Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x =, x = b, < b, oś OX (tj. prostą y = ) będziemy nzywć trpezem krzywoliniowym (odpowidjącym funkcji f orz odcinkowi [, b]). Pole tej figury możn przedstwić w postci cłki: f(x)dx. Pole nieogrniczonego trpezu krzywoliniowego-cłk niewłściw Problem: jesteśmy zinteresowni polem figury ogrniczonej: wykresem funkcji f(x) = e x orz prostymi y =, x =. Pole tego obszru możn określić jko cłkę: Korzystjąc z fktu: znjdujemy, że grnic t jest równ. lim f(x)dx. T e x dx = e T + e = e T Cłk niewłściw I rodzju Jeżeli funkcj f jest określon n przedzile [, ), dl kżdego T > istnieje cłk f(t)dt i istnieje grnic skończon lim f(t)dt, T to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą I rodzju funkcji f n przedzile [, ) i oznczmy f(t)dt. Anlogicznie możn zdefiniowć cłkę niewłściwą z funkcji f n półprostej (, b]: f(t)dt = lim f(t)dt. T T

2 Cłk niewłściw I rodzju c.d. Określmy f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt, gdzie jest dowolnie wybrnym punktem (liczbą rzeczywistą). Jeżeli grnic (w przypdku cłki niewłściwej n półprostej) lub przynjmniej jedn z grnic (w przypdku cłki niewłściwej n prostej) nie istnieje, to powiemy, że dn cłk jest rozbieżn. Jeżeli grnic występując w definicji cłki niewłściwej n półprostej jest równ, to powiemy, że cłk t jest rozbieżn do. Cłk niewłściw I rodzju przykłdy Nstępujące cłki niewłściwe I rodzju są zbieżne: e x dx = ; Przykłd rozbieżnej cłki niewłściwej I rodzju: e x dx = 2; sin xdx. Przykłd cłki cłki niewłściwej I rodzju rozbieżnej do nieskończoności: dx =. x Zmienne losowe typu cigłego Definicj. Mówimy, że zmienn losow X jest typu cigłego, jeśli istnieje nieujemn funkcj g tk, że dl kżdych liczb i b spełnijcych wrunek < b zchodzi równość P ( < X < b) = g(x)dx. Rozkłd jednostjny n odcinku [, ] Przykłdem zmiennej losowej typu ciągłego jest rozkłd jednostjny n odcinku [, ] (oznczenie: U(, )). Jego funkcj gęstości u dn jest wzorem, jeśli x, u(x) = jeśli x < lub x >. Rozkłd ten może opisywć np. czs oczekiwni n utobus A, odjeżdżjący do miejscowości B co godzinę, przez psżer C; zkłdmy, że C nie zn rozkłdu jzdy dl tej linii i że przychodzi n przystnek w losowym momencie. 2

3 Rozkłd jednostjny n odcinku [, ] przykłd obliczeń Czs oczekiwni n utobus zmienn losow Y U(, ). Prwdopodobieństwo P ( < Y < ) 3 2 jest równe: ( P 3 2) < Y < /2 [ ] /2 = dx = x = /3 /3 2 3 = 6. Cłk niewłściw II rodzju Problem: chcemy obliczyć pole obszru ogrniczonego wykresem funkcji x i odcinkiem (, ] nleżącym do osi OX. Odpowiednim nrzędziem będzie cłk niewłściw II rodzju (czyli cłk niewłściw po przedzile ogrniczonym). Gęstość zmiennej losowej o rozkłdzie typu cigłego Stwierdzenie. Dowoln funkcj g spełnijc wrunki: dziedzin funkcji g jest zbiór liczb rzeczywistych R; g(x) dl x R;. jest funkcj gęstości pewnej zmiennej losowej typu cigłego. Zmiennej losowej typu cigłego przykłdy. Zmienn o rozkłdzie jednostjnym n odcinku [, b] jeżeli x [, b], b jeżeli x / [, b]. 2. Zmienn o rozkłdzie wykłdniczym z prmetrem λ > λe λx jeżeli x, jeżeli x <. 3. Zmienn o rozkłdzie normlnym z prmetrmi µ (, ) i σ > (czyli N(µ, σ). φ µ,σ (x) = 2πσ e (x µ)2 2σ Zmienn o rozkłdzie Lplce z prmetrmi µ (, ) i b >. ( ) x µ 2b exp b 5. Funkcj histogrmow (gęstość empiryczn): histogrm probbilistyczny rozuminy jko funkcj. Sprwdzenie, że gęstości te spełniją wrunki wymienione w Stwierdzeniu : reltywnie proste, z wyjątkiem gęstości rozkłdu normlnego. 3

4 Rysunek : Wykresy gęstości rozkłdów normlnych: N(, ) (lini ciągł), N(, 2) (lini kropkown ), N(2, ) (lini kreskown ). Dystrybunt zmiennej losowej typu cigłego Dl dowolnej zmiennej losowej X jej dystrybuntę F X definiujemy jko funkcję spełnijącą wrunek F X (t) = P (X t), t R. Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego z gęstością g, to dystrybunt X spełni równość F X (t) = g(x)dx. Oblicznie prwdopodobieństw zdrzeń odpowidjcych zmiennym losowym typu cigłego Niech X będzie zmienną losową typu ciągłego. Niech F X będzie jej dystrybuntą. Dl dowolnych i b tkich, że < b prwdziwe są równości: P ( < X < b) = P ( < X b) = P ( X < b) = = P ( X b) = F X (b) F X (). Dystrybunt rozkłdu jednostjnego Gęstość zmiennej losowej X o rozkłdzie jednostjnym n odcinku [, b] Dl t < mmy F X (t) =. Dl t [, b] mmy: F X (t) = Dl t > b mmy F X (t) =. jeżeli x [, b], b jeżeli x / [, b]. g(x)dx = [ b dx = x b ] t = t b. 4

5 Dystrybunt rozkłdu normlnego Nie d się wyrzić z pomocą opercji lgebricznych. Rozwiąznie problemu:. stblicownie wrtości dystrybunty rozkłdu N(, ); 2. dl rozkłdu N(µ, σ) wykorzystujemy fkt: ( ) t µ Φ µ,σ (t) = Φ, () σ gdzie Φ ozncz dystrybuntę rozkłdu N(, ), Φ µ,σ ozncz dystrybuntę rozkłdu normlnego z prmetrmi µ i σ. Równość () wynik z równości pochodnych funkcji po jej lewej i prwej stronie orz z równości ( ) µ µ Φ µ,σ (µ) = Φ = Φ() = σ 2. Włsności funkcji Φ Rysunek 2: Wykresy gęstości φ rozkłdu normlnego (z lewej strony) N(, ) i dystrybunty rozkłdu normlnego Φ (z prwej strony) Możn pokzć, że Φ() =,5 orz Φ(t) = Φ( t) dl dowolnego t; stąd możn się ogrniczyć do tblicowni funkcji Φ dl t. Oblicznie prwdopodobieństw w przypdku rozkłdu normlnego przykłd Niech X ozncz wzrost dorosłych mężczyzn w pństwie A; zkłdmy, że X N(77, ). Chcemy obliczyć: () P (74 < X < 82), (b) P (X > 82). Obliczeni dl (): ( ) ( ) P (74 < X < 82) = Φ Φ = = Φ(,5) Φ(,3) = Φ(,5) ( Φ(,3)) = = Φ(,5) + Φ(,3),695 +,679 =,394. Obliczeni dl (b) możn przeprowdzić w nlogiczny sposób korzystjąc z równości: ( ) P (X > 82) = P (X < 82) = Φ = Φ(,5). Lektur uzupełnijc T. Bednrski, Elementy mtemtyki w nukch ekonomicznych. Oficyn ekonomiczn. Krków 24, str Koroncki, J., Mielniczuk, J. Sttystyk dl studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. WNT. Wrszw 2, s. 4. 5