Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Transkrypt

1 Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski

2

3

4 ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość F (x) = f(x) dl kżdego x (, b), to funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f w przedzile (, b). Definicj 7.2. Niech f : [, b] R będzie funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : [, b] R m miejsce równość F (x) = f(x) dl x (, b) orz F +() = f() i F (b) = f(b), to funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f w przedzile [, b]. Włsność 7.1. Dwie funkcje pierwotne dnej funkcji różnią się o stłą. Istotnie, jeśli F i G są dwiem funkcjmi pierwotnymi funkcji f, to F (x) G (x) = f(x) f(x) = 0 dl kżdego x (, b), więc funkcj F G jest stł. Rodzinę funkcji pierwotnych dnej funkcji nzywmy cłką nieoznczoną tej funkcji. 2. Definicj cłki Riemnn Niech f : [, b] R będzie funkcją ogrniczoną. Podziłem π przedziłu [, b] nzywmy skończony ciąg π = (x 0, x 1,..., x n ), tki, że = x 0 < x 1 < < x n = b. Zbiór wszystkich możliwych podziłów przedziłu [, b] będziemy oznczli symbolem Ξ. Dl podziłu π tworzymy tzw. sumę górną i sumę dolną cłkową funkcji f w sposób nstępujący: S(π) = n sup {f(x) : x [x i 1, x i ]} (x i x i 1 ), i=1

5 60 Jcek M. Jędrzejewski n s(π) = inf {f(x) : x [x i 1, x i ]} (x i x i 1 ). i=1 Czsem sumy te będziemy oznczli z oznczeniem funkcji i podziłu, dl których są te sumy zbudowne; wtedy oznczeni te są nstępujące: s f (π) i S f (π). Oczywiście, prwdziw jest nierówność s(π) S(π). Podził π 2 nzywmy drobniejszym od podziłu π 1, gdy kżdy punkt ciągu tworzącego podził π 1 jest punktem podziłu π 2. W tkim przypdku będziemy pisli π 1 π 2. Łtwo dowodzimy nstępujących włsności. Włsność 7.2. Jeśli π 1 π 2 to s(π 1 ) s(π 2 ) S(π 2 ) S(π 1 ). Włsność 7.3. Dl dowolnych podziłów π 1 i π 2 przedziłu [, b] spełnion jest nierówność (b ) c s(π 1 ) S(π 2 ) (b ) d, gdzie c = inf {f(x) : x [, b]}, orz d = sup {f(x) : x [, b]}. Zuwżmy terz, że zbiory {s(π) : π Ξ}, {S(π) : π Ξ} są ogrniczone; istnieją więc kresy tych zbiorów. Mmy przy tym: Włsność 7.4. Dl dowolnej funkcji f : [, b] R ogrniczonej w przedzile [, b] mmy c(b ) sup {s(π) : π Ξ} inf {S(π) : π Ξ} d(b ), gdzie c = inf {f(x) : x [, b]}, orz d = sup {f(x) : x [, b]}. Definicj 7.3. Liczbę sup {s(π) : π Ξ} nzywmy cłką dolną funkcji f w przedzile [, b] (dokłdniej, dolną cłką Drboux) i oznczmy symbolem zś liczbę f(x)dx, inf {S(π) : π Ξ} nzywmy cłką górną funkcji f w przedzile [, b] (górną cłką Drboux) i oznczmy symbolem f(x)dx,

6 Nottki z nlizy 61 Definicj 7.4. Jeśli dl ogrniczonej funkcji f : [, b] R, cłk doln jest równ cłce górnej, to mówimy, że funkcj f jest cłkowln w sensie Riemnn w przedzile [, b]; wspólną wrtość cłki dolnej i cłki górnej nzywmy cłką Riemnn funkcji f w przedzile [, b] i oznczmy symbolem f(x) dx. 3. Włsności cłki Riemnn Twierdzenie 7.1. Jeżeli funkcj f : [, b] R jest ogrniczon, to jest cłkowln wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej liczby dodtniej ε istnieje podził π przedziłu [, b], dl którego (0 )S(π) s(π) < ε. Bezpośrednio z definicji cłki Riemnn i kresów zbioru wynik: Wniosek 7.1. Jeżeli funkcj f : [, b] R jest ogrniczon, to jest cłkowln wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczb I tk, że dl kżdej liczby dodtniej ε istnieje podził π przedziłu [, b], dl którego I s(π) < ε i I S(π) < ε. Wtedy, jeśli funkcj jest cłkowln, to jej cłką jest liczb I. Twierdzenie 7.2. Kżd funkcj ciągł f : [, b] R jest cłkowln. Twierdzenie 7.3. Jeśli funkcj f : [, b] R jest cłkowln orz istnieją liczby c i d tkie, że c f(x) d, dl x [, b], to c (b ) f(x) dx d (b ). Twierdzenie 7.4. Niech f : [, b] R i g : [, b] R będą funkcjmi cłkowlnymi i α liczbą rzeczywistą. Wówczs nstępujące funkcje: f + g, f g, α f są cłkowlne i spełnione są równości: (f + g)(x) dx = (f g)(x) dx = (αf)(x) dx = α f(x) dx + f(x) dx f(x) dx. g(x) dx, g(x) dx,

7 62 Jcek M. Jędrzejewski Twierdzenie 7.5. Jeżeli funkcj f : [, b] R jest cłkowln w przedzile [, b], to jest cłkowln w kżdym podprzedzile [c, d] przedziłu [, b]. Pondto, jeśli c (, b), to c f(x) dx + c f(x) dx = g(x) dx Prwdziwe jest też twierdzenie odwrotne. Twierdzenie 7.6. Jeśli c (, b) i funkcj f : [, b] R jest cłkowln w przedziłch [, c] i [c, b], to funkcj f jest cłkowln w przedzile [, b] i c f(x) dx + c f(x) dx = g(x) dx Twierdzenie 7.7. Jeśli funkcj f : [, b] R m skończony lub przeliczlny zbiór punktów nieciągłości, to jest cłkowln w przedzile [, b]. Twierdzenie 7.8. Jeśli funkcje f : [, b] R i g : [, b] R są cłkowlne i f(x) g(x) dl wszystkich x [, b], to f(x) dx g(x) dx. Twierdzenie 7.9. Jeżeli funkcj f : [, b] R jest cłkowln, to funkcj f też jest cłkowln i f(x) dx f(x) dx. Twierdzenie (Twierdzenie o wrtości średniej) f : [, b] R jest ciągł w przedzile [, b], to istnieje punkt c [, b] tki, że 1 b f(x)dx = f(c). 4. Podstwowe twierdzenie rchunku cłkowego Jeśli funkcj Twierdzenie Jeśli funkcj f : [, b] R jest ciągł, to funkcj F : [, b] R określon w nstępujący sposób: F (x) = jest ciągł. x f(t)dt Twierdzenie (Podstwowe tw. rchunku cłkowego) f : [, b] R jest funkcją ciągłą i F : [, b] R jest określon nstępująco: F (x) = x f(t)dt dl x [, b], to funkcj F jest różniczkowln w kżdym punkcie przedziłu (, b) orz Jeśli F (x) = f(x), dl x (, b).

8 Z powyższego twierdzeni wynik równość: f(x)dx = F (b). N mocy poprzedniej włsności zś stwierdzmy: Nottki z nlizy 63 Twierdzenie Niech f : [, b] R będzie funkcją ciągłą. Jeśli G : [, b] R jest funkcją pierwotną funkcji f, to f(x)dx = G(b) G(). Wniokujemy ztem, że powyżej określon funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f. 5. Dlsze włsności cłki Twierdzenie (O cłkowniu przez części) Niech f i g będą funkcjmi ciągłymi w przedzile [, b], różniczkowlnymi w przedzile (, b) i pochodne będą ciągłe w przedzile (, b). Wtedy (f g) (x)dx = (fg)(b) (fg)() Twierdzenie (O cłkowniu przez podstwinie) (g f) (x)dx. Niech g : [, b] [c, d] będzie funkcją ciągłą spełnijącą nstępujące wrunki: 1. g() = c, g(b) = d, 2. g m ciągłą pochodną w przedzile (, b), 3. g (x) 0 dl kżdego x (, b). Jeśli f : [c, d] R jest funkcją ciągłą, to d c f(x)dx = f(g(t)) g (t)dt. Twierdzenie Niech (f n ) n=1 będzie ciągiem funkcji ciągłych w przedzile [, b] zbieżnym jednostjnie do funkcji f. Wtedy funkcj f jest cłkowln w przedzile [, b] i lim n f n (x)dx = f(x)dx. Wniosek Jeżeli szereg n=1 f n funkcji ciągłych w przedzile [, b] jest jednostjnie zbieżny do funkcji f : [, b] R, to funkcj f jest cłkowln i f n (x)dx = f(x)dx. n=1