2. Analiza Funkcje niepustymi zbiorami. Funkcja

Transkrypt

1 2. Anliz Kresy: infim i suprem Wprowdzmy oznczenie dl rozszerzonej prostej rzeczywistej: R = R {, + }, przy czym w zbiorze tym zchowujemy nturlny porzdek w R orz przyjmujemy, że < < dl R. Niech A R. Ogrniczeniem dolnym zbioru A jest kżdy tki element R, że x dl x A. Kresem dolnym A (infimum, inf A) nzywmy jego njwiększe ogrniczenie dolne. Ogrniczeniem górnym zbioru A jest kżdy tki element R, że x dl x A. Kresem górnym A (supremum, sup A) nzywmy jego njmniejsze ogrniczenie górne. Zbiór A jest ogrniczony, jeśli m skończone (dolne i górne) ogrniczeni. Przykłdy.. A = { : n N}, inf A = 0, sup A =. n 2. A = [, 2), inf A =, sup A = A = {x Q : x 2 < 2}, inf A = 2, sup A = inf = +, sup =. 2.. Funkcje Niech X, Y będ niepustymi zbiormi. Funkcj f : X Y (przeksztłceniem lub odwzorowniem zbioru X w zbiór Y ) nzywmy przyporzdkownie kżdemu elementowi zbioru X dokłdnie jednego elementu zbioru Y. Zbiór X nzywmy dziedzin (zbiorem rgumentów) funkcji f. Zbiór Y nzywmy przeciwdziedzin funkcji f. Element f(x) Y nzywmy wrtości funkcji f w punkcie x X. Dl A X zbiór f(a) = {f(x) : x A} = {y Y : x A y = f(x)} nzywmy obrzem A w przeksztłceniu f. Przeciwobrzem elementu y Y nzywmy zbiór f ({y}) = {x X : f(x) = y}. Przeciwobrzem zbioru B Y nzywmy zbiór f (B) = {x X : f(x) B} = {f ({y}) : y B}. Funkcję f nzywmy różnowrtościow (injekcj) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x ) = f(x 2 ) x = x 2 dl dowolnych x, x 2 X. Równowżnie, funkcj f jest różnowrtościow, gdy x x 2 f(x ) f(x 2 ) dl dowolnych x, x 2 X. O funkcji f mówimy, że jest n (surjekcj) wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnego y Y, istnieje tki x X, że f(x) = y; inczej, gdy f(x) = Y. Funkcj jest bijekcj wtedy i tylko wtedy, gdy jest różnowrtościow i n (jest jednocześnie injekcj i surjekcj).

2 Złożenie funkcji Jeśli f : X Y orz g : Y Z, to złożeniem funkcji f i g nzywmy funkcję (g f): X Z dn wzorem (g f)(x) = g(f(x)), x X. Funkcj odwrotn Niech f : X Y będzie bijekcj. Wówczs dl kżdego y Y zbiór f ({y}) jest jednoelementowy. Oznczmy ten element przez f (y). W ten sposób określiliśmy odwzorownie f : Y X Y y f (y) X, które nzywmy odwzorowniem odwrotnym do f. Funkcj odwrotn m niezwykle pożyteczne włsności: (f f)(x) = x, x X (f f )(y) = y, y Y i co więcej jest jedyn tk funkcj, to znczy: jeśli g : Y X m włsność: to g = f. (g f)(x) = x, x X (f g)(y) = y, y Y Funkcje elementrne. Wielominy. Dl n N orz 0,,..., n R, n 0, funkcję W : R R dn wzorem W (x) = n x n + n x n + + x + 0 nzywmy wielominem (stopni n). 2. Funkcje wymierne. Niech P i Q będ wielominmi, Q 0. Funkcję f : R \ {x R : Q(x) = 0} R dn wzorem f(x) = P (x) Q(x) nzywmy funkcj wymiern. 3. Funkcje wykłdnicze. Dl dowolnego (0, ) istnieje dokłdnie jedn dodtni funkcj monotoniczn exp : R R spełnijc równnie: exp (x + y) = exp (x) exp (y) dl x, y R. Funkcję t nzywmy funkcj wykłdnicz. Możn pokzć, że exp (x) = x dl x Q, ztem będziemy używć oznczeni x zmist exp (x). Funkcj x jest rosnc dl > orz mlejc dl 0 < <. Dl = mmy funkcję stł ( x = ). 2

3 4. Funkcje logrytmiczne. Funkcję odwrotn do funkcji wykłdniczej x,, nzywmy logrytmem o podstwie (funkcj logrytmiczn): log (y) = x x = y, y > 0. Funkcje logrytmiczne log : (0, ) R, (0, ) \ {}, s jedynymi funkcjmi monotonicznymi o włsności log (x y) = log (x) + log (y), dl x, y > 0. Poniewż funkcj wykłdnicz i logrytmiczn s funkcjmi wzjemnie odwrotnymi, mmy włsności: log ( x ) = x, dl x R, log (x) = x, dl x > 0. Dl = 0 pomijmy wskźnik podstwy: log x = log 0 (x). log(0 x ) = x, dl x R, 0 log x = x, dl x > Funkcje potęgowe. Dl ustlonego α R funkcję f : (0, ) R postci f(x) = x α nzywmy funkcj potęgow. Poniewż x = 0 log x, więc Funkcj potęgow m włsność: x α = (0 log x ) α = 0 α log x. x α y α = (x y) α, dl x, y > 0. Dl niektórych α R możn rozwżć funkcję potęgow w szerszej dziedzinie. 6. Funkcje trygonometryczne. sinus sin: R R, cosinus cos: R R, tngens tg : R \ {kπ + π : k Z} R, 2 cotngens ctg : R \ {kπ : k Z} R, 7. Funkcje odwrotne do trygonometrycznych. rcus sinus rcsin: [, ] [ π, ] π 2 2, rcus cosinus rccos: [, ] [0, π], rcus tngens rc tg: R ( π, ) π 2 2, rcus cotngens rc ctg: R (0, π) Cigi liczbowe Funkcję : N R nzywmy cigiem liczbowym. Trdycyjne jednkże zmist zpisu funkcyjnego stosujemy oznczenie: ( n ) n N. Cig nzywmy nierosncym (słbo mlejcym), jeśli n n+ dl n N. 3

4 Cig nzywmy niemlejcym (słbo rosncym), jeśli n n+ dl n N. Zstępujc symbole i przez < i > odpowiednio otrzymmy definicje cigów (silnie) rosncych i mlejcych. Cig ( n ) n N jest ogrniczony, jeśli istnieje tkie M > 0, że n M dl n N. Grnice cigów Niech ( n ) n N będzie cigiem liczb rzeczywistych. Definicj (Grnic cigu liczbowego). Liczb R jest grnic cigu ( n ) (piszemy lim n = ) wtedy i tylko wtedy, gdy n ε>0 n 0 N n n 0 n < ε. Mówimy wtedy, że cig ( n ) jest zbieżny. Cig ( n ) m grnicę + (jest rozbieżny do +, lim n n wtedy i tylko wtedy, gdy n > M. n n 0 M R n 0 N = + ) Cig ( n ) m grnicę (jest rozbieżny do +, lim n n = ) wtedy i tylko wtedy, gdy n < M. n n 0 M R n 0 N Włsności cigów zbieżnych Kżdy cig zbieżny m dokłdnie jedn grnicę. Kżdy cig zbieżny jest ogrniczony. Kżdy cig ogrniczony i monotoniczny (niemlejcy lub nierosncy) jest zbieżny. Kżdy cig zbieżny spełni wrunek Cuchy ego: n m < ε. ε>0 n 0 N n,m N n,m n 0 Kżdy cig liczb rzeczywistych spełnijcy wrunek Cuchy ego, jest zbieżny do pewnej liczby rzeczywistej. Arytmetyk grnic Dl zbieżnych cigów ( n ), (b n ) mmy: lim ( n + b n ) = lim n n n + n lim b n, lim ( n b n ) = lim n n n n lim b n, lim ( n b n ) = lim n n n n lim b n, jeśli b n 0 dl n N orz lim n b n 0, to tkże: lim ( n/b n ) = lim n / lim b n. n n n 4

5 Twierdzenie (O trzech cigch). Jeśli ciągi ( n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N spełniją wrunki: n b n c n, n N orz to lim n = lim c n = g, n n lim b n = g. n Twierdzenie. Jeśli lim n n = 0, ciąg (b n ) n N jest ogrniczony, to lim ( n b n ) = 0. n Jeśli ciąg ( n ) n N jest ogrniczony, lim n b n = +, to lim ( n + b n ) = +, n n lim ( n b n ) =, n lim n /b n = 0. Jeśli n lim n = + lub n lim n =, to n lim / n = 0. Jeśli lim n = 0 orz n > 0, to lim / n = +. n n Jeśli n lim n = > 0 orz n lim b n = +, to n lim ( n b n ) = +. Wżne cigi liczbowe i ich grnice 0, < 0,. lim n n =, = 0, +, > 0. 0, < <, 2. lim n n =, =, +, >. 3. lim n n n =. n 4. Jeśli x > orz R, to lim n x = 0. n 5. gdzie ( lim + n ( = lim n n) n = e, n n) e = n=0 n! jest podstw logrytmów nturlnych: ln x = log e (x). Ogólniej, jeśli n lim n = + lub n lim n =, to ( lim + x ) n = e x. n n Uwg: e ln x = x dl x > 0 orz ln(e x ) = x dl x R. 5

6 2.3. Grnice funkcji Ssiedztwem punktu x 0 R nzywmy kżdy zbiór zwierjcy dl pewnego δ > 0 zbiór (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }. Punkt x 0 nzywmy punktem skupieni zbioru A, jeśli w dowolnym jego ssiedztwie znjduje się nieskończenie wiele punktów zbioru A. Niech X R, f : X R orz niech x 0 będzie punktem skupieni zbioru X. Definicj (Cuchy ego grnicy funkcji). Mówimy, że f m grnicę q w punkcie x 0, co zpisujemy lim x x0 f(x) = q, wtedy i tylko wtedy, gdy (0 < x x 0 < δ f(x) q < ε). ε>0 δ>0 Równowżnie możemy skorzystć z definicji w sensie Heinego (korzystjcej z pojęci grnicy cigu): Definicj (Heinego grnicy funkcji). lim f(x) = q dl kżdego tkiego cigu (x n ) X, że x x 0 lim x n = x 0 orz x n x 0 dl n N, n mmy lim f(x n ) = q. n Grnice jednostronne Mówimy, że f m w x 0 : grnicę prwostronn: lim x x0 + f(x) = q (0 < x x 0 < δ f(x) q < ε). ε>0 δ>0 dl dowolnego cigu (x n ) X z x n > x 0 orz lim n x n = x 0 mmy lim n f(x n ) = q. grnicę lewostronn: lim x x0 f(x) = q (0 < x 0 x < δ f(x) q < ε). ε>0 δ>0 mmy lim n f(x n ) = q. Uwg: lim f(x) = q x x 0 dl dowolnego cigu (x n ) X z x n < x 0 orz lim n x n = x 0 lim f(x) = q = x x 0 + lim f(x). x x 0 Przykłdy sin(x) lim x 0 x =, lim x 0 ( + x) /x = e, lim x =, x 0 x lim x 0 x = ln. Niech f(x) = x. Rozwżmy ci gi: x x n =, y n n =. Mmy lim n n x n = n lim n y n = 0, jednkże lim n f(x n ) = lim n = orz lim n f(y n ) = n n lim n n grnice jednostronne. =. Funkcj f nie m grnicy w x = 0, pomimo iż m obie 6

7 Włsności grnic Dl funkcji f, g definiujemy: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), (f/g)(x) = f(x)/g(x), w osttnim przypdku dl tkich x, że g(x) 0. Zkłdjc, że grnice lim x x0 f(x), lim x x0 g(x) istniej i s skończone, mmy: lim f(x) + lim g(x) = lim (f + g)(x), x x 0 x x0 x x0 lim f(x) lim g(x) = lim (f g)(x), x x 0 x x0 x x0 lim f(x) lim x x 0 x x0 g(x) = x x0 lim (fg)(x), lim f(x)/ lim x x 0 x x0 g(x) = x x0 lim (f/g)(x), jeśli lim x x0 g(x) Funkcje cigłe Funkcję f : A R, A R nzywmy cigł w punkcie x 0 A, wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Funkcję f nzywmy cigł w zbiorze B A, jeśli jest cigł w kżdym punkcie x 0 B. Funkcję f nzywmy cigł, jeśli cigł w cłej dziedzinie. Twierdzenie. Sum, różnic, iloczyn i złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Ilorz funkcji ciągłych jest ciągły n zbiorze, n którym minownik jest różny od zer. Wielominy, funkcje sin i cos, funkcje wykłdnicze s cigłe n cłej prostej rzeczywistej. Funkcje ln orz tn s cigłe (w swojej dziedzinie). Funkcj, x Q, Q : R R, Q (x) = 0, x R \ Q, jest niecigł w kżdym punkcie. Włsności funkcji cigłych Funkcj f : A R cigł n domkniętym i ogrniczonym zbiorze jest: ogrniczon, to znczy f(x) M. M>0 x A osig swoje kresy, czyli f(x 0 ) = sup f(x), x A x 0 A x 0 A f(x 0 ) = inf x A f(x). Kżd funkcj cigł n przedzile domkniętym m włsność Drboux: jeśli f : [, b] R, to f(c) = y. y [f(),f(b)] c [,b] 7

8 2.5. Pochodn funkcji jednej zmiennej Niech f : (, b) R, h R, x, x + h (, b). Liczbę f(x + h) f(x) h nzywmy ilorzem różnicowym f w punkcie x. Pochodn funkcji f w punkcie x nzywmy f f(x + h) f(x) (x) = lim, h 0 h o ile t grnic istnieje. Funkcję nzywmy różniczkowln w przedzile (, b), jeśli jej pochodn istnieje w kżdym punkcie tego przedziłu. Możn spotkć różne oznczeni dl pochodnych: f df, dx, f x, f, Df. Funkcję x f (x) nzywmy (funkcj) pochodn f. Interpretcj pochodnej Wrtość f (x) jest równ nchyleniu stycznej do wykresu funkcji w punkcie x. Pochodn wyrż tempo zmin funkcji f. Włsności pochodnej (f + g) (x) = f (x) + g (x), (f g) (x) = f (x) g (x) (cf) (x) = cf (x), c R, (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x), ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x), g g 2 (x) (f g) (x) = f (g(x))g (x). Jeśli funkcj f : (, b) R m pochodn w punkcie x (, b), to jest tkże cigł w tym punkcie. Pochodne wyższych rzędów definiuje się rekurencyjnie: f (2) (x) = f (x) = (f (x)), f (n+) (x) = (f (n) (x)), n. Mówimy, że funkcj f jest klsy C k jeśli pochodne f, f,..., f (k) istniej i s cigłe. Pochodne wybrnych funkcji c = 0, c R, x n = nx n, (e x ) = e x, (ln x) = x, (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (rcsin x) = x 2, (rccos x) = x 2, (rctn x) = +x 2. 8

9 Twierdzenie (Rolle ). Jeśli f jest ciągł n [, b], różniczkowln n (, b) orz f() = f(b), to istnieje tkie c (, b), że f (c) = 0. Twierdzenie (Lgrnge ). Jeśli f jest ciągł n [, b], różniczkowln n (, b), to istnieje tkie c (, b), że f (c) = f(b) f(). b Twierdzenie (Cuchy ego). Jeśli f i g są funkcjmi ciągłymi n [, b], różniczkowlnymi n (, b), g(b) g() orz g (x) 0 dl x (, b), to istnieje tkie c (, b), że f (c) g (c) = f(b) f() g(b) g(). Reguł de l Hospitl Jeśli funkcje f i g s określone w pewnym otoczeniu punktu x 0, g(x) 0 w tym otoczeniu i lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 (lub lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = ± ), to wyrżenie f(x) lim x x 0 g(x) nzywmy wyrżeniem nieoznczonym typu 0 0 (lub ). Twierdzenie (Reguł de l Hospitl). Jeśli ilorz f(x) jest symbolem nieoznczonym typu 0 0 lub f (x) g(x) orz istnieje grnic lim, to istnieje tkże grnic x x 0 g (x) f(x) lim x x 0 g(x) orz f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Podobnie definiujemy wyrżeni nieoznczone typu 0,, 0 0,, 0, które możn przeksztłcić do równowżnych wyrżeń typu 0 lub, n 0 przykłd stosujc nstępujce trnsformcje: f(x)g(x) [0 ] = f(x) g(x) f(x) g(x) [ ] = [ 0 0 ] = g(x) f(x) g(x) f(x) f(x)g(x) f(x) g(x) = e g(x) ln f(x) [0 ]. 9 [ ], [ 0 0 ],

10 Wzór Tylor Niech f : (, b) R orz x, x + h (, b). Jeśli f m cigłe pochodne rzędu (n ) w przedzile [x, x + h] i f jest n-krotnie różniczkowln w (x, x + h), to istnieje tk liczb θ (0, ), że f(x + h) = f(x) + f (x)! h + f (2) (x) 2! h 2 + f (3) (x) h ! + f (n ) (x) (n )! hn + R n (x, h), gdzie R n (x, h) = f (n) (x + θh) h n. n! Dl x = 0 wzór Tylor nzywmy wzorem Mclurin: f(h) = f(0) + f (0)! h + f (2) (0) h f (n ) (0) 2! (n )! hn + f (n) (θh) h n. n! Pochodn funkcji odwrotnej Złóżmy, że f : (, b) R jest funkcj ci- gł i odwrcln. Jeśli f jest różniczkowln w punkcie x 0 (, b) orz f (x 0 ) 0, to y 0 := f(x 0 ) jest punktem wewnętrznym przedziłu f((, b)) orz f jest funkcj różniczkowln w punkcie y 0 i zchodzi wzór (f ) (y 0 ) = f (f (y 0 )) = f (x 0 ). Przykłdy ekonomicznej interpretcji pojęci pochodnej. Jeśli funkcje C, S, G, U s odpowiednio funkcjmi kosztów, przychodów, zysku, użyteczności, to C, S, G, U s odpowiednio funkcjmi: kosztów krńcowych, przychodów krńcowych, zysków krńcowych, użyteczności krńcowej. 2. Niech D ozncz dochód, K konsumpcję, zś I inwestycje. Wówczs: dk/dd to krńcow skłonność do konsumpcji, di/dd to krńcow skłonność do inwestycji. Poniewż D = K + I, więc = dd/dd = dk/dd + di/dd, ztem z twierdzeni o pochodnej funkcji odwrotnej: dd di = di dd = dk dd = k >. Keynes nzyw wielkość k mnożnikiem inwestycyjnym. 3. E f (x) := f (x)x elstyczność funkcji f mówi o tym jk względn f(x) (np. o %) zmin rgumentu wpływ n względn zminę wrtości funkcji). 4. Jeśli przez p oznczymy cenę, przez q = q(p) popyt jko funkcję ceny, to E p (q) = q (p)p jest elstyczności cenow popytu (trdycyjnie zmienimy znk, by uniknć liczb ujemnych). Dl E p (q) > mówimy o q(p) popycie elstycznym, dl E p (q) < o popycie nieelstycznym. 0

11 Monotoniczność funkcji Niech = X R orz f : X R. Mówimy, że f jest: niemlejc, gdy f(x) f(y) dl dowolnych x y, nierosnc, gdy f(x) f(y) dl dowolnych x y, monotoniczn, gdy jest niemlejc lub nierosnc, (ściśle) rosnc, gdy f(x) < f(y) dl dowolnych x < y, (ściśle) mlejc, gdy f(x) > f(y) dl dowolnych x < y. Wypukłość Niech X będzie przestrzeni liniow nd R. Mówimy, że zbiór A X jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy x, y A λ [0,] λx + ( λ)y A. Jeśli x, y X, to odcinkiem między x i y nzywmy zbiór [x, y] = {λx + ( λ)y : λ [0, ]}. Zbiór A jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej pry nleżcych do niego punktów, zwier również cły odcinek między tymi punktmi. Zbiory X i s wypukłe. Część wspóln dowolnej kolekcji zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym. Niech X będzie przestrzeni liniow nd R orz A X będzie zbiorem wypukłym. Mówimy, że funkcj f : A R {, } jest wypukł wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór (epigrf f) epi(f) = {(x, y) A R : y f(x)} jest wypukły. Dl funkcji przyjmujcych jedynie wrtości skończone możemy korzystć z nieco prostszej definicji. Funkcj f : A R jest wypukł wtedy i tylko wtedy, gdy spełni nierówność Jensen: x,y A λ [0,] f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y). Funkcj f jest wklęsł f jest wypukł. Pochodne, monotoniczność i wypukłość Jeśli f jest różniczkowln n przedzile (, b), to: f (x) = 0 dl x (, b) f jest stł w (, b), f (x) > 0 dl x (, b) f jest rosnc w (, b), f (x) 0 dl x (, b) f jest niemlejc w (, b), f (x) < 0 dl x (, b) f jest mlejc w (, b), f (x) 0 dl x (, b) f jest nierosnc w (, b), f jest niemlejc w (, b) f jest wypukł w (, b), f jest nierosnc w (, b) f jest wklęsł w (, b). Jeśli f jest dwukrotnie różniczkowln w przedzile (, b), to f (x) 0 dl x (, b) f jest wypukł w (, b), f (x) 0 dl x (, b) f jest wklęsł w (, b).

12 2.6. Ekstrem funkcji Mówimy, że f : R R m w x 0 : minimum loklne f(x 0 ), jeśli istnieje tkie ε > 0, że f(x 0 ) f(x), dl x (x 0 ε, x 0 + ε) \ {x 0 }. mksimum loklne f(x 0 ), jeśli istnieje tkie ε 0 > 0, że f(x 0 ) f(x), dl x (x 0 ε, x 0 + ε) \ {x 0 }. Jeśli znki i zmienimy odpowiednio n < i >, otrzymmy definicje włściwego minimum i mksimum (loklnego). Loklne minim i mksim nzywmy (loklnymi) ekstremmi (liczb mnog od ekstremum). Twierdzenie (Fermt). Jeśli różniczkowln funkcj f m ekstremum w x 0, to f (x 0 ) = 0. Punkty x, dl których f (x) = 0 nzywmy stcjonrnymi. Punkty stcjonrne i orz punkty, w których pochodn funkcji nie istnieje nzywmy krytycznymi. Niech f będzie cigł w punkcie krytycznym x 0 i różniczkowln w zbiorze (x 0 ε, x 0 +ε)\{x 0 } dl pewnego ε > 0. Jeśli f zmieni w x 0 znk: z n +, to f m w x 0 loklne minimum, z + n, to f m w x 0 loklne mksimum. Niech f będzie n-krotnie różniczkowln w pewnym otoczeniu x 0 orz f (n) będzie cigł w x 0. Złóżmy, że f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n ) (x 0 ) = 0 orz f (n) (x 0 ) 0. Jeśli n jest przyste orz f (n) (x 0 ) > 0, to f m w x 0 loklne minimum, f (n) (x 0 ) < 0, to f m w x 0 loklne mksimum. Jeśli n jest nieprzyste, to f nie m ekstremum w x 0. Pochodne wypukłość Jeśli f jest dwukrotnie różniczkowln w przedzile (, b), to f (x) 0 dl x (, b) f jest wypukł w (, b), f (x) 0 dl x (, b) f jest wklęsł w (, b). Złóżmy, że x 0 (, b), funkcj f : (, b) R jest wypukł (wklęsł) przedzile (, x 0 ), ntomist jest wklęsł (wypukł) w przedzile (x 0, b). Punkt x 0 nzywmy wówczs punktem przegięci funkcji f. Jeśli f : (, b) R jest klsy C 2, x 0 (, b) jest punktem przegięci funkcji, to f (x 0 ) = 0. Asymptoty Niech f będzie funkcj określon w przedzile (α, ), gdzie α R lub α =. Prost o równniu y = x + b (, b R) nzywmy symptot ukośn funkcji f w +, jeśli lim (f(x) (x + b)) = 0. x 2

13 Jeśli funkcj f m symptotę ukośn, to f(x) = x lim x, b = lim (f(x) x). x Anlogicznie definiujemy i wyznczmy symptotę w. Prost x = c nzywmy symptot pionow funkcji f, jeśli jest on określon w pewnym ssiedztwie punktu c orz lim x c+ f(x) = ± lub lim x c f(x) = ±. Bdnie przebiegu zmienności Aby zbdć przebieg zmienności funkcji nleży wykonć poniższe kroki (nie jest konieczne zchownie dokłdnie tej kolejności):. Wyznczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji. 2. Zbdć znk funkcji, miejsc zerowe, punkt przecięci z osi OY. 3. Zbdć włsności geometryczne jk przystość, nieprzystość, okresowość, itp. 4. Zbdć cigłość i wyliczyć grnice n końcch przedziłów zwrtych w dziedzinie. 5. Wyznczyć symptoty funkcji. 6. Obliczyć pochodn funkcji i przedziły monotoniczności. 7. Obliczyć drug pochodn, znleźć ekstrem, przedziły wypukłości, punkty przegięci Cłk Funkcj pierwotn Funkcj pierwotn funkcji f : (, b) R nzywmy dowoln tk różniczkowln funkcję F : (, b) R, że F (x) = f(x), dl x (, b). Kżd funkcj f cigł n przedzile (, b) m funkcję pierwotn n tym przedzile. Niech F będzie funkcj pierwotn f. Wówczs dl dowolnego C R, funkcj F (x) + C jest tkże funkcj pierwotn f, co więcej wszystkie funkcje pierwotne f s postci F (x) + C. Zbiór funkcji pierwotnych f nzywmy cłk nieoznczon f i oznczmy f lub f(x) dx. Jeśli F jest funkcj pierwotn f, to: f(x) dx = F (x) + C orz ( f(x) dx) = f(x). Pondto, jeśli funkcj f jest różniczkowln, to f (x) dx = f(x) + C. 3

14 Cłki funkcji elementrnych Poniższe wzory wynikj z nlogicznych wzorów n pochodne podstwowych funkcji. 0 dx = C, dx = x + C, x n dx = xn+ n + + C, n, dx = ln x + C, x e x dx = e x + C, sin x dx = cos x + C, cos x dx = sin x + C, dx + x = rctn x + C, 2 dx = tn x + C, cos 2 x dx = rcsin x + C. x 2 Reguły cłkowni Liniowość cłki: (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx, cf(x) dx = c f(x) dx, c R. Cłkownie przez części: f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx. Cłkownie przez podstwienie: jeśli t = phi(x) jest różniczkowln w (α, β) orz φ(α, β) (, b), gdzie f jest cłkowln, to f(φ(x))φ (x) dx = f(t) dt Cłkownie funkcji wymiernych. Funkcje wymierne postci: A (x ) n lub Ax + B (x 2 + px + q) n, gdzie p 2 4q < 0, n N, nzywmy ułmkmi prostymi. Kżd funkcję wymiern możn przestwić w postci sumy wielominu i skończonej ilości ułmków prostych. Uwg: Nie potrfimy wyrzić pewnych cłek z funkcji elementrnych przez funkcje elementrne. Przykłdy tkich cłek to: sin x x dx, dx ln x, e x2 dx. Cłk oznczon Niech, b R, < b, orz f : [, b] R. Podziłem Π n przedziłu [, b] jest dowolny tki cig (x 0, x,..., x n ), że = x 0 < x < < x n < x n = b. Liczbę (Π n ) = mx {i=,...,n} (x i x i ) nzywmy średnic podziłu Π n. Cig podziłów nzywmy normlnym wtedy i tylko wtedy, gdy lim n (Π n ) = 0. 4

15 Określmy doln i górn sumę cłkow (Drboux): L(f, Π n ) = n i= inf x [xi,x i ] f(x) (x i x i ), U(f, Π n ) = n i= sup x [xi,x i ] f(x) (x i x i ). Jeśli dl dowolnego normlnego cigu podziłów sumy L(f, Π n ), U(f, Π n ) zbiegj (gdy n ) do tej smej grnicy, to mówimy, że f jest cłkowln w sensie Riemnn w [, b] orz nzywmy t wspóln grnicę cłk oznczon f w [, b] i oznczmy b f(x) dx. Kls funkcji spełnijc powyższ definicję jest dość obszern: kżd funkcj cigł jest cłkowln (n przedzile ogrniczonym). kżd funkcj monotoniczn i ogrniczon jest cłkowln. funkcj ogrniczon n zwrtym przedzile [, b] jest cłkowln w sensie Riemnn, wtedy i tylko wtedy, gdy jest cigł prwie wszędzie (poz przeliczln liczb punktów). Do obliczni cłek oznczonych zwykle wykorzystujemy poniższy wzór. Twierdzenie (Wzór Newton-Leibnitz). Jeśli funkcj f : [, b] R jest cłkowln orz F : [, b] R R jest dowolną funkcją pierwotną f, to b Włsności cłki oznczonej b f(x) dx + f(x) dx = 0, f(x) dx = F (b) F (). c b Jeśli f jest cłkowln w [, b], to m(b ) b b f(x) dx = c f(x) dx = f(x) dx, b f(x) dx M(b ), f(x) dx. gdzie M = sup x [,b] f(x), m = inf x [,b] f(x). Twierdzenie o wrtości średniej: jeśli f jest cigł n [, b], to istnieje tkie c [, b], że b f(x) dx = f(c)(b ) ( f(c) = ) b f(x) dx. b Jeśli f jest cłkowln w [, b] R, to f jest tkże cłkowln w [, b] orz: b b f(x) dx f(x) dx. Dl cłek oznczonych mmy tkże nstępujce twierdzeni. 5

16 Twierdzenie (o cłkowniu przez części). Złóżmy, że f, g : [, b] R są klsy C. Wówczs b f(x)g (x) dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x) dx. Twierdzenie (o cłkowniu przez podstwienie). Jeśli funkcj f : [, b] R jest ciągł, funkcj φ: [α, β] n [, b] jest klsy C orz φ jest stłego znku w przedzile [α, β], to b f(x) dx = β α f(φ(t))φ (t) dt. Cłk jko pole powierzchni Jeśli f jest cigł i nieujemn n [, b], to cłk b f(x) dx jest równ polu powierzchni ogrniczonej przez: wykres y = f(x), oś x, pionowe proste x = orz x = b (w skrócie: polu pod wykresem f między i b). Długość krzywej Długość głdkiej krzywej: γ = {(x, y) : y = f(x), x [, b]}, gdzie f jest różniczkowln w (, b), możemy obliczyć jko: γ = b Ogólniej: krzyw w R n nzywmy zbiór + [f (x)] 2 dx. K = {(x (t),..., x n (t)) : t [α, β]}, gdzie x i : [α, β] R, i =,..., n, s funkcjmi cigłymi. Jeśli φ = (x,..., x n ) jest odwzorowniem różnowrtościowym n (α, β) orz n i= (x i(t)) 2 > 0, to K nzywmy łukiem głdkim, jego długość wyrż się wzorem: K = β α (x (t)) (x n(t)) 2 dt. Cłki niewłściwe b b f(x) dx = lim b f(x) dx = f(x) dx = lim b b lim b f(x) dx = lim b F (b) F (), f(x) dx = F (b) lim F (), f(x) dx = lim b F (b) lim F (). Uwg: osttni cłk nie jest tym smym co wrtość główn : t lim f(x) dx = lim (F (t) F ( t)). t t t 6

17 Jeśli c [, b] jest punktem niecigłości f, to b t b f(x) dx = lim f(x) dx + lim f(x) dx. t c t c + t Funkcj górnej grnicy cłkowni Niech f : [, b] R będzie funkcj cłkowln. Funkcję F : [, b] R zdefiniown wzorem F (x) = x f(t) dt nzywmy funkcj górnej grnicy cłkowni. Funkcj F jest cigł. Twierdzenie. Jeśli f jest ciągł w punkcie x 0 [, b], to funkcj F jest różniczkowln w punkcie x 0 orz F (x 0 ) = f(x 0 ). Cłk Riemnn-Stieltjes Niech f, g : [, b] R. Dl podziłu Π n definiujemy doln i górn sumę cłkow: L(f, g, Π n ) = n i= inf x [xi,x i ] f(x) (g(x i ) g(x i )), U(f, g, Π n ) = n i= sup x [xi,x i ] f(x) (g(x i ) g(x i )). Jeśli dl dowolnego normlnego cigu podziłów sumy L(f, g, Π n ), U(f, g, Π n ) zbiegj (gdy n ) do tej smej grnicy, nzywmy t grnicę cłk Riemnn-Stieltjes f względem g n [, b] i oznczmy b f(x) dg(x). Jeśli f jest cigł i g m ogrniczone whnie (jest różnic dwóch funkcji monotonicznych) to cłk istnieje. Mmy wzór n cłkownie przez części: b f(x) dg(x) = f(b)g(b) f()g() Jeśli g jest cigł i różniczkowln, to b f(x) dg(x) = b b f(x)g (x) dx. g(x) df(x). Jeśli f jest cigł w zbiorze liczb cłkowitych orz g(x) = x, to b f(x) dg(x) = b n= + f(n). 7