Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

Transkrypt

1 Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

2 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ). Jeżeli w kżdym punkcie x D istnieje pochodn funkcji F, to funkcji F możemy jednozncznie przyporzdkowć funkcję pochodn f = F : D. Odwrotnie, dnej funkcji f możn przyporzdkowć funkcję F, tk że F = f. Funkcj F jest określon jednozncznie z dokłdności do stłej, gdyż wtedy dl dowolnej stłej c (F(x) + c) = f(x). Definicj Funkcję F : D, tk że F = f nzywmy funkcj pierwotn funkcji f. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

3 Podstwowe wzory (f(x) + g(x)) dx = (f(x) g(x)) dx = dl kżdej zchodzi f(x)dx + g(x)dx f(x)dx g(x)dx (f(x)) dx = f(x)dx Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

4 Definicj Cłk oznczon funkcji f : [, b] w grnicch od do b nzywmy liczbę b f(x)dx = F(b) F() = F(x), gdzie F jest dowoln funkcj pierwotn funkcji f. b Przykłd 2 1 x 3 dx = x4 = = = Określmy funkcję górnej grnicy cłkowni Wtedy 1 x x f(s)ds. d x f(s)ds = d (F(x) F()) = f(x). dx dx Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

5 Przy obliczniu cłek często wykorzystuje się nstępujc włsność. Niech F będzie funkcj pierwotn do f : [x 1, x 2 ]. Rozptrzmy funkcję złożon g(x) = f(x + b), gdzie i b to pewne stłe. Funkcj pierwotn do g jest funkcj G(x) = 1 F(x + b), ztem x2 x2 g(x)dx = f(x + b)dx = 1 x 1 x 1 (F(x 2 + b) F(x 1 + b)). Przykłdy e 5x+2 dx = x dx = 1 2 (e 12 e 7) ln 1 + 2x 1 0 = 1 2 ln ln 1 = ln 3 2 Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

6 Podstwowe włsności cłki oznczonej dl c b mmy c b f(s)ds + c c f(s)ds + b c f(s)ds = b f(s)ds bo f(s)ds = F(c) F() + (F(b) F(c)) = = F(b) F() = b Jeśli α jest dowoln liczb i g pewn funkcj cigł, to b (f(s) + αg(s))ds = = b b f(s)ds + f(s)ds + α b b f(s)ds. αg(s)ds = g(s)ds. Pierwsz włsność sugeruje, że definicję cłki oznczonej możn rozszerzyć n funkcje kwłkmi cigłe mówic, że cłk z funkcji kwłkmi cigłej jest sum cłek obliczonych n przedziłch cigłości funkcji. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

7 Cłk oznczon jko pole obszru pod wykresem funkcji y 1 0 xdx = 1 2 x2 1 0 = = 1 2 Wrtość tej cłki jest równ polu trójkt prostoktnego wyznczonego przez oś poziom ukłdu współrzędnych i wykres funkcji f(x) = x. y = x 1 0 x dx 1 x Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

8 Co to jest pole figury? W szkole uczymy się wzorów określjcych pol różnych figur regulrnych: prostoktów, trójktów, kół itd. Ale jk określić pole figury o nieregulrnym ksztłcie? Skoro nie mmy wtpliwośći co to jest pole prostokt to przez pole figury możn rozumieć liczbę równ sumie (n ogół nieskończonej) liczby wszystkich pól prostoktów zwrtych cłkowicie w tej figurze rozmieszczonych tk, że mog one mieć wspólne jedynie frgmenty swoich krwędzi. Oczywiście im dokłdniej chcemy pokryć zbiór prostoktmi, tym mniejszych prostoktów musimy użyć. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

9 Pole trójkt prostoktnego przybliżmy z pomoc sumy pól kwdrtów zwrtych w trójkcie. Im dokłdniejsze przybliżenie, tym mniejsze musz być kwdrty wypełnijce w sumie trójkt, le żdn skończon liczb kwdrtów nie wystrczy do cłkowitego pokryci trójkt. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

10 Pole figury ogrniczonej wykresem funkcji i osi x-ów Rozptrujemy njpierw przypdek szczególny cłki z funkcji monotonicznej. W njprostszy sposób ukzuje on zwizek pomiędzy polem pod wykresem funkcji i jej cłk oznczon. Funkcj f : [, b] cigł, niemlejc i nieujemn. Dl x [, b] P(x) pole figury ogrniczonej od góry przez wykres funkcji od punktu (, f()) do punktu (x, f(x)) i od dołu przez oś x-ów. Wtedy dl h > 0, tkiego że x + h [, b] hf(x) P(x + h) P(x) hf(x + h) i dzielc stronmi przez h dostjemy f(x) P(x + h) P(x) h f(x + h). h f(x) f(x + h) P(x) x x + h b Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

11 Przechodzc do grnicy z h 0 i korzystjc z definicji cigłości i definicji pochodnej otrzymujemy P (x) = f(x) więc P jest funkcj pierwotn f, ztem x gdyż P() = 0 z definicji P. f(s)ds = P(x) P() = P(x), Pole figury ogrniczonej wykresem funkcji i osi x wynosi P(b) = b f(s)ds. Anlogiczne rozumownie możn przeprowdzić dl funkcji nieujemnej i nierosncej lub nieujemnej i kwłkmi monotonicznej. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

12 S jednk funkcje cigłe n odcinku o dość skomplikownym przebiegu (np. sinusoid wrszwsk, lbo funkcj Weirstrss), których cłkownie trzeb oprzeć n przejściu grnicznym sumy pól prostoktów (tzw. sumy Riemnn) przybliżjcych pole figury pod wykresem funkcji. Możn udowodnić, że Stwierdzenie Pole P figury pomiędzy wykresem dowolnej funkcji cigłej i nieujemnej f : [, b] i osi x-ów jest równe cłce oznczonej b f(x)dx. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

13 Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. x 1 x 2 x 3 x 4 Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20 b

14 Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

15 Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20 b

16 Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20 b

17 Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20 b

18 Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20 b

19 Q n = f(x i ) x i. Sumę Q n nzyw się sum Riemnn n cześć jednego z njsłynniejszych mtemtyków XIX w. Zgęszczjc punkty podziłu odcink [, b], tk że mksymln odległość między ssiednimi punktmi w n podzile dży do zer wrz z n + dostjemy corz lepsze przybliżenie pol P i lim Q n = P, n + więc cłk z funkcji cigłej to grnic sum Riemnn. Std zwizek pomiędzy cłkowniem i sumowniem, który wyrż się tkże w trdycyjnym sposobie notcji. Znk sumy zstępuje się znkiem cłki, x przechodzi n dx: b f(x)dx f(x i ) x i. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20 b

20 * Objętość bryły obrotowej (dl zinteresownych) Podobnie wyprowdz się wzór n objętość bryły obrotowej. Rozwżmy funkcję f : [, b], tk że f(x) > 0 dl x (, b) i bryłę w przestrzeni 3, której powierzchni boczn powstje poprzez obrót wykresu funkcji f wokół osi x. x Aby obliczyć przybliżon wrtość objętości tej bryły trzeb pocić j cięcimi prostopdłymi do osi x n plstry i zsumowć objętości wszystkich plstrów. Kżdy plster po wyrównniu brzegów to wlec. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

21 * Objętość bryły obrotowej Objętość wlc o promieniu podstwy r i wysokości h wynosi πr 2 h. Dzielimy odcinek [, b] n n mniejszych odcinków o końcch x 0 =, x 1 <... x i < x i+1... x n = b wyznczjc punkty, przez które przechodz cięci. Sum wszystkich objętości wlców plstrów wynosi π (f(x i )) 2 x i. Po przejściu do grnicy przy zgęszczeniu podziłów odcink [, b] otrzymuje się wzór n objętość V f bryły obrotowej powstłej przez obrót funkcji f : [, b], b V f = π f 2 (x)dx. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

22 Wrtość średni funkcji Definicj Wrtości średni funkcji f : [, b] nzywmy liczbę f = 1 b Przykłd z poprzedniego wykłdu b f(x)dx. Smochód porusz się po prostej strtujc w chwili t = 0 z punktu x 0 z prędkości v(t)[ m s ]. W chwili t = T położenie smochodu wynosi x(t) = x 0 + T 0 v(t)dt[m], gdyż funkcj określjc położenie (współrzędn) smochodu jest funkcj pierwotn do funkcji określjcej prędkość smochodu. Wrtość średni funkcji określjcej prędkość smochodu to v = 1 T v(t)dt [ m T s ], czyli 0 v = x(t) x 0. T Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

23 Cłk niewłściw Cłki niewłściwe Rozwżymy terz cłki z funkcji określonych n przedziłch nieogrniczonych typu [, + ) lub (, ], lub (, + ). Niech F będzie funkcj pierwotn funkcji f i złóżmy, że istnieje grnic lim F(x). Poniewż x + x f(s)ds = F(x) F(), to Definicj Cłk niewłściw funkcji f n odcinku [, + ) nzyw się liczbę + f(s)ds = lim F(x) F(). x + Cłk niewłściw funkcji f n odcinku (, ] nzyw się liczbę f(s)ds = F() lim F(x). x Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

24 Cłk niewłściw Grnic funkcji lim x + F(x) może nie istnieć odpowiedni cłk niewłściw nie jest wtedy określon. Przykłd: Funkcj pierwotn funkcji f(x) = cos x jest F(x) = sin x. Nie istniej lim sin x i lim sin x, x + x ztem żdn z cłek niewłściwych nie jest określon. Jeśli lim x + F(x) = ±, to mówimy, że cłk jest rozbieżn do ±. Przykłd: Funkcj pierwotn funkcji f(x) = 2x jest F(x) = x 2, orz lim x + x2 = +. Dltego mówimy, że +. x dx jest rozbieżn do Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

25 Cłk niewłściw Jeśli f(x) 0 dl x, to funkcj pierwotn F jest funkcj niemlejc (bo F (x) = f(x) 0), więc grnic lim x + F(x) jest lbo liczb dodtni, lbo cłk jest rozbieżn do +. Przykłd: e s ds = 1 s ds = 1 s ds = lim x + ( e x ) ( e 1 ) = e 1 ; lim x + ( ) 1 1 (1 )x 1 1 = 1 1, > 1; lim ln x ln 1 = +. x + W powyższych przykłdch funkcje podcłkowe s dodtnie i mlej do 0. Funkcj 1 mleje do zer n tyle wolno wrz ze wzrostem x, że pole x obszru pomiędzy wykresem tej funkcji i osi x jest nieskończone, w odróżnieniu od dwóch pozostłych funkcji. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20

26 Cłk niewłściw Jeśli f(x) 0 dl x, to cłkę + f(x)dx definiuje się jko sumę + f(x)dx = f(x)dx + + f(x)dx, ( ) gdzie jest dowoln liczb. T definicj nie zleży od wyboru. Rozpisujc prw stronę ( ) dostjemy, po uproszczeniu, + f(x)dx = lim F(x) lim F(x). x + x Powyższ cłk jest lbo liczb dodtni, lbo jest rozbieżn do +. Mtemtyk dl biologów Zjęci listopd / 20