Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne

Transkrypt

1 Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c

2 sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się w rdinch. r r rdin to mir kąt środkoweo oprteo n łuku równym dłuością promieniowi okręu. 2

3 Stąd 8 8 rd 57, 32 o o,7 rd o o Pondto mmy odpowiednio: 9 2 o, 8 o, o,2 36 o Rozwżmy kąt skierowny, tzn. tki, w którym okreśy jedno z rmion jko początkowe, druie jko końcowe. Jeżeli kąt skierowny jest przeciwnie do ruchu wskzówek zer to jeo mir jest dodtni. 3

4 Umieszczmy terz kąt skierowny w ukłdzie współrzędnych tk, że jeo wierzchołek znjduje się w początku ukłdu, rmię początkowe pokryw się z dodtnią półosią O. r t y P,y sint cost tt ctt y y r r, y, y Wrtości powyższe nie zleżą od wielkości tzn. są równe odpowidjącym im wrtościom zdeiniownym dl okręów o innych promienich. 4

5 Możliwe jest więc określenie unkcji tryonometrycznych o rumentch rzeczywistych: zstępujemy t symbolem Wykresy ze strony eduktor.pl 5

6 6

7 Zestwienie wżniejszych wrtości: brk brk Podstwowe zleżności: 7

8 , =, Funkcje cyklometryczne Funkcje odwrotne do unkcji tryonometrycznych. rcsin czytmy rkus sinus rccos czytmy rkus cosinus rct czytmy rkus tnens rcct czytmy rkus cotnens Poniewż unkcje tryonometryczne nie są różnowrtościowe w cłej dziedzinie, unkcje odwrotne uzyskujemy dl odpowiednich przedziłów rumentu. 8

9 Wykresy ze strony 9

10 Grnic unkcji. De. Sąsiedztwem o promieniu r> punktu nzywmy zbiór S,r= -r,, +r 2 Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu r> punktu nzwmy zbiór: S -,r= -r, 3 Sąsiedztwem prwostronnym o promieniu r> punktu nzywmy zbiór S +,r=, +r. De. 2 Sąsiedztwem - nzywmy zbiór S-=-,b, dzie br, 2 Sąsiedztwem + nzywmy zbiór S=,, dzie R. De. 3. Cuchy eo Niech R orz niech unkcj będzie określon przynjmniej n sąsiedztwie S. Liczb jest rnicą włściwą unkcji w punkcie, co zpisujemy

11 wtedy i tylko wtedy dy S, De. 4. Niech R orz niech unkcj będzie określoną przynjmniej n sąsiedztwie S -. Liczb jest rnicą włściwą lewostronną unkcji w punkcie, co zpisujemy wtedy i tylko wtedy dy S, De. 5. Niech R orz niech unkcj będzie określon przynjmniej n sąsiedztwie S +. Liczb jest rnicą włściwą prwostronną unkcji w punkcie, co zpisujemy

12 2 wtedy i tylko wtedy dy S, De. 6. Niech R orz niech unkcj będzie określon przynjmniej n sąsiedztwie S. Funkcj m rnicę niewłściwą w punkcie, co zpisujemy wtedy i tylko wtedy dy M S M, Anicznie deiniujemy rnicę niewłściwą -. Tw.. wrunek konieczny i dostteczny istnieni rnicy

13 Funkcj m w punkcie m rnicę włściwą niewłściwą wtedy i tylko wtedy dy Wspóln wrtość rnic jednostronnych jest wtedy rnicą unkcji. De. 7. Niech unkcj będzie określon przynjmniej n sąsiedztwie S. Liczb jest rnicą włściwą unkcji w, co zpisujemy wtedy i tylko wtedy dy S Deinicj rnicy włściwej w - jest podobn. De. 8. Niech unkcj będzie określon przynjmniej n sąsiedztwie S. Funkcj m w rnicę niewłściwą, co zpisujemy 3

14 4 wtedy i tylko wtedy dy M S M Tw. 2 o rytmetyce rnic unkcji Jeżeli unkcje i mją rnice włściwe w punkcie, to 6, 5 4, 3 2 dy R c c c

15 Tw. 3 rchunek rnic niewłściwych ,, b, b Wyrżeni nieoznczone: Grnice podstwowych wyrżeń nieoznczonych: sin t rcsin rct 5

16 6 ln,, ln, ln e e e e e