PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

Transkrypt

1 WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz wolny. Dziedziną funkcji jest zbiór R, wykresem - lini prost równoległ do osi OX, gdy 0 =, lbo przecinjąc oś OX, gdy. 0. Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tngensowi kąt α - kąt nchyleni prostej do osi OX. Wyrz wolny b jest rzędną punktu przecięci się wykresu z osią OY (rys.1) Rys.1 Przykłd 1. Nszkicowć wykres funkcji: ) y =, b) y = -4. Inne włsności funkcji liniowej 1. Funkcj liniow jest monotoniczn w cłej swojej dziedzinie: rosnąc gdy >0, mlejąc gdy <0 i stł gdy =0.. Funkcj liniow niestł przyjmuje kżdą wrtość rzeczywistą. 1

2 3. Funkcj liniow niestł rozptrywn w przedzile domkniętym osiąg wrtość njmniejszą n jednym, wrtość njwiększą n drugim końcu przedziłu. 4. Jeżeli funkcj jest liniow, to przyrost wrtości funkcji jest proporcjonlny do przyrostu jej rgumentu. Tkże n odwrót: jeżeli dziedziną funkcji jest R i przyrost wrtości funkcji jest proporcjonlny do przyrostu jej rgumentu, to funkcj jest liniow. Współczynnik proporcjonlności wynosi wtedy.. Funkcje kwdrtowe Funkcją kwdrtową (trójminem kwdrtowym) nzywmy funkcję określoną wzorem y b c, gdzie 0,b, c są dnymi liczbmi. Ten wzór możn zpisć w postci 4 4 b b b y b c c co pomg w bdniu funkcji Dziedziną funkcji jest zbiór R. Wykresem trójminu kwdrtowego jest prbol, której rmion (głęzie) skierowne są w górę, jeżeli >0, orz skierowne w dół, jeżeli <0. Osią symetrii prboli jest prost równoległ do osi OY i b przechodząc przez wierzchołek W, który m współrzędne w, y w f ( w), gdzie 4 oś OY w punkcie o rzędnej c (rys.5)., b 4c ozncz wyróżnik trójminu. Prbol przecin

3 Położenie prboli względem osi OX, związne jest z liczbą rozwiązń równni kwdrtowego b c 0 i zleży od wyróżnik Δ : 1. Gdy Δ>0 prbol przecin oś OX w punktch o odciętych stnowiących b b pierwistki tego równni: 1,. Trójmin kwdrtowy możn wtedy przedstwić w tzw. postci iloczynowej: y 1 ( )( ).. Gdy Δ=0 prbol dotyk swoim wierzchołkiem oś w punkcie o odciętej b stnowiącej tzw. pierwistek podwójny równni. Postcią iloczynową 0, trójminu jest wtedy: y ( ) Gdy Δ<0 prbol nie przecin osi, równnie kwdrtowe nie m pierwistków rzeczywistych. Przykłd. Nszkicowć wykresy funkcji: ) y 4 6, b) y 1, c) y 4 5. Przykłd 3. Podć postć iloczynową trójminów: ) y 8 6, b) y Przykłd 4. Wyznczyć pierwistki równni bez obliczni wyróżnik: ), b) Przykłd 5. Rozwiązć nierówność: ) 3 0,b) 4 0, c) Wielominy Wielominem stopni n nzywmy funkcję określoną wzorem n y W( ), n n 1 n1 1 0 gdzie n jest dną liczbą nturlną lub zerem, n 0, n 1,, 1, 0 są dnymi liczbmi rzeczywistymi zwnymi współczynnikmi wielominu. Dziedziną tej funkcji jest zbiór R. Kżdą liczbę, dl której W()=0 nzywmy pierwistkiem wielominu. Wielomin stopni n może posidć co njwyżej n pierwistków. Metody wyznczni pierwistków wielominu W() (pierwistków równni lgebricznego W()=0): 3

4 1. Metod sprowdzjąc wielomin do postci iloczynu czynników liniowych lub kwdrtowych o Δ>0. Wykorzystuje się w niej tzw. grupownie wyrzów i wzory skróconego mnożeni.. Metod polegjąc n "odgdywniu" pierwistków. Powołujemy się w niej n nstępujące twierdzenie: Pierwistkmi cłkowitymi wielominu o współczynnikch cłkowitych mogą być jedynie dzielniki wyrzu wolnego. 3. Metod "kombinown" łącząc obie powyższe i opierjąc się n twierdzeniu Bezout: Jeżeli liczb jest pierwistkiem wielominu W(), to wielomin możn przedstwić w postci W()=(-)*P(), gdzie P() jest wielominem otrzymnym przez podzielenie W() przez -. Pozostłymi pierwistkmi wielominu W() są wówczs pierwistki wielominu P(). 3 Przykłd 6. Rozwiązć równnie 0. 3 Przykłd 7. Rozwiązć równnie: Przykłd 8. Znleźć pierwistki wielominu W ( ) 3 4. Uwg. Jeżeli w rozkłdzie wielominu n czynniki liniowe lub kwdrtowe o 0<Δ czynnik występuje dokłdnie k rzy, to liczbę nzywmy pierwistkiem k- krotnym. Uwg. Kolejne kroki przy szkicowniu wykresu wielominu niezbędnego do znlezieni rozwiązń nierówności wielominowych (lgebricznych): 1. Nnosimy n oś OX wszystkie pierwistki wielominu (zznczjąc ich krotność).. Przez nniesione punkty prowdzimy linię tk, by - przecinł on oś w przypdku pierwistk nieprzystej krotności, - dotykł osi lecz jej nie przecinł w przypdku, gdy pierwistek jest przystej krotności. - leżł w przedzile powyżej osi OX, gdy współczynnik n jest dodtni ( m ; m ozncz njwiększy z pierwistków) i poniżej w przeciwnym przypdku. Przykłd 9. Rozwiązć nierówność:

5 4. Funkcje wymierne Funkcją wymierną nzywmy funkcję postci wielominmi. P ( ) y Q ( ) Dziedziną funkcji jest zbiór R \{ 1,,, }, gdzie 1 k, gdzie P() i Q() są,,, k są wszystkimi różnymi między sobą pierwistkmi wielominu Q(). Szczególnym przypdkiem funkcji wymiernej jest funkcj zwn funkcją homogrficzną. Jest to funkcj postci spełnijącymi wrunki: c 0, d bc 0. Dziedziną funkcji jest zbiór d R \ c b y c d której symptotmi są: symptotą poziomą - prost, gdzie, b, c, d są dnymi liczbmi, wykresem - krzyw zwn hiperbolą, y c (równnie to powstje przez podzielenie współczynników stojących przy zmiennej ), symptotą pionową - prost d (równnie to otrzymujemy przyrównując minownik do zer). Hiperbol jest c symetryczn względem punktu przecięci się symptot (rys.6.). Rys. 6. Przykłd 10. Nszkicowć wykres funkcji y Funkcje potęgowe 5

6 Funkcję postci potęgową. y, gdzie 0 jest dną liczb rzeczywistą, nzywmy funkcją Dziedzin tej funkcji i jej włsności zleżą od wykłdnik α. Jeżeli jest on liczbą nturlną (α=n), to dziedziną funkcji jest zbiór R, przy tym dl n przystych jest to funkcj przyst, dl nieprzystych - nieprzyst. Wykresy niektórych funkcji o wykłdnikch nturlnych przedstwione zostły n rys.7. Rys. 7. Funkcj postci 1 y n n, gdzie n jest liczb nturlną, jest dl nieprzystych n określon w zbiorze R, dl przystych - tylko w przedzile 0, ) - piszą też [0, ). N rys.8. przedstwione zostły dw wykresy funkcji tego typu. 6. Funkcje wykłdnicze Rys. 8 Funkcją wykłdniczą nzywmy funkcję postci rzeczywistą spełnijącą wrunek 0 1. Wykresy niektórych funkcji wykłdniczych przedstwione zostły n rys.9. y, gdzie jest dną liczbą 6

7 9. Rys. Dziedziną kżdej funkcji wykłdniczej jest zbiór R, przeciwdziedziną przedził (0; ). Funkcj jest monotoniczn: rosnąc gdy >1, mlejąc gdy <1 (jest więc funkcją różnowrtościową). Szczególnie wżną rolę w nlizie mtemtycznej odgryw funkcj e 3. Uwg. Konsekwencją monotoniczności funkcji wykłdniczych są nstępujące y e, gdzie równowżności, które wykorzystujemy przy rozwiązywniu równń i nierówności wykłdniczych: , dl 1, 1 dl 1. Równni lub nierówności, w których niewidom występuje tylko w wykłdniku potęgi nzywmy wykłdniczymi. Aby rozwiązć tkie równnie lbo nierówność nleży (wystrczy): 1. Przedstwić wyrżeni po obu stronch równni lub nierówności jko potęgi o tej smej podstwie.. Uwolnić się od podstw (zmienijąc znk nierówności w przypdku podstwy z przedziłu (0;1). 3. Rozwiązć otrzymne równnie lub nierówność. Przykłd 11. Rozwiązć równni lub nierówności: 7

8 ) , b) , c) 4 1, d) Funkcje logrytmiczne Logrytmem liczby dodtniej b przy podstwie, gdzie 0 1, nzywmy wykłdnik potęgi, do której nleży podnieść, by otrzymć b. Ztem przy powyższych złożenich log b c c b. Przykłd 1. Obliczyć wrtości logrytmów: ) log 3, b) log, c) 1 log3 9, d) log 1. Włsności logrytmów 1. Kżdą liczbę t możn zmienić n logrytm o dnej podstwie, (0< 1) korzystjąc z zleżności: t t log.. Kżdą liczbę dodtnią m możn przedstwić w postci potęgi o dnej podstwie, (0< 1) m log m. 3. Dl dowolnych liczb dodtnich, y i dowolnego n przy dnej podstwie, 0< 1, zchodzą wzory: b ) log ( y) log log y, b) log log log y, c)log blog. y Funkcją logrytmiczną nzywmy funkcję postci y log, gdzie jest dną liczbą zwną podstwą, spełnijącą wrunek 0< 1. Wykresy niektórych funkcji logrytmicznych przedstwione zostły n rys.10. 8

9 Rys. 10. Dziedziną kżdej funkcji logrytmicznej jest przedził (0; ), zbiorem wrtości zbiór R. Funkcj jest monotoniczn: rosnąc gdy >1, mlejąc gdy <1 (w obu przypdkch jest więc różnowrtościow). Uwg. Konsekwencją monotoniczności funkcji logrytmicznej są nstępujące równowżności, zchodzące dl dodtnich rgumentów, wykorzystywne przy rozwiązywniu równń i nierówności logrytmicznych: log log. log log dl 1, dl Równni lub nierówności, w których niewidom występuje tylko w wyrżenich logrytmownych nzywmy logrytmicznymi. Aby rozwiązć tkie równnie lub nierówność nleży (wystrczy): 1. Wyznczyć dziedzinę równni lub nierówności zkłdjąc, że wszystkie wyrżeni logrytmowne zwierjące niewidomą są dodtnie.. Obie strony zpisć w postci logrytmów o identycznych podstwch (wykorzystując włsność 1.). 3. Uwolnić się od logrytmów zmienijąc ewentulnie znk w przypdku nierówności i podstwy z przedziłu (0;1). 4. Rozwiązć otrzymne równnie lub nierówność, nstępnie odrzucić rozwiązni nie nleżące do dziedziny. Przykłd 13. Rozwiązć równni lub nierówności: ) log ( ) 3, b). 9

10 Przykłd 14. Wyznczyć w postci y f 1 ( ) funkcję odwrotną do y f ( ). Nszkicowć wykresy obu funkcji: ) f( ) 3, b) f ( ) log ( ). 8. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne Niech ozncz mirę kąt skierownego TOM n płszczyźnie TOY (rys.11.). Rys. 11. Funkcje trygonometryczne określmy wtedy nstępująco: sin y, cos t, tg y, ctg t. r r t y Wykresy funkcji trygonometrycznych przedstwione zostły n rys.1. Rys. 1. Dziedziną funkcji sinus i cosinus jest zbiór R. Funkcje te są ogrniczone, bowiem dl kżdego R mmy: 1 sin 1 orz 1 cos 1. Funkcj tngens określon jest n przedziłch k1 k1 ; - n przedziłch k;( k 1), gdzie k jest dowolną liczbą cłkowitą., funkcj cotngens 10

11 Funkcje trygonometryczne są okresowe. Okresem podstwowym funkcji sinus i cosinus jest liczb π, co ozncz, że dl kżdego R sin( ) sin, cos( ) cos. zchodzą wrunki: Okresem podstwowym funkcji tngens i cotngens jest liczb π. Ozncz to, że dl pochodzących z odpowiedniego zbioru mmy: tg( ) tg, ctg( ) ctg. Funkcj cosinus jest przyst, tzn. cos( ) cos dl kżdego R. Pozostłe funkcje trygonometryczne są nieprzyste, tzn. dl odpowiednich zchodzą wzory: sin( ) sin, tg( ) tg, ctg( ) ctg. Funkcje trygonometryczne y sin, y cos( ), y tg( ), y ctg. nie są funkcjmi różnowrtościowymi w swoich nturlnych dziedzinch. Są jednk różnowrtościowe odpowiednio n zbiorch: ich przeciwdziedzinmi są odpowiednio: ;, [0; ], ;, (0; ) 1;1, 1;1, R, R. Dl tk zwężonych funkcji trygonometrycznych istnieją więc funkcje odwrotne. Funkcje te nzywmy funkcjmi cyklometrycznymi odpowiednio: rcus sinus, rcus cosinus, rcus tngens, rcus cotngens. Mmy ztem y rcsin sin y, y rccos cos y, y rctg tg y, y rcctg ctg y. Przykłd 15. Obliczyć: ) 3 rcsin, b) rcsin( 1) c) 1 rccos, d) rctg 3. Wykresy funkcji cyklometrycznych przedstwione zostły n rys

12 ) Rys. 13. Złożeniem funkcji y g ( u) i u f ( ) nzywmy funkcję (złożoną) y g ( f ( )). N przykłd, y g( u) u, u f ( ) i, 0, y g ( f ( )), 0. Uwg. Funkcje, które możn otrzymć z funkcji stłych, wielominów, funkcji potęgowych, wykłdniczych, logrytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych wykonując skończoną liczbę dziłń typu: dodwnie, odejmownie, mnożenie, dzielenie orz opercji złożeni funkcji nzywmy funkcjmi elementrnymi. Funkcj błędu Guss funkcj nieelementrn, któr występuje w rchunku prwdopodobieństw, sttystyce orz w teorii równń różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniown jko 1

13 13