Analiza Matematyczna (część II)

Transkrypt

1 Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku

2 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj (funkcj pierwotn) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f, określonej n przedzile otwrtym, jeżeli: F () = f(). Uwg Jeżeli f jest określon n przedzile domkniętym <,b>, to F nzywmy pierwotną f, jeżeli: <,b> F () = f(), F +() = f(), F (b) = f(b). Twierdzenie Jeżeli dwie funkcje F i G są funkcjmi pierwotnymi f w przedzile (,b) lub <,b>, to: F () = G() + const. Definicj (cłk nieoznczon) Cłką nieoznczoną funkcji f nzywmy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f. Cłkę nieoznczoną oznczmy symbolem: f()d. Twierdzenie Kżd funkcj ciągł w przedzile b posid w tym przedzile funkcję pierwotną. 1.2 Ogólne wzory n cłkownie. Zkłdmy że funkcje f i g są ciągłe. Twierdzenie (ddytywność cłki) Cłk nieoznczon jest ddytywn, tzn. [f() + g()]d = f()d + g()d. Twierdzenie (jednorodność cłki) Zchodzi wzór: f()d = f()d, co ozncz, że cłk nieoznczon jest jednorodn. Wniosek: Powyższe dw twierdzeni pozwlją trktowć cłkę jk przeksztłcenie liniowe. Twierdzenie (cłkownie przez części) Zchodzi wzór: f()g ()d = f()g() f ()g()d o ile f i g są ciągłe. Twierdzenie (cłkownie przez podstwienie) g(f())f ()d = g(y)dy. Przy czym po wyznczeniu prwej strony równości nleży podstwić y = f(). 1

3 1.3 Cłk Riemnn. Niech f : <,b> R będzie funkcją ogrniczoną (niekoniecznie ciągłą). Zbiór punktów: P = {, 1,..., n }, gdzie = n = b, nzywmy podziłem przedziłu <,b>. Niech: m i = inf{f() : < i 1, i >} M i = sup{f() : < i 1, i >} i = i i 1 Definicj (sum doln i sum górn) Sumą dolną s(f, P ) (odpowiednio sumą górną S(f, P )) funkcji f dl podziłu P nzywmy liczbę: ( s(f, P ) = S(f, P ) = n m i i, i=1 ) n M i i. i=1 Fkt Jeżeli m i = inf{f() : < i 1, i >} i M i = sup{f() : < i 1, i >}, to dl dowolnego podziłu P: m(b ) s(f, P ) S(f, P ) M(b ), gdzie: m = inf{f() : <, b >}, M = sup{f() : <, b >}. Uwg Z osttniego fktu wynik, że sumy dolne i górne są ogrniczone dl dowolnego podziłu. Definicj (cłk doln i górn) Cłką dolną (cłką górną) Riemnn funkcji f n przedzile <,b> nzywmy liczby: f()d = sup{s(f, P ) : P - podził przedziłu <, b >} f()d = inf{s(f, P ) : P - podził przedziłu <, b >} Definicj (funkcj cłkowln w sensie Riemnn) Funkcj f jest cłkowln w sensie Riemnn n przedzile <,b> (krótko: f R) jeżeli cłk doln jest równ cłce górnej. Wspólną wrtość obu tych cłek nzywmy cłką Riemnn funkcji f n przedzile <,b> i oznczmy symbolem: f()d. 2

4 Definicj (zgęszczenie podziłu) Mówimy, że podził P jest zgęszczeniem podziłu P, jeżeli P P. Jeżeli dne są dw podziły P 1 i P 2, to ich wspólnym zgęszczeniem nzywmy podził P 1 P 2. Twierdzenie Jeżeli P* jest zgęszczeniem podziłu P, to: s(f, P ) s(f, P ) S(f, P ) S(f, P ) Twierdzenie Zchodzi nierówność: f()d f()d. Twierdzenie (kryterium cłkowlności w sensie Riemnn) Funkcj f jest cłkowln w sensie Riemnn n przedzile <,b> wtedy i tylko wtedy, gdy: ε> P S(f, P ) s(f, P ) < ε Twierdzenie Jeżeli funkcj f :<,b> R jest ciągł, to jest cłkowln w sensie Riemnn n tym przedzile. Uwg Podobnie możn pokzć, że jeżeli funkcj f jest monotoniczn n <,b> lub ogrniczon i m skończoną ilość punktów nieciągłości w <,b> to funkcj f jest cłkowln w sensie Riemnn n <,b>. 1.4 Włsności cłki Riemnn Twierdzenie Kilk podstwowych włsności cłki Riemnn (por. z włsnościmi cłki nieoznczonej): 1. Jeśli f i g R to f g R orz c f R. Pondto cłk Riemnn jest liniow, tzn: f() + g()d = cf()d = c 2. Jeżeli f, g R orz f() g(), to f()d + f()d f()d g()d g()d Twierdzenie (o podzile przedziłu cłkowni) Jeżeli f jest cłkowln w sensie Riemnn n <,b> orz < c < b, to f jest cłkowln w sensie Riemnn n <,c> i <c,b> orz: f()d = c f()d + c f()d 3

5 Twierdzenie (o wrtości średniej) Jeżeli funkcj f jest ciągł w przedzile <,b>, to istnieje punkt c <,b> tki, że: Uwg Liczbę 1 b f w przedzile <,b>. f(c) = 1 f()d. b f()d nzywmy wrtością średnią cłkową funkcji Uwg Wzór n wrtość średnią możemy też zpisć: 1 b f()d = f( + θ(b )) θ <, 1 > b Twierdzenie (podstwowe twierdzenie rchunku różniczkowego i cłkowego) Jeżeli funkcj f :<,b> R jest ciągł, to funkcj G:<,b> R dn wzorem: G() = f(t)dt zwn funkcją górnej grnicy cłkowni jest różniczkowln w przedzile <,b>, pondto: G () = f() G +() = f() G () = f(b) Wniosek Kżd funkcj ciągł m funkcję pierwotną. Twierdzenie (o ciągłości funkcji górnej grnicy cłkowni) Jeżeli f R n <,b>, to funkcj górnej grnicy cłkowni G :<,b> R, G() = f(t)dt jest ciągł. Twierdzenie Jeżeli funkcj f jest ciągł w <,b> orz F jest dowolną pierwotną funkcji f, to zchodzi wzór: 1.5 Cłki niewłściwe f()d = F (b) F () Cłki o nieogrniczonym przedzile cłkowni. Niech dn będzie funkcj ciągł f :<, ) R. Wówczs dl kżdego istnieje cłk f(t)dt. 4

6 Definicj (cłk niewłściw pierwszego rodzju) Niech G() = f(t)dt. Jeżeli istnieje G(), to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą (pierwszego rodzju) i oznczmy f()d. Mówimy, że cłk niewłściw jest zbieżn jeżeli grnic t jest skończon. Uwg Anlogicznie określmy: f()d = f()d = f()d + f(t)dt f()d Uwg Zchodzi wzór: pierwotn f. f()d = F () + F () gdzie F - dowoln Cłki nieokreślone w jednym punkcie Niech dn będzie funkcj f :<,b) R ciągł. Dl kżdego <, b) istnieje cłk f(t)dt. Definicj (cłk niewłściw drugiego rodzju) Jeżeli istnieje grnic f(t)dt to grnicę tą nzywmy cłką niewłściwą (drugiego rodzju) b i oznczmy: niewłściw jest skończon. f()d. Jeżeli grnic t jest skończon, to mówimy, że cłk Uwg Tk smo określmy cłkę z funkcji f : (,b> R i f : (,b) R Zleżność pomiędzy zbieżnością szeregu liczbowego i cłki niewłściwej. Twierdzenie (Cuchy ego - Mclurin) Niech dl funkcj f będzie ciągł, mlejąc i nieujemn. Wówczs: cłk f()d jest zbieżn wtedy i tylko wtedy, gdy szereg liczbowy f( + n) jest zbieżny. Uwg Twierdzenie to dje cłkowe kryterium zbieżności szeregów liczbowych. 5

7 2 Teori szeregów Fourier 2.1 Widomości wstępne. Fkt cos nd = = sin nd Twierdzenie (Riemnn) Jeżeli funkcj f jest ciągł w przedzile <,b>, to: f() cos nd = = f() sin nd Dw twierdzeni o wrtości średniej dl cłek. Twierdzenie Niech dne będą dwie funkcje f i g ciągłe w przedzile domkniętym <,b>. Niech przy tym funkcj g m stły znk. Wówczs istnieje ξ <,b> tkie, że: f()g()d = f(ξ) g()d Twierdzenie Jeżeli funkcj f jest ciągł, funkcj g monotoniczn i m ciągłą pochodną w przedzile <,b> to istnieje ξ <,b> tkie, że: ξ f()g()d = g() f()d + g(b) ξ f()d Zbieżność cłki niewłściwej Twierdzenie (Wrunek Cuchy ego zbieżności cłki niewłściwej) N to, by cłk f()d był zbieżn (do grnicy skończonej) potrzeb i wystrcz, by: ε> r r<< f(t)dt < ε Twierdzenie Uwg Cłk sin d = π 2 sin d jest zbieżn, le nie jest bezwzględnie zbieżn. 6

8 2.2 Cłk Dirichlet. Definicj Cłką Dirichlet nzywmy cłkę D n = sin n f() d, gdzie jest dowolną liczbą dodtnią, f jest funkcją cłkowlną w przedzile <,>. Twierdzenie (Dirichlet) Jeżeli funkcj f jest monotoniczn i f jest ciągł w przedzile <,>, to: f() sin n d = π 2 f() Lemt Wniosek z lemtu: M> h> n N sin n h sin n d 2M d M Uwg Twierdzenie Dirichlet pozostje prwdziwe, gdy zstąpić złożenie ciągłość f i monotoniczność fprzez złożenie słbsze: funkcj f jest przedziłmi ciągł wrz z pochodną i przedziłmi monotoniczn. Inczej: f jest ciągł przedziłmi i monotoniczn przedziłmi. Uwg (uogólnione twierdzenie Dirichlet) Jeżeli funkcj f jest przedziłmi ciągł wrz z pochodną i monotoniczn, to: f() sin n d = π f(+), gdzie f(+) = 2 f() + Wniosek z uwgi: Jeżeli funkcj f jest, jk poprzednio, przedziłmi ciągł wrz z pochodną i przedziłmi monotoniczn, to: sin n f() sin d = π f(+), dl < < π Cłkownie szeregów funkcyjnych. Twierdzenie Jeżeli szereg funkcyjny f n jest jednostjnie zbieżny w przedzile <,b> do funkcji f i funkcje f n są w tym przedzile cłkowlne, to sum f też jest cłkowln i zchodzi wzór: f()d = f n ()d = f n ()d 7

9 2.4 Szeregi Trygonometryczne Definicj (szeregu trygonomterycznego) Szeregiem trygonometrycznym nzywmy szereg funkcyjny postci: ( n cos n + b n sin n), gdzie n i b n - stłe. Uwg Jeżeli powyższy szereg jest zbieżny w przedzile <, π > to jest zbieżny dl wszystkich R i jego sum f() jest funkcją okresową o okresie T = 2π, tzn: f( + 2π) = f(). Definicj (funkcje ortogonlne) Mówimy, że dwie funkcje f() i g() cłkowlne w przedzile <, b > są ortogonlne w tym przedzile, jeżeli:. Fkt Kżde dwie różne funkcje ciągu: 1, cos, sin, cos 2, sin 2,..., cos n, sin n,... są ortogonlne w przedzile <, π >. f()g()d = Uwg sin 2 nd = cos 2 nd = π Twierdzenie (wzory Euler-Fourier) Jeżeli szereg ( n cos n + b n sin n) jest jednostjnie zbieżny w przedzile <, π > do sumy f(), to współczynniki n i b n wyrżją się dl n = 1, 2,... wzormi: n = 1 π f() cos nd i b n = 1 π = 1 π f()d f() sin nd. Uwg Liczby n i b n określone powyższymi wzormi nzywmy współczynnikmi Fourier funkcji f(). 2.5 Szeregi Fourier Niech f() będzie funkcją cłkowlną w przedzile <, π >. Wówczs możn π π obliczyć współczynniki: n = 1 π f() cos nd i b n = 1 π f() sin nd, orz zbudowć szereg trygonometryczny: ( n cos n + b n sin n). 8

10 Definicj (szereg Fourier) Szereg trygonometryczny o tk dobrnych (jk powyżej) współczynnikch nzywmy Szeregiem Fourier funkcji f(). Co notujemy:f() ( n cos n + b n sin n). Uwg Z definicji nie wynik, by powyższy szereg musiłby być zbieżny, jeśli nwet jest zbieżny, to nie znczy, by jego sum był równ f(). Inczej mówiąc, bez dodtkowych złożeń co do funkcji f nic nie możn powiedzieć n temt zbieżności szeregu Fourier funkcj f(). Twierdzenie (podstwowe twierdzenie teorii szeregów Fourier) Jeżeli funkcj f jest: 1. Okresow o okresie 2π, 2. Przedziłmi ciągł wrz z pochodną, 3. Przedziłmi monotoniczn, to Szereg Fourier funkcji f jest zbieżny punktowo: 1. w punktch ciągłości f do f(), tzn: ( n cos n + b n sin n) = f(), 2. w punktch nieciągłości funkcji f do f(+)+f( ) 2, tzn: 1 2 f( + ) + f( ) + ( n cos n + b n sin n) =. 2 Uwg Powyższe twierdznie możn sformuowć krócej, w nstępujący sposób. Szereg Fourier funkcji okresowej o okresie 2π, przedziłmi ciągłej (wrz z pochodną) i przedziłmi monotonicznej jest zbieżny w kżdym punkcie i m sumę f(+)+f( ) 2 (co równe się f( ) w punktch ciągłości funkcji). Twierdzenie Złóżmy, że funkcj f() jest określon n cłej osi liczbowej, okresow, o okresie 2π i cłkowln w przedzile <, π >. Jeżeli f() jest funkcją przystą, to jej Szereg Fourier jest szeregiem cosinusowym, tj. m wszystkie współczynniki b n równe. A jeżeli f() jest funkcją nieprzystą, to jej Szereg Fourier jest szeregiem sinusowym, tj. m wszystkie współczynniki n równe. Twierdzenie (zsd loklizcji Riemnn) Zchownie się Szeregu Fourier funkcji f w pewnym punkcie zleży tylko od wrtości funkcji f w dowolnie młym otoczeniu (, + ) punktu. Twierdzenie (wzór Leibniz) ( 1) n 1 2n 1 = π 4 Twierdzenie (wzór Euler) 1 n 2 = π2 6 9

11 2.6 Zbieżność podług średnich rytmetycznych Niech σ n ozncz ciąg średnich rytmetycznych ciągu S n (). Twierdzenie (Fejer) Szereg Fourier funkcji f() ciągłej w przedzile <, π > i okresowej o okresie 2π jest w tym przedzile jednostjnie zbieżny podług średnich rytmetycznych do funkcji f() tzn: 3 Szeregi ortogonlne σ n f() Definicj 3..1 Ciąg funkcji ϕ, ϕ 1,..., ϕ n,... określonych i ciągłych w przedzile <,b> nzywmy ukłdem ortogonlnym, jeżeli: { ϕ i ()ϕ k ()d = Definicj 3..2 (norm funkcji) Liczb N k = ϕ 2 k ()d nzywmy normą funkcji ϕ k. dl i k Nk 2 > dl i = k Jeżeli wszystkie N k = 1, to ukłd nzywmy ortonormlnym. Uwg 3..1 Kżdy ukłd ortogonlny możn unormowć dzieląc funkcję ϕ k () przez stłą N k. To znczy: jeżeli ukłd ϕ, ϕ 1,..., ϕ k,... jest ortogonlny, to ukłd ϕ N, ϕ1 N 1,..., ϕ k N k,... jest ukłdem ortonormlnym. Definicj 3..3 Liczby C m = C m (f) nzywmy skłdowymi funkcji f() względem ukłdu ortogonlnego {ϕ n } n=. Definicj 3..4 Szereg funkcyjny C m ϕ m () nzywmy szeregiem ortogonlnym odpowidjącym funkcji f() i ukłdowi {ϕ n } n=, co zpisujemy: f() C m ϕ m (). Twierdzenie 3..2 (nierówność Bessel) n Cm 2 f 2 ()d dl n =, 1, 2,... Wniosek: Szereg Cn 2 jest zbieżny, jeśli f jest cłkowln z kwdrtem. n= 1

12 Wniosek z wniosku: N mocy wrunku koniecznego zbieżności szeregów liczbowych mmy: C n =. Wniosek ten pozwl udowdnić poznne już wcześniej twierdzenie Riemnn dl szerszej klsy funkcji (wystrczy złożenie, że f jest cłkowln z kwdrtem). Twierdzenie 3..3 (Riemnn) Jeżeli funkcj jest cłkowln z kwdrtem w <, π >, to f() cos nd = = Definicj 3..5 Mówimy, że szereg do funkcji f() w przedzile <,b> jeżeli: f() sin nd. C m ϕ m jest zbieżny średniokwdrtowo [f() Twierdzenie 3..4 (równość Prsevl) Szereg C m ϕ m jest zbieżny średniokwdrtowo do f wtedy i tylko wtedy gdy: Cm 2 = f 2 ()d n C m ϕ m ()] 2 d =. Definicj 3..6 (ukłd ortogonlny zupełny) Ukłd ortogonlny {ϕ n } n= nzywmy zupełnym, jeżeli dl kżdej funkcji ciągłej f() w przedzile <,b> jej szereg C 2 m = C m ϕ m () jest zbieżny średniokwdrtowo do f() (lub równowżnie f 2 ()d). Twierdzenie 3..5 Jeżeli ukłąd ortogonlny {ϕ n } n= jest zupełny, to kżde dwie funkcje ciągłe f i g mjące te sme skłdowe są identyczne (tzn: n C n (f) = C n (g) f = g). Uwg 3..2 Ukłd ortogonlny zupełny przestje być zupełny, jeżeli odrzucimy z niego choć jedną funkcję. 11