III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

Transkrypt

1 III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, jeżeli dl kżdego x I F (x) = f(x). Twierdzenie 1.2. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I. Wówczs: (i) funkcj F (x) + C, gdzie C R jest dowolną stłą (stłą cłkowni) jest tkże funkcją pierwotną funkcji f n I, (ii) kżd funkcj pierwotn funkcji f n I może być przedstwion w postci F (x) + C, gdzie C R. Twierdzenie 1.3. (wrunek dostteczny istnieni funkcji pierwotnej) Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile I, to m n tym przedzile funkcję pierwotną. 1

2 Definicj 1.4. (cłki nieoznczonej) Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I. Cłką nieoznczoną funkcji f n I nzywmy rodzinę funkcji F (x)+c, gdzie C R i oznczmy przez f(x) dx, tzn. f(x) dx = F (x) + C F (x) = f(x). Znlezienie wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nzyw się jej cłkowniem. W wyrżeniu f(x) dx funkcję f nzyw się funkcją podcłkową. Przykłd 3.1. ( ) x 2 dx = x3 3 + C, bo x C = x 2, e x dx = e x + C, bo (e x + C) = e x. Z definicji wynikją nstępujące włsności cłki nieoznczonej: Fkt 1.5. (i) ( f(x) dx ) = f(x), (ii) f (x) dx = f(x) + C, C R, (iii) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, (iv) c f(x) dx = c f(x) dx. 2

3 Cłki nieoznczone wżniejszych funkcji elementrnych (1) 0 dx = C, x R; (2) x n dx = xn+1 n+1 (3) x p dx = xp+1 p+1 + C, n N {0}, x R; + C, p { 2, 3, 4,...}, x R \ {0}; (4) x α dx = xα+1 α+1 α; + C, α R \ Z, zkres zmienności x zleży od wrtości (5) 1 x dx = ln x + C, x R \ {0}; (6) x dx = x ln + C, 0 < 1, x R; (7) e x dx = e x + C, x R; (8) sin x dx = cos x + C, x R; (9) cos x dx = sin x + C, x R; (10) 1 dx = ctg x + C, x (kπ, π + kπ), k Z; sin 2 x (11) 1 cos 2 x dx = tg x + C, x ( π 2 + kπ, π 2 (12) 1 1+x 2 dx = rc tg x + C, x R; (13) 1 1 x 2 dx = rc sin +C, x ( 1, 1). + kπ), k Z; Przykłdy

4 Twierdzenie 1.6. (wzór n cłkownie przez części) Zkłdmy, że funkcje f i g mją ciągłe pochodne. Wówczs f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx. Przykłdy 3.3. Twierdzenie 1.7. (cłkownie przez podstwienie) Zkłdmy, że funkcj f : I R jest ciągł n przedzile I, funkcj ϕ : J I m ciągłą pochodną n przedzile J. Niech x = ϕ(t). Wówczs f(x) dx = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Przykłdy

5 2. Cłkownie niektórych kls funkcji Cłkownie funkcji wymiernych. Definicj 2.1. (funkcji wymiernej włściwej) Funkcję wymierną W (x) = P n(x) Q m (x) nzywmy włściwą, jeżeli n < m. Fkt 2.2. Kżdą funkcję wymierną niewłściwą możn zpisć w postci sumy wielominu i funkcji wymiernej włściwej. Przykłd 3.5. x 2 +x+1 x 2 = 1 + x+1 x 2. Definicj 2.3. (ułmków prostych) Funkcję wymierną włściwą postci A (x + ) n, gdzie n N, A, R nzywmy ułmkiem prostym I-go rodzju. Funkcję wymierną włściwą postci Bx + c (x 2 + px + q) n, gdzie n N, p, q, B, C R, przy czym = p 2 4q < 0 nzywmy ułmkiem prostym II-go rodzju. 5

6 Fkt 2.4. (rozkłd funkcji wymiernej n ułmki proste) Kżd funkcj wymiern włściw jest sumą ułmków prostych. Funkcj wymiern włściw postci P (x) n (x x 1 ) k 1 (x x2 ) k 2...(x xr ) k r (x2 + p 1 x + q 1 ) l 1 (x2 + p 2 x + q 2 ) l 2...(x2 + p s x + q s ) l s jest sumą k 1 + k k r ułmków prostych I-go rodzju orz l 1 + l l s ułmków prostych II-go rodzju, przy czym - czynnikowi (x x i ) k i odpowid sum k i ułmków prostych I-go rodzju postci A i1 + A i2 x x i (x x i ) A ik i, 1 i r; 2 (x x i ) k i - czynnikowi (x 2 + p j x + q j ) l j odpowid sum l j ułmków prostych II-go rodzju postci B j1 x + C j1 x 2 + p j x + q j + B j2x + C j2 (x 2 + p j x + q j ) B jl j x + C jlj (x 2 + p j x + q j ) l j, 1 j s, gdzie A i1, A i2,..., A iki, B j1, B j2,..., B jlj, C j1, C j2,..., C jlj R. Przykłd 3.6. x + 1 x 3 (x 5) 2 (x 1)(x 2 + 4) = A 2 x + B C D x 2+ x 3+ x 5 + E F (x 5) 2+ x 1 +x + b x cx + d (x 2 + 4) 2 W celu znlezieni współczynników A, B, CD, E, F,, b, c, d nleży pomnożyć powyższą równość przez minownik x 3 (x 5) 2 (x 1)(x 2 + 4) 2. Otrzymmy równość dwóch wielominów. Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgch zmiennej x po obu stronch tej równości, dostniemy ukłd wrunków, z którego wyznczymy szukne współczynniki. 6

7 Algorytm cłkowni funkcji wymiernych. (Krok 1.) Funkcję wymierną niewłściwą zpisujemy w postci sumy wielominu i funkcji wymiernej włściwej. (Krok 2.) Minownik funkcji wymiernej włściwej rozkłdmy n czynniki liniowe x x i orz kwdrtowe x 2 + px + q, gdzie = p 2 4q < 0. (Krok 3.) Rozkłdmy funkcję wymierną włściwą n ułmki proste. (Krok 4.) Obliczmy cłki z ułmków prostych korzystjąc m.in. z poniższych wzorów: (1.1) A x+ dx = A ln x + + C, (1.2) A A (x+) dx = n (n 1)(x+) + C, n 2, n 1 (1.3) dx (x ) n dx = x (1.4) Bx+C (x 2 +px+q) n dx = B 2 Cłkę obliczmy przez podstwienie 2(n 1) 2 (x ) + 2n 3 n 1 2(n 1) 2 2x+C (x 2 +px+q) n dx + ( C Bp 2 2x + C (x 2 + px + q) n dx x 2 + px + q = t. dx (x ) dx, > 0, n 2. n 1 ) dx (x 2 +px+q). n Cłkę dx (x 2 + px + q) n obliczmy przez sprowdzenie trójminu kwdrtowego x 2 +px+q do postci knonicznej ( x + p ) ) 2 + (q p2, 2 4 nstępnie stosujemy podstwienie t = x + p 2 i wykorzystujemy wzór rekurencyjny (1.3). Przykłdy

8 2.2. Wybrne cłki z funkcji trygonometrycznych. (2.1) sin(x) dx = 1 cos x + C, (2.2) cos(x) dx = 1 sin x + C, (2.3) sin 2 x dx = 1 2 x 1 4 sin 2x + C, (2.4) cos 2 x dx = 1 2 x sin 2x + C, (2.5) sin n x dx = 1 n sinn 1 x cos x + n 1 n sin n 2 x dx, n N, (2.6) cos n x dx = 1 n cosn 1 x sin x + n 1 n cos n 2 x dx, n N, (2.7) tg n x dx = 1 n 1 tgn 1 x tg n 2 x dx, n > 2, (2.8) ctg n x dx = 1 n 1 tgn 1 x ctg n 2 x dx, n > 2. Cłki postci sin x cos bx dx, sin x sin bx dx, cos x cos bx dx, obliczmy stosując tożsmości trygonometryczne sin x cos bx = 1 [sin( + b)x + sin( b)x], 2 sin x sin bx = 1 [cos( b)x cos( + b)x], 2 cos x cos bx = 1 [cos( + b)x + cos( b)x]. 2 Cłkę postci R(sin x, cos x, tg x) dx, gdzie R dowoln funkcj, możn obliczyć stosując podstwienie Wtedy dx = u = tg x 2. 2du 2u 1 u2 2u 1 + u2, sin x = 1 + u2, cos x =, tg x = 1 + u2 1 u 2. 8

9 Cłkę postci R(sin 2 x, cos 2 x, sin x cos x) dx, gdzie R dowoln funkcj, możn obliczyć stosując podstwienie Wtedy dx = u = tg x. du 1 + u 2, sin2 x = u2 1 + u 2, cos2 x = 1 u 1 + u2, sin x cos x = 1 + u 2. Przykłdy

10 2.3. Wybrne cłki z funkcji z niewymiernościmi. (3.1) dx x2 +k dx = ln x + x 2 + k + C, k R; (3.2) dx k2 x 2 dx = rc sin x k (3.3) f (x) dx = 2 f(x) + C, f(x) + C, k > 0; (3.4) k 2 x 2 dx = k2 2 rc sin x k + x 2 k2 x 2 + C, k > 0; (3.5) x 2 k2 x 2 dx = k2 2 rc sin x k x 2 k2 x 2 + C, k > 0; (3.6) x 2 + k dx = x 2 x2 + k + k 2 ln x + x 2 + k + +C, k R; (3.7) x 2 x2 +k dx = x 2 x2 + k k 2 ln x + x 2 + k + +C, k R. Przykłdy stosownych podstwień przy obliczniu cłek z funkcji z niewymiernościmi: (3.8) dx (x α) n 1 dx, podstwienie : t = x 2 +bx+c x α ; (3.9) dx (x 2 +b) px 2 +q dx, podstwienie : px 2 + q = tx; (3.10) R(x, x 2 + bx + c) dx, podstwieni Euler: (1) > 0 podstwimy x 2 + bx + c = t x lub x 2 + bx + c = t + x; (2) c > 0 podstwimy x 2 + bx + c = tx c lub x 2 + bx + c = tx + c; (3) = b 2 4c > 0 podstwimy x 2 + bx + c = (x x 1 )(x x 2 ) := t(x x 1 ) lub x 2 + bx + c := t(x x 2 ), gdzie x 1, x 2 są pierwistkmi trójminu kwdrtowego x 2 + bx + c. 10

11 (3.11) x m (b + x n ) p dx, gdzie m, n, p Q, (1) p Z podstwimy x = t r, gdzie r wspólny minownik ułmków m i n; (2) m+1 n Z podstwimy b + x n = t s, gdzie s minownik ułmk p; (3) m+1 n +p Z podstwimy b+x n = t s, gdzie s minownik ułmk p. Przykłdy

12 3. Cłk oznczon Definicj cłki oznczonej. Niech f będzie funkcją określoną i ogrniczoną w przedzile [, b]. Definicj 3.1. Podziłem przedziłu [, b] nzywmy zbiór punktów p = {x 0, x 1,..., x n } tkich, że Oznczmy: = x 0 < x 1 <... < x n = b. x i = [x i 1, x i ], i = 1, 2,..., n x i = x i x i 1 - długość przedziłu x i δ(p) = mx 1 i n x i - średnic podziłu p c i [x i 1, x i ] - punkt pośredni z przedziłu x i S(p) = n i=1 f(c i) x i = f(c 1 )(x 1 x 0 )+f(c 2 )(x 2 x 1 )+...+f(c n )(x n x n 1 ) - sum pośredni Riemnn funkcji f odpowidjąc podziłowi p. Weźmy terz ciąg {p k } podziłów przedziłu [, b]. Ciągowi temu odpowidją wtedy ciąg średnic δ k = δ(p k ) orz ciąg sum pośrednich S k = S(p k ) Definicj 3.2. Ciąg {p k } podziłów przedziłu [, b] nzywmy normlnym, jeśli lim δ k = 0. k 12

13 Definicj 3.3. Jeżeli dl kżdego normlnego ciągu {p k } podziłów przedziłu [, b] odpowidjący mu ciąg sum pośrednich S k = S(p k ) jest zbieżny zwsze do tej smej grnicy niezleżnie od doboru punktów pośrednich, to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną (w sensie Riemnn) funkcji f n przedzile [, b] i oznczmy symbolem f(x) dx. O funkcji f mówimy wtedy, że jest cłkowln w sensie Riemnn. Twierdzenie 3.4. Funkcj ciągł n przedzile [, b] jest n tym przedzile cłkowln w sensie Riemnn. Twierdzenie 3.5. Jeżeli funkcj f jest ogrniczon n przedzile [, b] i m n tym przedzile skończoną ilość punktów nieciągłości I-go rodzju, to f jest n tym przedzile cłkowln w sensie Riemnn. 13

14 3.2. Interpretcj geometryczn i fizyczn cłki oznczonej. A. Interpretcj geometryczn. Jeżeli f(x) 0 dl x [, b], to f(x) dx przedstwi pole figury D ogrniczonej osią Ox, wykresem funkcji f orz prostymi x = i x = b, tj. D = f(x) dx. B. Interpretcj fizyczn. Drog przebyt w ruchu zmiennym. Niech punkt mterilny porusz się po płszczyźnie lub w przestrzeni ze zmienną prędkością v(t) = v(t). Wówczs drog przebyt przez ten punkt w przedzile czsowym [t 1, t 2 ] wyrż się wzorem L = t2 Prc wykonn przez zmienną siłę. t 1 v(t) dt. Zkłdmy, że równolegle do osi Ox dził zmienn sił F (x) = F (x). Wówczs prc wykonn przez tę siłę od punktu x = do punktu x = b wyrż się wzorem W = F (x) dx. 14

15 3.3. Włsności cłki oznczonej. Twierdzenie 3.6. (wzór Newton-Leibniz) Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile [, b], to f(x) dx = F (b) F (), gdzie F ozncz dowolną funkcję pierwotną funkcji f n tym przedzile. Przykłd Twierdzenie 3.7. (o cłkowniu przez części) Zkłdmy, że funkcje f i g mją ciągłe pochodne n przedzile [, b]. Wówczs gdzie f(x) g (x) dx = [f(x) g(x)] b [f(x) g(x)] b = f(b) g(b) f() g(). f (x) g(x) dx, Przykłd Twierdzenie 3.8. (o cłkowniu przez podstwienie) Jeżeli spełnione są wrunki (i) ϕ : [α, β] n [, b] i ϕ C 1 ([α, β]), (ii) ϕ(α) = i ϕ(β) = b, (iii) f C([, b]), to f(x) dx = β α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Przykłd

16 Twierdzenie 3.9. Jeżeli funkcje f i g są cłkowlne n przedzile [, b], to funkcje f + g, f g, c f, gdzie c R, f g są cłkowlne n [, b]. Pondto (i) (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx, (ii) (f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx, (iii) c f(x) dx = c f(x) dx. Przykłd Twierdzenie Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile [, b] i c (, b), to f jest cłkowln n [, c] i [c, b] orz f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Twierdzenie Jeżeli funkcje f i g są cłkowlne n przedzile [, b] orz dl kżdego x [, b] spełniją nierówność f(x) g(x), to f(x) dx g(x) dx. 16

17 Twierdzenie (o wrtości średniej dl cłek) Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile [, b], to istnieje tki punkt c (, b), że f(x) dx = f(c) (b ). Definicj Liczbę 1 b f(x) dx nzywmy wrtością średnią funkcji f n przedzile [, b]. Fkt f(x) dx = b f(x) dx f(x) dx = 0 Jeśli funkcj f jest nieprzyst, to f(x) dx = 0. Jeśli funkcj f jest przyst, to f(x) dx = 2 0 f(x) dx. 17

18 3.4. Zstosowni cłek oznczonych Przykłdy zstosowń cłek oznczonych w geometrii. A. Oblicznie pól figur płskich. 1. Zkłdmy, że f jest funkcją ciągłą i nieujemną n przedzile [, b]. Pole obszru D = {(x, y) R 2 : x b 0 y f(x)} wyrż się wzorem D = f(x) dx. 2. Zkłdmy, że funkcje f i g są ciągłe n przedzile [, b] i spełniją nierówność f(x) g(x) dl x [, b]. Pole obszru D = {(x, y) R 2 : x b f(x) y g(x)} wyrż się wzorem D = [g(x) f(x)] dx. 3. Zkłdmy, że funkcje x = f(y) i x = g(y) są ciągłe n przedzile [c, d] i spełniją nierówność f(y) g(y) dl y [c, d]. Pole obszru D = {(x, y) R 2 : f(y) x g(y) c y d} wyrż się wzorem D = [g(y) f(y)] dy. 18

19 4. Niech (ϕ, r) oznczją współrzędne biegunowe punktu (x, y), tzn. x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Pole obszru S ogrniczonego krzywą zdną równniem we współrzędnych biegunowych r = f(ϕ) orz prostymi ϕ = α, ϕ = β wyrż się wzorem S = 1 2 Przykłd β α [f(ϕ)] 2 dϕ. B. Oblicznie długości łuku krzywej. 1. Zkłdmy, że funkcj f m ciągłą pochodną n przedzile [, b]. Długość łuku krzywej Γ = {(x, y) R 2 : x b y = f(x)} wyrż się wzorem Γ = 1 + [f (x)] 2 dx. 2. Zkłdmy, że funkcje x = x(t) i y = y(t) mją ciągłe pochodne n przedzile [α, β]. Długość łuku krzywej zdnej równnimi prmetrycznymi wyrż się wzorem Przykłd Γ = {(x, y) R 2 : x = x(t), y = y(t), t [α, β]}. Γ = β α [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt. 19

20 C. Oblicznie objętości bryły obrotowej. 1. Zkłdmy, że funkcj f jest ciągł i nieujemn n przedzile [, b]. Objętość bryły obrotowej V powstłej przez obrót wykresu funkcji f wokół osi 0x dl x [, b] wyrż się wzorem V = π [f(x)] 2 dx. 2. Zkłdmy, że funkcj f jest ciągł i nieujemn n przedzile [, b] orz 0. Objętość bryły obrotowej V powstłej przez obrót wykresu funkcji f wokół osi 0y dl x [, b] wyrż się wzorem V = 2π xf(x) dx. D. Oblicznie pol powierzchni bryły obrotowej. 1. Zkłdmy, że funkcj f jest nieujemn i m ciągłą pochodną n przedzile [, b]. Pole powierzchni Σ bryły obrotowej powstłej przez obrót wykresu funkcji f wokół osi 0x dl x [, b] wyrż się wzorem Σ = 2π f(x) 1 + [f (x)] 2 dx. 2. Zkłdmy, że funkcj f jest nieujemn i m ciągłą pochodną n przedzile [, b] orz 0. Pole powierzchni Σ bryły obrotowej powstłej przez obrót wykresu funkcji f wokół osi 0y dl x [, b] wyrż się wzorem Σ = 2π x 1 + [f (x)] 2 dx. Przykłd

21 Przykłdy zstosowń cłek oznczonych w fizyce. A. Oblicznie długości drogi w ruchu zmiennym. Długość drogi przebytej przez punkt mterilny poruszjący się ze zmienną prędkością v(t) w przedzile czsowym [t 1, t 2 ] wyrż się wzorem: L = t2 t 1 v(t) dt. B. Oblicznie prcy wykonnej przez zmienną siłę. Prc wykonn przez zmienną siłę F (x) równoległą do osi Ox n odcinku od punktu x = do punktu x = b wyrż się wzorem: W = F (x) dx. 21

22 Przykłdy zstosowń cłek oznczonych do obliczni wielkości mechnicznych. A. Wyzncznie momentów sttycznych, momentów bezwłdności i środk ciężkości figury płskiej. Zkłdmy, że f jest funkcją ciągłą i nieujemną n przedzile [, b]. Oznczmy A = (, f()), A = (, 0), B = (b, f(b)), B = (b, 0). Rozwżmy figurę płską AA B B ogrniczoną krzywą AB będącą wykresem funkcji y = f(x) dl x [, b], odcinkiem A B osi Ox orz prostymi x = i x = b, tj. AA B B = {(x, y) R 2 : x b 0 y f(x)}. Złóżmy, że ms jest rozłożon n tej figurze równomiernie, tk że gęstość powierzchniow ρ (tj. ms przypdjąc n jednostkę pol) jest stł. (1) Moment sttyczny M x figury AA B B względem osi 0x wyrż się wzorem: M x = 1 2 ρ [f(x)] 2 dx. (2) Moment sttyczny M y figury AA B B względem osi 0y wyrż się wzorem: M y = ρ xf(x) dx. (3) Współrzędne środk ciężkości (ξ, η) figury AA B B wyrżją się wzormi: ξ = xf(x) dx, η = f(x) dx 1 b 2 [f(x)]2 dx. f(x) dx 22

23 (4) Moment bezwłdności I x figury AA B B względem osi 0x wyrż się wzorem: I x = 1 3 ρ [f(x)] 3 dx. B. Wyzncznie momentów bezwłdności i środk ciężkości bryły obrotowej. Niech V będzie bryłą obrotową powstłą przez obrót figury płskiej AA B B wokół osi 0x. Zkłdmy, że gęstość przestrzenn σ (tj. ms przypdjąc n jednostkę objętości) jest stł. (1) Moment bezwłdności I x bryły V względem osi 0x wyrż się wzorem: I x = 1 2 πσ [f(x)] 4 dx. (2) Środek ciężkości (ξ, η) bryły V leży n osi 0x i m współrzędne : ξ = x[f(x)]2 dx [f(x)]2 dx, η = 0. 23

24 C. Wyzncznie momentów sttycznych, momentów bezwłdności i środk ciężkości łuku krzywej. Zkłdmy, że funkcj f m ciągłą pochodną i jest nieujemn n przedzile [, b]. Rozwżmy łuk AB krzywej y = f(x) dl x [, b], tj. AB = {(x, y) R 2 : x b y = f(x)}. Zkłdmy, że gęstość liniow λ (tj. ms przypdjąc n jednostkę długości) jest stł. (1) Moment bezwłdności I x łuku krzywej AB względem osi 0x wyrż się wzorem: I x = λ [f(x)] [f (x)] 2 dx. (2) Środek ciężkości (ξ, η) łuku krzywej AB m współrzędne : ξ = x 1 + [f (x)] 2 dx 1 + [f (x)] 2 dx, η = f(x) 1 + [f (x)] 2 dx 1 + [f (x)] 2 dx. (3) Moment sttyczny M x łuku krzywej AB względem osi 0x wyrż się wzorem: M x = λ f(x) 1 + [f (x)] 2 dx. 24

25 4. Cłk niewłściw. Definicj 4.1. Powiemy, że x 0 jest osobliwością funkcji f, jeśli x 0 = ± lbo x 0 jest skończone i lim x x0 f(x) = ±. Złóżmy, że x 0 jest osobliwością funkcji f i dl kżdego β [, x 0 ) istnieje cłk β f(x) dx. Definicj 4.2. Jeżeli istnieje grnic lim β x 0 β f(x) dx, to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą funkcji f w przedzile [, x 0 ] i oznczmy czyli x0 x0 f(x) dx, f(x) dx := lim β x 0 β f(x) dx. Podobnie definiujemy cłkę niewłściwą, jeśli doln grnic cłkowni jest osobliwością funkcji f, tzn. f(x) dx := lim f(x) dx. x 0 α x + 0 α Przykłd Obliczymy: () 1 1 x 2 dx, (b) x dx. 25

26 Uwg. Jeżeli cłk niewłściw istnieje i jest skończon, tzn. istnieje grnic włściw występując w definicji, to mówimy, że cłk niewłściw funkcji f jest zbieżn n [, x 0 ] bądź [x 0, b]. Jeśli t grnic jest niewłściw lbo, to mówimy, że cłk jest rozbieżn do lbo odpowiednio. Definicj 4.3. Niech funkcj f będzie określon n prostej (, ). Definiujemy f(x) dx := gdzie jest dowolną liczbą z R. f(x) dx + f(x) dx, Przykłd Obliczymy: e 3x dx. 26