Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

Transkrypt

1 Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii Cłk oznczon Zdnie. Korzystjąc z definicji cłki oznczonej uzsdnij równości: ) lim n n 4 n 5 = 5 b) lim n n e+ n e n e n n = e Zdnie. Korzystjąc z twierdzeni Newton-Leibniz oblicz nstępujące cłki oznczone: ) f(x), gdzie f(x) = { x dl x x dl < x d) 3 sgn(x x3 ) e) π (x + ) cos x f) xe x g) i) ln ex j) π π 6 b) e ln x c) π x sgn(cos x) e x h) 4 +e x cos x k) π 5+sin x sin x cos x l) 9 ( x) 4 x m) 3 x Zdnie 3. Oblicz podne cłki, jeśli 4 f(x) = 4, 4 g(x) =. ) 4 f(x) b) 4 f(x) g(x) + x x +3x Zdnie 4. wówczs ) Wykż, że jeśli funkcj y = f(x) jest ciągł i przyst n przedzile [, ], to f(x) = f(x). b) Wykż, że jeśli funkcj y = f(x) jest ciągł i nieprzyst n przedzile [, ], to wówczs c) Uzsdnij równości: f(x) =. ln ( + x) =, e cos x = x Zdnie 5. Uzsdnij, że jeśli f jest ciągł n przedzile [, b], to b f(x) = (b ) f( + (b )x). e cos x.

2 Zdnie 6. że ) Niech f będzie funkcją cłkowlną, okresową o okresie T > n R. Uzsdnij, R : T f(x) = +T f(x), b) Uzsdnij równość 4π sin x = 5 π sin x. π Zdnie 7. Oblicz cłki: ) g(x), gdy g(x) = { dl x / N dl x N ) { x dl x / Z \ {} g(x), gdy g(x) = dl x Z \ {} x +nt +T f(x) = n f(x). Zdnie 8. Korzystjąc z twierdzeni o zchowniu znku przy cłkowniu porównj cłki: ) +x i b) x e x sin x i e x sin x Zdnie 9. Wyjśnij, dlczego formlne użycie twierdzeni Newton-Leibniz przy obliczniu podnych niżej cłek prowdzi do błędnych wyników. ) b) ( ) x rctgx Zdnie. Jeśli przy obliczniu cłki x 4 + wyjdziemy z formlnie obliczonej funkcji pierwotnej F (x) = rctg 3x(x ) x 6 +, to wstwijąc x = i x = otrzymmy. Ale przecież cłk 3 x 4 4x + funkcji dodtniej jest dodtni! Gdzie tkwi błąd? Zdnie. Wyzncz funkcję: ) F (x) = x f(t)dt dl x [, ], jeśli f(x) = b) F (x) = x f(t)dt dl x [, 3], jeśli f(x) = Zdnie. Wyzncz funkcję: ) f(x) = x ( t + t + )dt dl x b) g(x) : [, + ) R dną wzorem g(x) = x t dt. Zdnie 3. Rozwiąż równnie x dt = π. ln e t 6 Zdnie 4. Korzystjąc z reguły de l Hospitl oblicz grnice: x ) lim x x ln ( ) + t dt b) limx x x dl x [, ] x dl x (, ] x dl x (, ] x dl x [, ] x + 4 dl x (, ] dl x (, 3] cos tdt t

3 Odpowiedzi do rozdziłu Zdnie. ) 5 6 b) 3 + ln c) π 4 d) e) π f) e g) e + ln ( ln 3) i) ( π 4 ) j) 5 (rctg 5 rctg ) k) 3 l) ln 4 9 m) 5 Zdnie 3. ) b) Zdnie 7. ) b) 48 Zdnie 8. ) Zdnie. ) F (x) = { Zdnie. ) f(x) = Zdnie 3. x = ln 4 Zdnie 4. ) b) +x < b) x e x sin x < x + ; x [, ] x + ; x (, ] x ; x (, ] 3 6 x ; x [, ) x + ; x e x sin x b) F (x) = b) g(x) = x x ln 5 4 +e h) x ; x [, ] x + 4x 7 ; x (, ] x 3 ; x (, 3] + x ; x [, ) + 3x ; x [, 3) 3x + 8 ; x 3 x x Cłki niewłściwe Zdnie 5. Korzystjąc z definicji zbdj zbieżność nstępujących cłek niewłściwych pierwszego rodzju (dl cłek zbieżnych oblicz ich wrtości): ) + b) + x 4 c) sin x d) + 3x+ x e) + ln x f) + x sin x x g) + e x sin x h) + x +x+ i) x x +4 j) 3 3x 5 k) + e x l) + x ln (x + ) m) + rcctgx n) q) + r) + rctgx s) + x +x x o) + e x p) + x +x+ x 3x +8x+4 (x+3) (x 4x+6) x +x 5 +x Zdnie 6. Oblicz pole obszru nieogrniczonego, którego brzegiem jest odcinek prostej x =, część osi Ox, dl x < i część krzywej y =, dl [, + ). x (x+) Zdnie 7. Oblicz pole obszru nieogrniczonego, którego brzegiem jest prost y = orz krzyw y = x. x 4 + Zdnie 8. Zndj zbieżność cłki, dl >, α >. x α Zdnie 9. Korzystjąc z definicji zbdj zbieżność nstępujących cłek niewłściwych drugiego rodzju (dl cłek zbieżnych oblicz ich wrtości): 3

4 ) (x ) b) e x ln x c) x 3 d) x 5 4x 4x e) x f) ln x g) 3 π π sin x h) π 3 cos x 3 sin x i) 3 π x sin x j) e k) x ln x l) x 4x+3 x m) 6 x 3 x 4 n) x rcsin x o) x +3x p) e x 3 x q) 3 π x sin x Zdnie. Zbdj zbieżność cłki b, dl < b, λ >. (x ) λ Zdnie. Poprzez podtwienie t = tgx sprowdź cłkę π I-go rodzju (tj. w przedzile nieskończonym). Oblicz otrzymną cłkę. cos x+b sin x do cłki niewłściwej Zdnie. Poprzez podtwienie x = 5 sprowdź cłkę niewłściwą II-go rodzju (tj. z funkcji t nieogrniczonej) 5 5 x do cłki niewłściwej I-go rodzju (tj. w przedzile nieskończonym). Oblicz otrzymną cłkę. Zdnie 3. Oblicz pole obszru, którego brzegiem jest odcinek osi Ox dl x 9, rzędne w punktch x =, x = 9 i krzyw y = 3 x. Odpowiedzi do rozdziłu Zdnie 5. cłki zbieżne: ) g) h) π n) 3 π o) e p) ln ( ) q) ln r) π + ln s) + π cłki rozbieżne do : b) d) e) i) k) m) cłki rozbieżne do : j) cłki rozbieżne (grnic nie istnieje): c) f) w przykłdzie l) definicj nie pozwl zbdć zbieżności (prowdzi do symbolu nieoznczonego) Zdnie 6. ln Zdnie 7. π Zdnie 8. rozbieżn dl α, zbieżn dl α > Zdnie 9. cłki zbieżne: b) d) π e) π f) h) j) n) ln π 3 p) e cłki rozbieżne do : ) c) g) k) l) m) cłki rozbieżne (grnic nie istnieje): i) q) Zdnie. rozbieżn dl α, zbieżn dl α < Zdnie. π b Zdnie. π Zdnie

5 3 Krzywe n płszczyźnie dne równnimi prmetrycznymi i we współrzędnych biegunowych Zdnie 4. ) Czy punkt (5, ) leży n okręgu x(t) = + 5 cos t, y(t) = sin t? b) Czy punkt (, 3) leży n okręgu x(t) = cos t, y(t) = sin t? Zdnie 5. Sprowdź do postci y = f(x) lub F (x, y) = równni linii dnych opisem prmetrycznym: ) x(t) = 3t, y(t) = 6t t b) x(t) = cos t, y(t) = sin t c) x(t) = t 3 +, y(t) = t d) x(t) = t sin t, y(t) = cos t e) x(t) = cos 3 t, y(t) = sin 3 t f) x(t) = (et + e t ), y(t) = (et e t ) g) x(t) = tgt, y(t) = cos t Zdnie 6. Znjdź wrtość prmetru t odpowidjącą dnym współrzędnym punktu n krzywej, której równnie dne jest prmetrycznie: ) x(t) = 3( cos t cost), y(t) = 3( sin t sin t), P = ( 9, ) b) x(t) = t + t, y(t) = t 3 + t, P = (3, ) c) x(t) = tgt, y(t) = sin t + sin t, P = (, ) Zdnie 7. Nrysuj krzywe: ) r = ( + cos ϕ) b) r = ϕ, > c) r = cos ϕ Odpowiedzi do rozdziłu 3 Zdnie 4. ) tk b) nie Zdnie 5. ) 9y 8x + x = b) y 4x ( x ) = c) y (x ) = d) x = rccos ( y) sin (rccos ( y)) e) x 3 + y 3 = 3 f) x y = g) y = +x Zdnie 6. ) t = (k + )π, k Z b) t = c) t = π 4 + kπ, k Z 4 Zstosowni geometryczne cłek 4. Funkcj dn wzorem y=f(x) lub równniem F(x,y)= Zdnie 8. Podj przykłdowy wzór funkcji f tkiej, że: ) f const, f(x) = 5

6 b) f(x) =, f(x) <, f(x) = c) f(x) = x, x [, ] : f(x) x d) f(x) =, f(x) = 4, x : f(x) Zdnie 9. Oblicz pol obszrów ogrniczonych krzywymi: ) y = sin x, dl x [, π] orz osią Ox b) x 9 + y 4 = c) y = x 3 + x x dl x [, ] i osią Ox d) y = x, x = 8 e) y = sin x, y = cos (x) i osią Oy f) y = x, y = x, y = 8 dl x g) y = x, y = 5 x, y = x 5 x x h) y =, y = 3x i) (x ) + (y ) = 4 4 j) y = x +4x 3, y = 6 x, y = 4x 3 k) xy = 4, x+y = 5 l) y = x, x +y 4x = m) y ( x) = x( x) Zdnie 3. Dn jest elips x + y = i leżący n elipsie, w I ćwirtce ukłdu współrzędnych b punkt P = (x, y ). Oblicz pole obszru trpezu krzywoliniowego, będącego wycinkiem obszru ogrniczonego elipsą, o wierzchołkch (, ), (, b), P, (x, ). Zdnie 3. Oblicz długości nstępujących łuków: ) y = x, x [, ] b) y = x odcięty prostą x = 4 3 c) y = x x, x [, ] d) y = ln (sin x), x [ π 3, π ] e) y = ln x, x [ 3, ] f) y = x x + rcsin x g) y = ln ex + e x Zdnie 3. W jim stosunku prbol y = x dzieli kwdrt K = {(x, y) : x, y }. Oblicz pole i obwód jednego z dwóch (dowolnie wybrnego) wycink tego kwdrtu. Zdnie 33. Oblicz objętość bryły ogrniczonej powierzchnią powstł przez obrót: ) dookoł osi Ox łuku prboli y = 4x, w grnicch x 3. b) dookoł osi Ox linii y = sin x orz płszczyznmi x =, x = π. c) dookoł osi Ox figury płskiej ogrniczonej krzywymi o równnich y = x, y = x. d) dookoł osi Oy figury płskiej x, y e x. e) łuku krzywej y = e x sin x, dl x [, π] dookoł osi x. f) dookoł osi Ox figury płskiej ogrniczonej krzywymi o równnich y = 3 x, y = x. 6

7 Zdnie 34. Oblicz pole powierzchni Σ powstłej z obrotu: ) wokół osi Ox wykresu funkcji y = x 3, dl x. b) wokół osi Ox okręgu x + (y 3) = 4 (otrzymujemy torus). c) prboli y = x odciętej prostą y = 3 wokół osi Oy. Zdnie 35. Oblicz objętość bryły ogrniczonej przez x + y b =, x + z =. b Zdnie 36. Oblicz objętość bryły powstłej przez obrót figury ogrniczonej przez x =, y = 4 x wokół osi Oy. Zdnie 37. Oblicz objętość bryły powstej przez obrót wokół osi Oy figury ogrniczonej przez y = x orz y = x. Zdnie 38. Oblicz pole powierzchni i objętość kuli x + y + z R. Zdnie 39. Oblicz objętość elipsoidy powstłej z obrotu wokół osi Ox łuku elipsy x + y =. b Zdnie 4. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły obrotowej (tu elipsoid) powstłej przez obrót dookoł osi Ox krzywej 6x + 8y = 44. Uwg: Równnie elipsy o środku w punkcie (x, y ) i półosich długości, b: (x x ) + (y y ) b = 4. Krzywe dne równnimi prmetrycznymi Zdnie 4. Oblicz pole obszru ogrniczonego łukiem cykloidy x = (t sin t), y = ( cos t) dl t [, π]i osią Ox. Zdnie 4. Oblicz pole obszru ogrniczonego pętlą linii x = t, y = t 3 t3, t [, 3]. Zdnie 43. Oblicz pole obszru ogrniczonego steroidą x(t) = cos 3 t, y(t) = sin 3 t. Zdnie 44. Oblicz długość łuku krzywej: ) x(t) = r cos t, y(t) = r sin t (okrąg o promieniu r). b) x = r(cos t + t sin t), y = r(sin t t cos t), t [, π], r > (ewolwent okręgu). c) x = t, y = t t3 3, t [, 3]. d) x = cos t + ln(tg t ), y = sin t, t [ π, 3 π]. Zdnie 45. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót dookoł osi Ox: ) krzywej x = R cos t, y = R sin t, t [, π]. b) cykloidy x = (t sin t), y = ( cos t), t [, π], >. 7

8 Zdnie 46. Oblicz pole powierdzni bryły obrotowej powstłej przez obrót wokół osi Ox steroidy x = cos 3 t, y = sin 3 t. Zdnie 47. Oblicz pole powierzchni bryły powstłej przez obrót wokół osi Ox krzywej x = 3t sin 3t + cos 3t, y = 3t cos 3t sin 3t, t [ π 6, ]. 4.3 Współrzędne biegunowe Zdnie 48. Oblicz pole obszru ogrniczonego: ) krdioidą r = ( + cos θ), >, θ [, π]. b) rozetą czterolistną r = sin ϕ, dl > orz ϕ [, π]. Zdnie 49. Oblicz długośc łuku krzywej: ) r = ( + cos ϕ), >, ϕ [, π ] b) r = sin3 ϕ 3, ϕ [, π 3 ] Zdnie 5. Nszkicuj podne krzywe i oblicz pol ogrniczonych nimi obszrów. W tym celu wprowdź współrzędne biegunowe. ) (x + y ) = (x y ), > (lemniskt Bernoulliego) b) (x + y ) 3 = 4 xy(x y ), > c) (x + y ) = xy, > Odpowiedzi do rozdziłu 4 Zdnie 9. ) 4 b) 9π c) 37 d) h) 8 i) 4π j) 9 k) 5 4 ln 4 l) π e) f) 3 ) 3 g) b Zdnie 3. x + b Zdnie 3. ) 7 + ln (4 + 7) b) c) π d) ln 3 e) + ln 3 f) 4 7 e g) ln (eb ) (e ) e b Zdnie 3. : 6, pole , obwód ln Zdnie 33. ) 8π b) π c) 3 π d) π( e ) e) π 5 ( + e π ) f) π Zdnie 34. ) π 7 ( ) b) 4π c) 4 3 π Zdnie b Zdnie π Zdnie 37. π 6 3 8

9 Zdnie 38. 4πR Zdnie πb Zdnie 4. 8 π( + ln (3 + 3 )) Zdnie 4. 3π Zdnie Zdnie π Zdnie 44. ) πr b) π r c) 3 d) ln Zdnie 45. ) V = 4 3 πr3, S = 4πR Zdnie π b) V = 5π 3, S = 64 3 π Zdnie 47. π( π 6 ) Zdnie 48. ) 3π Zdnie 49. ) b) π b) 3 4 π Zdnie 5. ) b) 4 c) 9