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy 0 r n jest zbieżny. Uwg 4.. N zbieżność szeregu nie mją wypływu jego początkowe wyrzy, dokłdniej: dl dowolnej liczby k N i ciągu { n } szereg 0 n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny jest szereg k n. Twierdzenie 4.. Jeżeli 0 n jest zbieżny to n 0. Niech { n } będzie ciągiem geometrycznym o ilorzie q, to znczy ciągiem o wyrzch, q, q,..., gdzie := 0. Odpowidjący mu szereg 0 qn nzyw się szeregiem geometrycznym. Twierdzenie 4.. Jeżeli q i 0 to szereg 0 qn jest rozbieżny, jeżeli q < to szereg 0 qn jest zbieżny i q n = q. n=0 W nstępnym twierdzeniu występuje szereg /nα zwny szeregiem hrmonicznym. Twierdzenie 4.3. n= jest zbieżny gdy α > i rozbieżny gdy α. nα

20 ROMAN SRZEDNICKI 4.. Kryteri zbieżności szeregów. Poniższe kryteri o zbieżności są sformułowne dl szeregów postci n=0 n. N podstwie Uwgi 4. te sme kryteri stosują sie tkże dl wszystkich szeregów n=k n, gdzie k jest dowolną liczbą nturlną. Twierdzenie 4.4. Jeżeli 0 n jest zbieżny to 0 n też jest zbieżny. Twierdzenie 4.5 (Kryterium porównwcze). Niech 0 n b n dl dosttecznie dużych n. (I) Jeżeli 0 b n jest zbieżny to 0 n jest tkże zbieżny. (II) Jeżeli 0 n jest rozbieżny to 0 b n też jest rozbieżny. Zdnie 4.. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu Rozwiąznie: tg n. n= tg n = n sin n n cos. n Ciąg sin n n niż / dl dosttecznie dużych n. Stąd wynik, że dl tkich n cos n zmierz do n podstwie (3), więc przyjmuje wrtości większe n tg n więc z Twierdzeni 4.3 i Kryterium porównwczego (Twierdzenie 4.5) wynik, że szereg jest rozbieżny. Twierdzenie 4.6 (Kryterium d Almbert). Niech n > 0 dl kżdego n i niech n+ lim g. n n (I) Jeżeli g < to szereg 0 n jest zbieżny. (II) Jeżeli g > to szereg 0 n jest rozbieżny. Zdnie 4.. Rozstrzygnąć zbieżność szeregów: (I) (II) (III) n=0 n=0 n= n k, gdzie k i >, n n, gdzie R, n! n! n n.

21 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3 Rozwiąznie: (n+) k n+ n k n = n+ (n+)! n n! ( n+ ) k n = n + 0, (n+)! (n+) n+ (n + )! = n! n! n n <, n n ( ) n n (n + ) n+ = = n + ( + n ) n e <, więc z Kryterium d Almbert (Twierdzenie 4.6) wynik, że wszystkie trzy szeregi są zbieżne. Z Twierdzeni 4. i Kryterium d Almbert ntychmist wynik wniosek dotyczący zbieżności do zer: Wniosek 4.. Jeżeli n > 0 i lim n n+ n < to n 0. N przykłd wynik stąd, że n /n! 0, n!/n n 0 itd. Twierdzenie 4.7 (Kryterium Cuchy ego). Niech n 0 dl kżdego n i niech n n g. lim n (I) Jeżeli g < to szereg 0 n jest zbieżny. (II) Jeżeli g > to szereg 0 n jest rozbieżny. Zdnie 4.3. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu Rozwiąznie: (3n n + 4n + ) n n=0 ( ) n 3n n + ( ) 3 3n = 4n + 4 <, co ozncz zbieżność n podstwie Kryterium Cuchy ego. 0 ( )n n, gdzie n 0, nzyw się szeregiem przemiennym. Twierdzenie 4.8 (Kryterium Leibnitz). Jeżeli { n } jest ciągiem mlejącym i n 0 to szereg przemienny 0 ( )n n jest zbieżny. Wynik stąd, że szereg ( ) n n= n jest zbieżny Sumy szeregów w progrmie Mthemtic. Niech (n) będzie ciągiem, n N. Do obliczeń sumy skończonej q n=p (n) i sumy szeregu n=p (n) używ się wyrżeń Sum[[n],{n,p,q}] Sum[[n],{n,p,Infinity}] Mthemtic często jest w stnie rozstrzygnąć czy szereg jest rozbieżny i w rzdkich przypdkch podć dokłdną wrtość sumy gdy jest zbieżny. N przykłd, wynikiem Sum[/(n^4),{n,,Infinity}] jest π 4 /90. Przybliżoną wrtość sumy szeregu uzyskuje się komendą NSum[[n],{n,p,Infinity}]

22 4 ROMAN SRZEDNICKI 5. Pochodn funkcji jednej zmiennej 5.. Pochodn i różniczkowlność. Niech f : D R, gdzie D jest podzbiorem otwrtym R, i niech x 0 D. Definicj 5.. Liczb f (x 0 ) := lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 nzyw się pochodną funkcji f w punkcie x 0. f nzyw się funkcją różniczkowlną w x 0 jeżeli istnieje f (x 0 ). Niech E D. f jest funkcją różniczkowlną w E jeżeli jest różniczkowlną w kżdym punkcie z E; wtedy funkcj f : E R nzyw się pochodną f w E. Opercj obliczni pochodnej nzyw się różniczkowniem. Zgodnie z Uwgą., pochodną f funkcji f zpisuje się tkże jko (f(x)). Często używ się oznczeni df/dx, to znczy df dx (x) := f (x). Uwg 5.. Jeżeli f jest różniczkowln w x 0 to prost styczn do wykresu f w punkcie (x 0, f(x 0 )) jest określon wzorem y = f (x)(x x 0 ) + f(x 0 ) (Rysunek 6). Pochodn f (x 0 ) jest więc równ tngensowi kąt nchyleni stycznej do wykresu f w (x 0, f(x 0 )). Rysunek 6. Prost styczn do wykresu funkcji Przykłd 5.. Funkcj x x nie jest różniczkowln w 0 (Rysunek ). Twierdzenie 5.. Jeżeli f jest różniczkowln w x 0 to f jest ciągł w x 0. Niech < b i niech przedził [, b] będzie zwrty w dziedzinie pochodnej f funkcji f. Twierdzenie 5.. Jeżeli f (x) > 0 (względnie 0, < 0, 0) we wszystkich punktch x [, b] to f jest silnie rosnąc (odpowiednio: rosnąc, silnie mlejąc, mlejąc) w [, b].

23 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 5 Wielkość pochodnej f (x 0 ) wyrż stopień wzrostu f w otoczeniu punktu x 0 ; im większ jest wrtość f (x 0 ) tym szybciej rośnie funkcj x f(x) dl x w pobliżu x 0. Wniosek 5.. Jeżeli f (x) = 0 we wszystkich punktch x [, b] to f jest funkcją stłą w [, b]. 5.. Pochodne funkcji elementrnych. Wszystkie funkcje elementrne są różniczkowlne, pochodne niektórych z nich wyrżją się wzormi: (5) (6) (7) (8) (9) c = 0 (c ozncz funkcję stłą), (x α ) = αx α (α R), (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (e x ) = e x. W szczególności, dl α = x = i gdy α = n to ( n x) = n n x n. Pochodne pozostłych funkcji elementrnych będą wyprowdzone przy użyciu twierdzeń z nstępnego podrozdziłu Twierdzeni o obliczniu pochodnych. Twierdzenie 5.3. Jeżeli f i g są funkcjmi różniczkowlnymi i R to (0) () () (3) Wynik stąd, że (f ± g) = f ± g, (f) = f (fg) = f g + fg, ( ) f = f g fg g g. (4) (5) (tg x) = cos x (ctg x) = sin x bo (tg x) = ( ) sin x = cos x + sin x cos x cos, (ctg x) = x ( cos x sin x ) sin x cos x = sin. x

24 6 ROMAN SRZEDNICKI Twierdzenie 5.4 (o pochodnej funkcji złożonej). Jeżeli f i g są różniczkowlne to (6) (g f) (x) = g (f(x))f (x) w kżdym punkcie x z dziedziny g f. Wzór (6) możn tkże zpisć jko (f(g(x))) = g (f(x))f (x). Z Twierdzeni 5.4 i wzoru (9) wynik, że dl > 0 (7) ( x ) = x ln, bo ( x ) = (e x ln ) = e x ln (x ln ) = x ln. Twierdzenie 5.5 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeżeli f jest funkcją różnowrtościową w pewnym przedzile otwrtym zwierjącym x, jest różniczkowlną w x i f (x) 0 to f jest różniczkowln w y := f(x) i (f ) (y) = f (x). Wynikją stąd nstępujące wzory n pochodne funkcji elementrnych: (8) (9) (30) (3) (3) (log x) = x ln, w szczególności, (ln x) = x, (rc sin x) =, x (rc cos x) =, x (rc tg x) = + x, (rc ctg x) = + x. bo dl y = x, dl y = sin x, dl y = tg x, bo (rc sin y) = (log y) = ( x ) = x ln = y ln, (sin x) = cos x = sin x = y. (rc tg y) = (tg x) = cos x = + y y = sin x cos x = cos x cos = x cos x. Pochodne rc cos i rc ctg oblicz się nlogicznie Oblicznie pochodnych w progrmie Mthemtic. Komend D[f[x],x] służy do obliczni pochodnej funkcji f.

25 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/ Drug i wyższe pochodne. Drug pochodn funkcji f jest zdefiniown wzorem f := (f ). Podobnie definiuje się f. Ogólniej, definiujemy n-tą pochodną wzorem f (n) := (f (n ) ). Tk więc f () = f, f (3) = f itd. Używ się tkże wyrżeni d n f/dx n n oznczenie n-tej pochodnej, to znczy d n f dx n (x) := f (n) (x). Drug pochodn mierzy stopień przyrostu funkcji; im drug pochodn m większą wrtość tym przyrost większy. Ściślejsze, geometryczne sprecyzownie tego spostrzeżeni uzyskuje się z pomocą pojęci wypukłości; zbiór A R nzyw się zbiorem wypukłym jeżeli wrz z punktmi (x 0, y 0 ) i (x, y ) nleżącymi do A tkże cły łączący je odcinek zwier się w A, to znczy {(tx 0 + ( t)x, ty 0 + ( t)y ): t [0, ]} A. Definicj 5.. Funkcj f : D R, gdzie D jest przedziłem, nzyw się funkcją wypukłą, jeżeli zbiór punktów płszczyzny leżących nd wykresem f jest wypukły, to znczy dl wszystkich punktów (x 0, y 0 ) i (x, y ), gdzie x 0, x D, tkich, że f(x 0 ) y 0 i f(x ) y i dl kżdej liczby t [0, ] spełnion jest nierówność f(tx 0 + ( t)x ) ty 0 + ( t)y. f nzyw się funkcją wklęsłą jeżeli f jest wypukł. Przykłdmi funkcji wypukłych są x i x (Rysunki i ), ntomist przykłdmi funkcji wklęsłych są x i log x (Rysunki 4 orz 3). Niech < b i niech [, b] będzie zwrty w dziedzinie drugiej pochodnej f. Twierdzenie 5.6. Jeżeli f (x) 0 (względnie 0) we wszystkich punktch x [, b] to f jest wypukł (odpowiednio, wklęsł) w [, b] i styczn do wykresu f w kżdym punkcie przedziłu [, b] leży pod (odpowiednio, nd) wykresem f [,b]. 6. Zstosowni pochodnych 6.. Loklne ekstrem i pochodne. Niech x 0 wrz z pewnym otoczeniem nleży do dziedziny funkcji f. Definicj 6.. x 0 nzyw się mksimum loklnym funkcji f jeżeli dl pewnego δ > 0 i dl wszystkich punktów x (x 0 δ, x 0 + δ) f(x) f(x 0 ). x 0 jest włściwym mksimum loklnym jeżeli dl pewnego δ > 0 i dl wszystkich x (x 0 δ, x 0 + δ) tkich, że x x 0, f(x) < f(x 0 ). x 0 nzyw się minimum loklnym (względnie włściwym minimum loklnym) f jeżeli jest mksimum loklnym (odpowiednio, włściwym mksimum loklnym) funkcji f. Oczywiście, x 0 jest minimum loklnym jeżeli f(x 0 ) f(x) dl wszystkich x z pewnego otoczeni x 0. Punkt, który jest loklnym minimum lub loklnym mksimum nzyw się ekstremum loklnym.

26 8 ROMAN SRZEDNICKI Uwg 6.. Ekstrem funkcji (bez przymiotnik loklne ; inczej zwne ekstremmi globlnymi) definiuje się w oczywisty sposób: x 0 nzyw się mksimum funkcji f jeżeli f(x 0 ) jest większe lub równe niż f(x) dl wszystkich x z dziedziny f itd. Niech x 0 wrz z pewnym otoczeniem nleży do dziedziny pochodnej f. Twierdzenie 6.. Jeżeli x 0 jest ekstremum loklnym f to f (x 0 ) = 0. Z zchowni pochodnej w pobliżu x 0 możn wydedukowć, czy x 0 jest loklnym ekstremum: Twierdzenie 6.. Jeżeli f (x 0 ) = 0 i dl pewnego δ > 0, (33) (34) f (x) 0, gdy x (x 0 δ, x 0 ), f (x) 0, gdy x (x 0, x 0 + δ) to x 0 jest mksimum loklnym. Podobnie, po odwróceniu znków nierówności (33), (34), wnioskuje się że x 0 jest minimum loklnym. Jeżeli te nierówności są silne to ekstremum jest włściwe. Podobne kryterium możn sformułowć używjąc drugiej pochodnej. Twierdzenie 6.3. Niech x 0 wrz z pewnym otoczeniem nleży do dziedziny f i niech f (x 0 ) = 0. Jeżeli f (x 0 ) > 0 to x 0 jest włściwym minimum loklnym, jeżeli f (x 0 ) < 0 to x 0 jest włściwym mksimum loklnym. N przykłd, x x m w x = włściwe minimum loklne, bo pierwsz pochodn jest równ x i drug pochodn jest funkcją stłą równą. (Oczywiście w tym przykłdzie jest minimum globlnym.) Zdnie 6.. Znleźć wymiry prostokąt o njwiększym polu powierzchni, którego obwód wynosi 4. Rozwiąznie: Niech x i y oznczją szerokość i wysokość prostokąt, wtedy pole powierzchni P wyrż się wzorem P = xy, z wzoru n obwód i złożeń zdni wynik że x + y = 4. Z tej osttniej równości wylicz się y jko funkcję x, to znczy y = x, i podstwi do wzoru n pole P terz jest ono funkcją x, co symbolicznie zpisujemy jko P (x): P (x) = x( x) = x + x. Poniewż x i y mogą przyjmowć tylko wrtości dodtnie (bo tylko wtedy są sensownymi wymirmi prostokąt), dziedziną P (x) jest przedził otwrty (0, ). P (x) = x +, skąd wynik, że P (x) jest rosnąc dl x (0, ) i mlejąc dl x (, ), więc x = jest mksimum. Szukny prostokąt jest więc kwdrtem o wymirch. Zdnie 6.. Znleźć wymiry wlc o njwiększej objętości, dl którego sum wysokości i obwodu podstwy wynosi 6.

27 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 9 Rozwiąznie: Wlec jest schrkteryzowny przez promień podstwy r i wysokość h, jego objętość V wyrż się wzorem V = πr h. Z wzoru n obwód koł i złożeń zdni wynik, że h + πr = 6, więc V jko funkcj r wyrż się wzorem V (r) = πr (6 πr) = 6πr π r 3. V (r) jest określon dl r (0, 3/π), bo wlec jest sensownie zdefiniowny jedynie gdy r > 0 i h > 0. V (r) = πr(6 3πr), skąd wynik, że V (r) jest rosnąc dl r (0, /π), mlejąc dl r (/π, 3/π), więc r = /π jest mksimum; odpowid mu h =. Zdnie 6.3. Lini utobusow przewozi tygodniowo 6000 psżerów płcących 40 zł z przejzd. Szcuje się, że podniesienie opłty o zł odbędzie się kosztem strty 00 psżerów. Znleźć cenę, przy której dochód będzie njwyższy. Rozwiąznie: Niech n ozncz liczbę psżerów, x cenę biletu w złotych. Tygodniowy dochód D jest równy D = nx. Z złożeń zdni wynik, że n = (x 40), więc wyrżenie dochodu jko funkcji zmiennej x prowdzi do wzorów D(x) = x( x ) = 0000x 00x, D (x) = x, skąd wynik, że jeżeli 0 < x < 50 to D(x) jest rosnąc i jeżeli x > 50 to D(x) jest mlejąc, więc x = 50 jest ceną przy której lini utobusow osiągnie njwyższy dochód. 6.. Bdnie przebiegu zmienności funkcji. Twierdzeni 5., 5.6, 6. orz 6.3 dotyczące monotoniczności orz ekstremów loklnych pozwlją ocenić jk w przybliżeniu wygląd wykres dnej funkcji. W tkim przybliżonym opisie użyteczne też będą poniżej zdefiniowne pojęci. Jk poprzednio, f : D R, gdzie D jest otwrtym przedziłem, i x 0 D. Definicj 6.. x 0 nzyw się punktem przegięci jeżeli dl pewnego δ > 0 funkcj f jest wklęsł w przedzile (x 0 δ, x 0 ] i wypukł w [x 0, x 0 + δ) lub n odwrót: wypukł w (x 0 δ, x 0 ) i wklęsł w (x 0, x 0 + δ). Oczywiście Twierdzenie 5.6 pozwl wnioskowć n podstwie znków drugiej pochodnej, czy dny punkt jest punktem przegięci. N przykłd, 0 jest punktem przegięci funkcji sin x (Rysunek 5). Podobnie łtwo zuwżyć, że 0 jest punktem przegięci x 3. Twierdzenie 6.4. Niech x 0 wrz z pewnym otoczeniem nleży do dziedziny f. Jeżeli x 0 jest punktem przegięci to f (x 0 ) = 0. Niech c R. Definicj 6.3. Prost x = c nzyw się symptotą pionową funkcji f jeżeli istnieją grnice prwo- i lewostronn f(x) w c i kżd z nich jest równ lub.

28 30 ROMAN SRZEDNICKI Niech terz, b R. Definicj 6.4. Prost y = x + b nzyw się symptotą pochyłą funkcji f w jeżeli lim (f(x) x b) = 0. x Asymptotę pochyłą w definiuje się nlogicznie, zstępując w powyższym sformułowniu przez. Twierdzenie 6.5. Jeżeli f(x) lim =, lim (f(x) x) = b x x x to y = x + b jest symptotą f w. Anlogiczne twierdzenie formułuje się dl symptoty w. Wyznczenie przebiegu zmienności funkcji f możn przeprowdzić w nstępujących etpch:. Wyznczyć dziedzinę f; sprwdzić, czy f jest przyst, nieprzyst i okresow.. Znleźć punkty nieciągłości, przedziły ciągłości i różniczkowlności; jeżeli (, b) jest przedziłem ciągłości to obliczyć grnice lim x + f(x) i lim x b f(x). 3. Znleźć zbiór miejsc zerowych {x: f(x) = 0} i przedziły, w których f m stły znk. 4. Znleźć ekstrem loklne i przedziły monotoniczności f. 5. Znleźć punkty przegięci orz przedziły wypukłości i wklęsłości f. 6. Znleźć symptoty pionowe i pochyłe. Zdnie 6.4. Wyznczyć przebieg zmienności funkcji f, gdzie f(x) = x + x. Rozwiąznie:. Dziedziną funkcji f jest (, 0) (0, ), funkcj f jest nieprzyst.. W kżdym punkcie dziedziny f jest różniczkowln ( więc tkże ciągł). lim f(x) =, x 0 + lim f(x) =, x z nieprzystości wynik, że lewostronn grnic w 0 orz grnic w są równe. 3. f nie m miejsc zerowych, f(x) > 0 dl x > 0 i f(x) < 0 dl x < f (x) = x, f (x) = x więc x = jest minimum loklnym i x = jest 3 mksimum loklnym. 5. f jest wypukł w (0, ) i wklęsł w (, 0); f nie m punktów przegięci. 6. Prost x = 0 jest symptotą pionową, x + x lim x x =, lim x (x + x ) x = 0 (i nlogicznie w ), więc prost y = x jest symptotą pochyłą w i. Wykres f(x) jest przedstwiony n Rysunku Reguł de l Hospitl. Niech będzie liczbą rzeczywistą lub ± i niech f orz g będą funkcjmi.

29 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/ Rysunek 7. x + x Definicj 6.5. Ilorz f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu 0 0 w jeżeli g(x) 0 dl x i lim f(x) = lim g(x) = 0. x x Podobnie, f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu w jeżeli lim f(x) = lim g(x) =. x x Anlogiczne definicje symboli 0 0 i możn podć w przypdku grnic jednostronnych x + i x ; wszystkie podne poniżej fkty dotyczące tych symboli są również wtedy prwdziwe. Twierdzenie 6.6 (Reguł de l Hospitl). Jeżeli f g f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x) przy złożeniu, że istnieje grnic po prwej stronie równni. jest typu 0 0 lub w to W wielu przypdkch Reguł de l Hospitl jest njprostszą metodą obliczni grnicy. N przykłd, wzór 3, który bez uzsdnieni pojwił się w Podrozdzile 3.3, terz może być szybko dowiedziony: Przykłd 6.. Jeżeli α > 0 to sin x lim x 0 x = lim cos x =. x 0 ln x (35) lim x x α = 0. Jest to konsekwencj Reguły de l Hospitl i Twierdzeni 3.8(I): ln x lim x x α = lim x x = 0. αxα

30 3 ROMAN SRZEDNICKI Zdnie 6.5. Obliczyć grnicę lim, gdzie α > 0. x ex Rozwiąznie: N podstwie Reguły de l Hospitl: x α ( lim x e x = x ) ( α lim = lim x e x/α x x α α ex/α ) α = α α lim x e x = 0. Inne sposoby zstosowni Reguły de l Hospitl są podne w nstępujących dwóch uwgch. Niech f i g będą funkcjmi i nie będzie liczbą rzeczywistą lub ±. Uwg 6.. (I) Jeżeli f(x) 0 i g(x) gdy x to iloczyn fg nzyw się symbolem nieoznczonym typu 0 w i oblicznie jego grnicy sprowdz się do obliczni grnicy symbolu 0 0 po przeksztłceniu f(x)g(x) = f(x) /g(x) lub, gdy f(x) > 0, do symbolu f(x)g(x) = po przeksztłceniu g(x) /f(x). (II) Jeżeli f(x) i g(x) gdy x to różnic f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu w i oblicznie jej grnicy sprowdz się do obliczni grnicy symbolu typu 0 0 po przeksztłceniu f(x) g(x) = /f(x) /g(x) /f(x) =. /g(x) /(f(x)g(x)) Zdnie 6.6. Obliczyć grnice lim sin x ln x. x 0+ Rozwiąznie: Z Uwgi 6.(I) i Reguły de l Hospitl, lim sin x ln x = lim x 0 + x 0 + x cos x/( sin x) = lim sin x x 0 + x sin x cos x = 0 ( Zdnie 6.7. Obliczyć grnicę lim x 0 x ). sin x Rozwiąznie: Z Uwgi 6.(II) po dwukrotnym zstosowniu Reguły de l Hospitl, ( lim x 0 x ) sin x x = lim sin x x 0 x sin x = lim cos x x 0 sin x + x cos x = lim x 0 sin x cos x x sin x = 0 = 0. Uwg 6.3. Grnicę f(x) g(x) gdy x, gdzie f(x) > 0, oblicz się po przeksztłceniu f(x) g(x) g(x) ln f(x) = e i wtedy wykłdnik g(x) ln f(x) jest symbolem nieoznczonym typu 0 w gdy: (I) g(x) i f(x) (wtedy f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu w ), (II) g(x) 0 i f(x) (wtedy f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu 0 w ), (III) g(x) 0 i f(x) 0 (wtedy f g nzyw się symbolem nieoznczonym typu 0 0 w ).

31 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 33 Przykłd 6.. x /x jest symbolem typu 0 w ; (36) lim x x/x = bo z (35) dl α =. x /x = e ln x ln x x, lim x x = 0 W szczególności, (36) implikuje Twierdzenie.5(II). ( ) /x sin x Zdnie 6.8. Obliczyć grnicę lim. x 0 x Rozwiąznie: Wyrżenie, którego grnicę liczymy jest symbolem typu, ( ) /x sin x = e sin x x ln x, x Dwukrotne zstosownie Reguły de l Hospitl prowdzi do ln sin x x lim x 0 x = lim x 0 więc szukn grnic wynosi e 0 =. x x cos x sin x x cos x sin x sin x x = lim = x 0 x sin x cos x x sin x cos x lim = lim x 0 sin x + x cos x x 0 sin x sin x x + cos x = 0 + = 0, Wzór (35) z Przykłdu 6. będzie wykorzystny w rozwiązniu nstępnego zdni, które dotyczy bdni funkcji z Podrozdziłu 6.. Zdnie 6.9. Wyznczyć przebieg zmienności funkcji f, gdzie f(x) = ln x x. Rozwiąznie:. Dziedziną funkcji f jest (0, ).. W kżdym punkcie dziedziny f jest różniczkowln ( więc tkże ciągł). Oczywiście lim f(x) =, x 0 + bo ln x i /x gdy x zmierz do zer od prwej strony. N podstwie (35) dl α =, lim f(x) = 0. x 3. x = jest miejscem zerowym f, f(x) < 0 gdy x (0, ) i f(x) > 0 gdy x (, ). 4. f (x) = ln x x, f 3+ ln x (x) = x, f jest silnie rosnąc w przedzile (0, e) i silnie 3 mlejąc w przedzile (e, ) więc x = e jest mksimum. 5. f jest wklęsł w (0, e 3/ ), wypukł w (e 3/, ) i x = e 3/ jest punktem przegięci. 6. Prost x = 0 jest symptotą pionową. Z wzoru (35) dl α = i orz Twierdzeni 6.5 wynik, że y = 0 jest symptotą pochyłą w. Wykres f(x) jest przedstwiony n Rysunku 8. Możn terz rozwiązć nstępujące zdnie n zstosownie kryteriów zbieżności szeregów z Podrozdziłu 4.: Zdnie 6.0. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu ( ) n ln n n. n=

32 34 ROMAN SRZEDNICKI e e exp 3 e Rysunek 8. ln x x Rozwiąznie: Z wzoru (35) wynik, że ln n lim n n = 0. Dl n 3 ciąg ln n n jest mlejący n podstwie punktu 4. w rozwiązniu Zdni 6.9, więc z kryterium Leibnitz (Twierdzenie 4.8) wynik, że szereg jest zbieżny. 7. Cłk nieoznczon 7.. Cłkownie jko opercj odwrotn do różniczkowni. Niech f będzie funkcją D R, gdzie D R jest przedziłem otwrtym (lub rozłączną sumą przedziłów otwrtych). Definicj 7.. Funkcję F : D R nzyw się cłką nieoznczoną z f (lbo inczej: funkcją pierwotną do f) jeżeli F = f. Cłkę nieoznczoną z f zpisuje się jko f(x) dx lbo f dx lbo czyli wzór definiujący cłkę nieoznczonej przyjmuje postć ( f(x) dx) = f(x). Uwg 7.. Cłk nieoznczon z f jest wyznczon z dokłdnością do funkcji stłej, to znczy jeżeli F i G są tkimi funkcjmi że F = f i G = f to istnieje C R tkie, że G = F + C. (37) Wynik stąd, że jeżeli F jest różniczkowln to F (x) dx = F (x) + C, f, gdzie C jest dowolną stłą. Bezpośrednio z definicji orz z (5) (9) i (4) (3) wynikją nstępujące wzory n cłki nieoznczone, w których, jk powyżej, C jest stłą:

33 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 35 (38) 0 dx = C, (39) x α dx = α + xα+ + C, gdy α, (40) dx = ln x + C, x (4) (4) (43) (44) (45) (46) (47) sin x dx = cos x + C, cos x dx = sin x + C, cos dx = tg x + C, x sin dx = ctg x + C, x x dx = ln x + C, gdy > 0,, dx = rc sin x + C, x dx = rc tg x + C. + x Jedynie wzór (40) wymg krótkiego uzsdnieni: jeżeli x > 0 to z (8) wynik, że jeżeli ntomist x < 0 to (ln x ) = (ln x) = x, (ln x ) = (ln( x)) = x ( x) = x, więc (40) jest spełniony dl wszystkich x z dziedziny funkcji x. Z wzoru (39) wynik w szczególności, że dx = x + C, n n n x dx = x n+ + C. n + Funkcj f dl której istnieje cłk nieoznczon nzyw się funkcją cłkowlną, wyzncznie jej cłki nieoznczonej nzyw się cłkowniem. Twierdzenie 7.. Jeżeli f jest ciągł to jest cłkowln. Wszystkie funkcje elementrne są ztem cłkowlne (z Twierdzeni 3.). Nie znczy to wcle, że dl kżdej funkcji elementrnej możn podć wzór n funkcję będącą jej cłką nieoznczoną; znne są przykłdy funkcji elementrnych których cłki nie d się przedstwić w postci kombincji funkcji elementrnych. Przykłdmi tkich cłek są sin x x dx, ln x dx, e x dx. Przy wyprowdzniu wzorów n cłki nieoznczone możn się posługiwć nstępującym twierdzeniem będącym bezpośrednią konsekwencją wzorów (0) i () w Twierdzeniu 5.3:

34 36 ROMAN SRZEDNICKI Twierdzenie 7.. Jeżeli f i g są cłkowlne to (48) (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx i jeżeli R to (49) f(x) dx = f(x) dx. Uwg 7.. Począwszy od tego miejsc stł C będzie pomijn we wzorch n cłki nieoznczone. 7.. Cłkownie przez części. Z wzorów (), (37) orz (48) możn łtwo wyprowdzić Twierdzenie 7.3 (Wzór n cłkownie przez części). Jeżeli f i g mją ciągłe pochodne to (50) f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx. Uzsdnienie: Wzór n cłkownie przez części otrzymuje się przez obłożenie wzoru () (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g(x) przez cłkę nieoznczoną i zstosownie wzoru n cłkę sumy (48): f(x)g(x) = (f(x)g(x)) dx = f (x)g(x) dx + f(x)g (x) dx. Przykłd 7.. Korzystjąc z wzoru n cłkownie przez części możn wyprowdzić wzór ln x dx = x ln x x, bo ln x dx = Zdnie 7.. Obliczyć x ln x dx = x ln x xe x dx. x(ln x) dx = x ln x dx. Rozwiąznie: xe x dx = x(e x ) dx = xe x e x dx = xe x e x. Zdnie 7.. Obliczyć cos x ln(sin x) dx. Rozwiąznie: cos x ln(sin x) dx = sin x ln(sin x) (sin x) ln(sin x) dx = sin x(ln(sin x)) dx = sin x ln(sin x) sin x cos x sin x dx = sin x ln(sin x) sin x.

35 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 37 Zdnie 7.3. Obliczyć e x cos x dx. Rozwiąznie: Dwukrotne zstosownie wzoru n cłkownie przez części dje e x cos x dx = e x cos x e x ( sin x) dx = e x cos x + e x sin x e x cos x dx, więc e x cos x dx = e x cos x + e x sin x, czyli e x cos x dx = (ex cos x + e x sin x) Cłkownie przez podstwienie. Z Twierdzeni 5.4 wynik Twierdzenie 7.4 (Wzór n cłkownie przez podstwienie). Niech g : (α, β) R będzie funkcją ciągłą. Jeżeli f : (, b) (α, β) jest funkcją różniczkowlną mjącą ciągłą pochodną to (5) g(y) dy = g(f(x))f (x) dx, gdzie y = f(x). Uzsdnienie: Wzór n cłkownie przez podstwienie jest konsekwencją wzoru n pochodną złożeni (6). Niech G(y) := g(y) dy. Wtedy (G(f(x)) = G (f(x))f (x) = g(f(x))f (x), więc po obłożeniu cłką nieoznczoną otrzymuje się (5) g(y) dy = G(y) = G(f(x)) = (G(f(x)) dx = g(f(x))f (x) dx. Uwg 7.3. Wzór n cłkownie przez podstwienie możn zpmiętć nstępująco. Podstwimy y = f(x). Po zróżniczkowniu obu stron otrzymuje się wzór dy dx = f (x), który formlnie (bez wnikni w sensowność) zpisuje się jko dy = f (x) dx. Zmin y n f(x) i dy n f (x) dx w g(y) dy prowdzi do (5). Prktyczne stosownie wzoru n cłkownie przez podstwinie poleg n znlezieniu tkich funkcji f i g by cłk, którą chcemy obliczyć mił postć prwej strony wzoru (5). Nstępnie obliczmy g(y) dy i jko wynik dostjemy funkcję G(y) zmiennej y. N koniec podstwimy w niej f(x) w miejsce y, to znczy, kolejność obliczeń jest nstępując: g(f(x))f (x) dx = g(y) dy = G(y) = G(f(x)). Przykłd 7.. Z wzoru n cłkownie przez podstwienie wynik, że

36 38 ROMAN SRZEDNICKI tg x dx = ln cos x, ctg x dx = ln sin x, bo podstwijąc y = cos x otrzymuje się co formlnie zpisuje się jko więc tg x dx = dy dx = (cos x) = sin x, dx = dy sin x, sin x sin x cos x dx = dy dy y sin x = = ln y = ln cos x. y Według tego smego schemtu, z podstwieniem y = sin x, oblicz się cłkę kotngens. Bezpośrednio z wzoru n cłkownie przez podstwienie wynik ogólny wzór Wniosek 7.. f m pochodną ciągłą i α jest liczbą rzeczywistą to { f(x) α+ f(x) α f (x) dx = α+ gdy α, ln f(x) gdy α =. Uzsdnienie: Podstwienie y = f(x) dje dy = f (x) dx, więc f(x) α f (x) dx = y α dy, i wzór wynik z (39) i (40). dx Zdnie 7.4. Obliczyć, gdzie, b R, 0. x + b Rozwiąznie: Podstwimy y = x + b, wtedy dy dx =, więc dx = dy, skąd otrzymujemy dx x + b = y dy = dy y = ln y = ln x + b. Zdnie 7.5. Obliczyć x dx ( + x 3 ). Rozwiąznie: Podstwimy y = + x 3, wtedy dy dx = 3x i skąd 3 dy = x dx, x dx ( + x 3 ) = dy 3 y = ( ) 3 y = 3( + x 3 ). Przykłd 7.3. Wzory n cłkownie przez części i cłkownie przez podstwienie są potrzebne przy obliczenich cłek