1 Definicja całki oznaczonej

Transkrypt

1 Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x <... x < x n < x n = b Długość i tego podprzedziłu oznczymy x i = x i x i, cły zbiór n podprzedziłów oznczymy n. Podziłowi n możemy przyporządkowć liczbę δ n = mx x i, nzywną średnicą podziłu. Możemy rozptrywć ciąg podziłów ( n ). Tki ciąg nzywmy normlnym, gdy lim δ n =. n Dl dnego podziłu n wybiermy w kżdym podprzedzile liczbę ξ i, x i ξ x i i tworzymy sumę σ n = f(ξ i ) x i. () Jeżeli dl kżdego ciągu normlnego podziłów przedziłu [, b] kżdy ciąg sum (σ n ) dąży do grnicy skończonej (niezleżnej od wyboru punktów ξ i ), to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną funkcji f(x) w przedzile [, b] i oznczmy przez f(x). Pojedyncze skłdniki sumy () są polmi prostokątów o podstwie x i i wysokości f(ξ i ). Sum tych pól przybliż pole figury ogrniczonej od dołu osią Ox, od góry wykresem funkcji f(x), z boków odcinkmi prostych x =, x = b (tką figurę nzywmy trpezem krzywoliniowym). Przybliżenie to jest corz dokłdniejsze gdy n rośnie. Wrtość grniczn, czyli cłk oznczon, jest polem trpezu krzywoliniowego. Uwg. Powyższe określenie cłki dotyczy przypdku gdy < b. Przyjmujemy pondto, że f(x) =, f(x) = f(x) dl < b. Twierdzenie (włsności cłki). (f(x) ± g(x)) = f(x) ± 3. f(x) = c f(x) + c b. Af(x) = A f(x) ; g(x) ; f(x) dl < c < b; 4. Jeżeli f(x) g(x) dl x [, b], to f(x) g(x). Przykłd Obliczymy z definicji cłkę x. W tym celu rozptrzymy ciąg podziłów n n równych części: < n < n < < n n =. Punkty ξ i wybierzemy jko środki odpowiednich odcinków: ξ i = x i + n = i n + n = i n.

2 Wtedy σ n = i n n = n (i ) = + (n ) n = n. Ciąg jest stły, więc x = lim n σ n =. Zuwżmy, że dl innego wyboru liczb ξ i, np. ξ i = x i = i n otrzymmy σ n = i n n = n (i ) = + (n ) n n = n n. Tym rzem ciąg nie jest stły, le grnic jest tk sm: n lim n n =. Jeszcze inczej: gdy ξ i = x i = i, to otrzymmy n i σ n = n n = n i = n + n n = n + n. I znowu grnic jest tk sm: n + lim n n =. Twierdzenie (o istnieniu cłki) Jeżeli funkcj f(x) jest ogrniczon n [, b] i m n tym przedzile skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzju, to istnieje cłk oznczon f(t) dt. Mówimy wtedy, że funkcj f(x) jest cłkowln n [, b]. Cłk oznczon jest liczbą, cłk nieoznczon zbiorem funkcji. Niemniej te dw pojęci są blisko ze sobą związne. Nstępujące twierdzeni, wyjśnijące ten związek, są podstwowymi twierdzenimi rchunku cłkowego. Twierdzenie 3 (o cłce ze zmienną górną grnicą) Jeżeli funkcj f(x) jest ciągł n [, b], to dl kżdego x [, b] istnieje cłk oznczon x f(t) dt. Możn więc określić funkcję F (x) = x f(t) dt. Funkcj F (x) jest różniczkowln n [, b] i F (x) = f(x). Twierdzenie 4 (Newton-Leibniz) Jeżeli F (x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x) ciągłej n [, b], to f(t) dt = F (b) F ().

3 Zmist F (b) F () piszemy F (x) b lub [F (x)] b. Przykłdy. 8 3 x ;. (x + 3 ) ; x 3 3. π ( sin x 3 cos x) x Nstępujące twierdzeni ułtwiją oblicznie cłek. Twierdzenie 5 (o cłkowniu przez podstwienie) Jeżeli funkcj f(t) jest ciągł n zbiorze wrtości funkcji t = ϕ(x) ciągłej i mjącej ciągłą pochodną w [, β] orz jeżeli ϕ() =, ϕ(β) = b, to Przykłdy π/ ; e x +e x 4 x ; cos x sin x. f (ϕ(x)) ϕ (x) = f(t) dt. Twierdzenie 6 (o cłkowniu przez części) Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mją w przedzile [, b] ciągłe pochodne, to Przykłdy.. xex ; 3. π π x sin x. ln x ; u(x)v (x) = u(x)v(x) b Zstosownie cłek w geometrii. Oblicznie pól v(x)u (x). Pole trpezu krzywoliniowego ogrniczonego od dołu osią Ox, od góry wykresem funkcji f(x), z boków odcinkmi prostych x =, x = b wynosi: P = f(x). Gdy funkcj ogrniczjąc z góry m równni prmetryczne x = x(t), y = y(t), t β, to: P = y(t)x (t) dt. Jeżeli obszr jest ogrniczony od dołu wykresem funkcji g(x), od góry wykresem funkcji f(x), z boków odcinkmi prostych x =, x = b, to wzór n pole uleg modyfikcji i m postć: P = (f(x) g(x)). Przykłdy Obliczyć pol figur ogrniczonych krzywymi: 3

4 . xy =, y =, x =, x =.. y = 4x + 4, y = x. 3. x + y = (elips). b 4. x = (t sin t), y = ( cos t), t π, y = (łuk cykloidy). Jeżeli w biegunowym ukłdzie współrzędnych mmy obszr określony nierównościmi: ϕ β, ρ ρ(ϕ), gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (tki obszr jest trójkątem krzywoliniowym), to jego pole obliczmy stosując wzór P = ρ (ϕ) dϕ Przykłdy Obliczyć pol figur ogrniczonych krzywymi:. ρ = ϕ dl < ϕ < π;. ρ = cos ϕ, gdzie > (lemniskt Bernoullego). Długość łuku Jeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f(x) dl x b, to stosujemy wzór l = + f (x). Przykłdy Obliczyć długości łuków krzywych:. f(x) = ln cos x, x π; 4. x /3 + y /3 = /3, gdzie > (steroid). Jeżeli krzyw jest określon prmetrycznie: x = x(t), y = y(t) dl t β, to wzór jest inny: l = (x (t)) + (y (t)) dt. Przykłdy Obliczyć długości łuków krzywych:. x = (t sin t), y = ( cos t), t π (łuk cykloidy)..x = e t sin t, y = e t cos t, t π W biegunowym ukłdzie współrzędnych, dl krzywej ρ = ρ(ϕ), ϕ β: l = (ρ(ϕ)) + (ρ (ϕ)) dϕ. Przykłdy Obliczyć długości łuków krzywych:. ρ = sin 3 ϕ, ϕ [, 3π]; 3. ρ = sin ϕ, >, ϕ [, π]..3 Objętość i pole powierzchni brył obrotowych W ukłdzie Oxy rozptrujemy krzywą o równniu y = f(x), x b, i obrcmy ją dokoł osi Ox. Krzyw zkreśl wtedy powierzchnię. Po zmknięciu tej powierzchni płszczyznmi x = i x = b otrzymujemy bryłę, której objętość wynosi: V = π f (x), 4

5 pole powierzchni bocznej S = π f(x) + (f (x)). W przypdku równń prmetrycznych x = x(t), y = y(t) dl t β, odpowiednie wzory to: V = π y (t) x (t) dt, S = π y(t) (x (t)) + (y (t)) dt. Przykłdy. Objętość bryły powstłej przez obrót elipsy x + y b = dokoł osi odciętych.. Objętość bryły powstłej z obrotu jednego łuku cykloidy x = (t sin t), y = ( cos t), t π dokoł osi odciętych. 3. Pole powierzchni powstłej przez obrót dokoł osi Ox krzywej y = sin x, x π. Wsk.: zstosowć wzór: x + = ln x + x + + x x + + C 4. Pole powierzchni powstłej przez obrót steroidy x = cos 3 t, y = sin 3 t, > dokoł osi Ox. 3 Cłki niewłściwe Jeżeli funkcj f(x) jest ciągł w (, b] i jest nieogrniczon w otoczeniu punktu, to określmy cłkę niewłściwą pierwszego rodzju: f(x) = lim f(x). ε +ε Anlogicznie określmy cłkę z niewłściwością w grnicy górnej: ε f(x) = lim f(x). ε Jeżeli powyższe grnice istnieją i są skończone, to cłki nzywmy zbieżnymi; w przeciwnym przypdku (tj. gdy grnice nie istnieją lub są niewłściwe) cłki nzywmy rozbieżnymi. Przykłdy.. 3. x = ; ln x (x ) x = ; (rozbieżn). 5

6 Czsem wystrcz informcj, czy cłk jest zbieżn, czy nie. Możn wtedy zstosowć kryterium porównwcze: Jeżeli f(x) g(x) w (, b) i cłk g(x) jest zbieżn, to f(x) też jest zbieżn. Cłkmi niewłściwymi drugiego rodzju nzywmy cłki po przedzile nieogrniczonym: f(x) = lim f(x), f(x) = lim b f(x), c f(x) + lim b c = lim f(x) f(x). Przykłdy. e x = ;. = ln ; x +x 3. sin x (rozbieżn). 4. x +x+ 6