Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

Transkrypt

1 Mtemtyk II Bezpieczeństwo jądrowe i ochron rdiologiczn Semestr letni 2018/2019 Wykłd 1

2 Zsdy współprcy przypomnienie Wykłdy są nieobowiązkowe, le Egzmin: pytni teoretyczne z łtwymi ćwiczenimi (będzie list) orz zdni z dwóch zestwów (około 30 zdń łącznie). Zchęcm do pytń, przychodzeni n konsultcje (termin będzie podny wkrótce).

3 Objętość bryły obrotowej cz.1 Twierdzenie Niech f będzie nieujemną funkcją ciągłą n przedzile <, b >. Niech T ozncz trpez krzywoliniowy ogrniczony wykresem funkcji f, prostymi x =, x = b orz osią Ox. Wtedy objętość bryły powstłej z obrotu trpezu T wokół osi Ox wyrż się wzorem π b f 2 x dx.

4 Objętość bryły obrotowej cz.2 Twierdzenie Niech f będzie nieujemną funkcją ciągłą n przedzile <, b >, 0. Niech T ozncz trpez krzywoliniowy ogrniczony wykresem funkcji f, prostymi x =, x = b orz osią Ox. Wtedy objętość bryły powstłej z obrotu trpezu T wokół osi Oy wyrż się wzorem 2π b xf(x)dx.

5 Pole powierzchni objętość Twierdzenie Niech S(x), gdzie x <, b > ozncz pole przekroju bryły płszczyzną prostopdłą do osi Ox w punkcie x orz niech funkcj S(x) będzie ciągł n przedzile <, b >. Wtedy objętość bryły wyrż się wzorem b S x dx.

6 Wzór n objętość kuli r r π r 2 x 2 dx = 4 3 πr3

7 Pole powierzchni bryły obrotowej Twierdzenie Niech funkcj nieujemn f m ciągłą pochodną n przedzile <, b >. Wtedy pole powierzchni powstłej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi Ox wyrż się wzorem b 2π f(x) 1 + (f x ) 2 dx.

8 Pole powierzchni kuli Przykłd Obliczymy pole powierzchni kuli o promieniu r. Rysunek pole = r 0 2 2π r 2 x x r 2 x 2 2 dx = = 4πr 2

9 Zstosowni cłek w fizyce Drog Jeśli punkt mterilny porusz się po płszczyźnie lub w przestrzeni ze zmienną prędkością v(t), gdzie t <, b >, to długość drogi przebytej w czsie od do b jest równ b v t dt. Rysunek Prc Złóżmy, że równolegle do osi Ox dził zmienn sił F(x). Prc wykonn przez tę siłę od punktu x = do punktu x = b wyrż się wzorem b F x dx. Rysunek

10 Cłki niewłściwe przedził nieogrniczony Rozptrujemy funkcje ciągłe określone n zbiorch <, ), (, >. Cłkę f x dx określ się w nstępujący sposób: f x dx = lim t f x dx. Jeśli t grnic istnieje, to mówimy, że cłk f x dx jest zbieżn, w przeciwnym przypdku mówimy, że cłk jest rozbieżn. 1 dx = lim t 1 x t dx = lim t x t ln x = lim t ln t = 1 t 1 x 2 t x 1 t 1 1 x 2 t 1 1 = lim 1 t t 1 = t

11 Cłki niewłściwe przedził ogrniczony Rozptrujemy funkcje określone n przedzile <, b >, przy czym w którymś z końców funkcj jest nieokreślon lub nieciągł. Skoncentrujemy się n przypdku, gdy zburzenie m miejsce w lewym końcu przedziłu, tzn. w punkcie. Cłkę b f x dx b f x dx określ się w nstępujący sposób: = lim t + f x dx. 1 1 dx = lim 1 1 x 2 t 0 + dx = lim x 2 t 0 + x t 1 t = lim 1 t = t 1 1 dx = lim 1 1 x t 0 + dx = lim 1 x t 0 +2 x 0 t t = lim t t = 2 t b

12 Mtemtyk II Bezpieczeństwo jądrowe i ochron rdiologiczn Semestr letni 2018/2019 Ćwiczeni 1

13 Zsdy współprcy Tylko jedn nieobecność nieusprwiedliwion. Usprwiedliwieni n pierwszych ćwiczenich po nieobecności. Kolokwium nr 1 z cłek pojedynczych 25 mrc (w czsie wykłdu). Kolokwium nr 2 w mju (15-go). Listy zdń do kolokwium i do egzminu będą pojwić się sukcesywnie. N kolokwich i egzminie mogą pojwić się zdni z ćwiczeń.

14 Zstosowni cłek drog Dwie cząstki elementrne położone w odległości 36 zczynją się zbliżć do siebie z prędkościmi v 1 t = 10t + t 3, v 2 t = 6t, gdzie t 0. Po jkim czsie nstąpi zderzenie tych cząstek?

15 Zstosowni cłek prc Młp o msie 2.5kg wspin się po zwisjącej jednorodnej linie długości 9m, przy czym ms 30 cm liny wynosi 10 dg. Jką prcę musi wykonć młp, by wspiąć się n koniec liny?

16 Zstosowni cłek geometri Korzystjąc z odpowiednich twierdzeń o cłkch oznczonych, wyprowdź wzory n: objętość prostopdłościnu, objętość kuli, pole powierzchni kuli.

17 Zstosowni cłek geometri Wyprowdź wzór n objętość ostrosłup prwidłowego o wysokości H i podstwie kwdrtowej o boku. h H x d Sqrt(2)

18 Pole powierzchni bryły obrotowej Oblicz pole powierzchni bryły obrotowej, któr powstje z obrotu wykresu funkcji f: < 0,15 > R, f x = 2 15 x, wokół osi Ox.

19 Zdnie domowe Oblicz pole powierzchni bryły obrotowej, któr powstje z obrotu wykresu funkcji f: < 0,1 > R, f x = x 3, wokół osi Ox. Sprężyn m nturlną długość 10 cli i by ją rozciągnąć o pół cl trzeb użyć siły o wielkości 6 kg. Oblicz jką prcę nleży wykonć, by tę 10- clową sprężynę rozciągnąć do 18 cli. Cłki niewłściwe.