Analiza Matematyczna

Transkrypt

1 Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził rówomiery. Skorzystmy z fktu: Jeżeli fx jest cłkowl [, b], to b b fxdx lim f + k kb. Fukcj fx e x jest ciągł odciku [, ], ztem jest tym odciku cłkowl. Stąd e x dx lim e e lim e Przykłdy 9. : e + k k e e lim k e e e k e e lim e e e Korzystjc z twierdzei Newto-Leibiz oblicz pode cłki ozczoe. e x dx Fukcj fx e x jest ciągł odciku [, ] orz e x e x Ztem e x dx e x e e e b dx x + Fukcj fx x + jest ciągł odciku [, ] orz x + rctgx Ztem dx x + rctgx rctg rctg π 4

2 c 4 x 5 x x dx x Fukcj fx x 5 x x x orz 5 x x x x x 5x Ztem 4 x 5 x D x x jest ciągł odciku [, 4] x x dx x x 4 x x x + x 4 4 x x x + x Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, uzsdij, że lim. Zuwżmy, że lim dl fx x, i b. lim + k b lim f + k k Poiewż fx x jest ciągł [, ], gric t jest rów cłce: lim + k x dx k Podto, x x, więc x dx x Otrzymujemy stąd, że lim Przykłdy 9.4 : Metodą cłkowi przez części oblicz pode cłki ozczoe: kb π x si xdx π [ ] f x g si x x si xdx f g x cos x π π si xdx cos x + cos xdx π cos π + cos + cos xdx π + si x π π + si π si π

3 b e x siπxdx [ f siπx g e x e siπxdx x ] f π cosπx g e x dx e x e x siπx e x cosπxdx [ f cosπx g e si π si π e x e cosπxdx x ] f siπx g e x Przykłdy 9.5 : π e x cosπx + π e x siπxdx e cos π cos π e x siπxdx Ztem + π Stąd otrzymujemy e x siπxdx e. e x siπxdx πe + + π Oblicz pode cłki ozczoe stosując odpowiedie podstwiei: y x xe x dy x dx dx xdx 4 x e y dy ey 4 e4 y 4 b xdx 5 4x 6 Przykłdy 9.6* : 5 y/ / y/ / y 5 4x x 5 y/4 dx 4 dy x y y dy y / y / dy y Wykorzystując włsości cłek z fukcji przystych, ieprzystych, okresowych uzsdij pode rówości: b e x si xdx Rówość wyik z tego, że fukcj fx e x si x jest ieprzyst f x e x si x e x si x fx, przedził cłkowi [, ] jest symetryczy względem. x si xdx x si xdx Rówość wyik z tego, że fukcj fx x si x jest przyst f x x si x x si x fx, przedził cłkowi [, ] jest symetryczy względem.

4 4 c 5π si 5 x + cos x dx Fukcj fx si5 x jest okresow o okresie T π. + cos x Ztem 5π fxdx π fxdx + π fx jest tkże ieprzyst f x π fxdx + 5π π si5 x + cos x fxdx cłkowi [, π] jest symetryczy względem, więc Ztem Przykłdy 9.7* : 5π si 5 x + cos x dx Oblicz pode cłki ozczoe: { x dl x / Z {} gxdx, gdzie gx dl x Z {}. x b c 5/ π fxdx si x5 + cos x π fxdx. fx, przedził gx m luki w puktch -,,,...,. Domykjc te luki otrzymujemy fx x, przy czym zbiór {x [, ] : fx gx} jest skończoy. Ztem Exdx gxdx fxdx xdx x 4 48 Fukcj m skoki w puktch i, dltego dzielimy przedził cłkowi w tych miejscch. Ztem 5/ + x x dx Exdx + x 5/ Exdx + Exdx + + 5/ 5/ Exdx dx + { x dl x < fx x x dl x. x to miejsce zmiy wzoru, więc tu dzielimy przedził cłkowi Ztem x x x dx x dx + x dx xdx + dx + 5/ x dx dx x + x 4 / + 9/ 6 4 5

5 5 Przykłdy 9.8 : Oblicz pole obszru D ogriczoego krzywymi y x 6x + 7 i y x. Szukmy puktów wspólych podych krzywych: Szkicujemy rysuek: x 6x + 7 x x 5x x 5 x Ztem, b 4, gx x, dx x 6x + 7 Obszr D {x, y : x 4, x 6x + 7 y x} Obliczmy pole obszru D: D b gx dx dx 4 x x 6x + 7 dx x + 5x 4x Odp. D 4.5 > 4 x + 5x 4 dx

6 6 b Oblicz pole obszru D ogriczoego krzywymi x y i x y 4. Szukmy puktów wspólych podych krzywych: Szkicujemy rysuek: y y 4 y + y t y t + t t < t + y t y y Ztem, b, ly y 4, py y Obszr D {x, y : y, y 4 x y } Obliczmy pole obszru D: b fukcj przyst, D py ly dy y y 4 dy przedził cłkowi y y 4 dy Odp. D 44 5 > y y y5 5 symetryczy względem

7 7 Przykłd 9.9 : Oblicz długość krzywej Γ : y chx, x., b, fx chx, f x shx - ciągł [, ]. Długość krzywej Γ wyosi: b Γ + f x dx + sh x dx chx dx shx Skorzystliśmy z fktu, że ch x sh x orz chx dl kżdego x. sh sh e e Odp. Γ e e > Przykłdy 9. : Oblicz objętość bryły V powstłej przez obrót figury D : x, y x e x wokół osi Ox., b, fx x e x jest ieujem i ciągł [, ]. Ztem objętość bryły V rów jest: b V π f x dx π x e x dx π π xe x + πe 4e Odp. V πe 4e > f x g e x xe x dx f g e x dx e x e x dx π e e x + π e e

8 8 b Oblicz objętość bryły V powstłej przez obrót figury D : x, y x x wokół osi Oy., b, fx x x xx jest ieujem i ciągł [, ]. Ztem objętość bryły V rów jest: b V π xfx dx π x [ ] x x x x dx x x x x x x + x y x π x x dx + x dx dy dx x y π y y dy + y dy π + π π Obliczei pomocicze: y y dy, gdyż cłkujemy fukcję ieprzystą po przedzile symetryczym względem. y dy π π, gdyż wykresem fukcji fy y jest półokrąg o promieiu i środku,, cłk to pole pod wykresem, czyli pole półkoł o promieiu. Odp. V π >

9 9 Przykłdy 9. : Oblicz pole powierzchi Σ powstłej przez obrót krzywej Γ : x, y x wokół osi Ox., b, fx x, f x x Ztem pole powierzchi Σ rówe jest: b Σ π π fx + f x dx π π y / y dy 4 / 9 π jest ciągł [, ]. x + 4x dx π 4x + dx y 4x + dy 4dx x y 5 9 Odp. Σ π > b Oblicz pole powierzchi Σ powstłej przez obrót krzywej Γ : x, y x wokół osi Oy., b, fx x, f x jest ciągł [, ]. Ztem pole powierzchi Σ rówe jest: b Σ π x + f x dx π x + 4 dx π 5 π 5 9 8π 5 x dx π 5 x Odp. Σ 8π 5 >