1 00502 Kinematyka D Dane osobowe właściciela akusza 00502 Podstawy kinematyki D Część 2 Iloczyn wektoowy i skalany. Wektoowy opis uchu. Względność uchu. Pędkość w uchu postoliniowym. Instukcja dla zdającego Aktualizacja Kwiecień ROK 2008 1. Poszę spawdzić, czy akusz teoetyczny zawiea 8 ston. Ewentualny bak naleŝy zgłosić. 2. Do akusza moŝe być dołączona kata wzoów i stałych fizycznych. Jeśli jest, naleŝy ją dołączyć do oddawanej pacy. 3. Poszę uwaŝnie i ze zozumieniem pzeczytać zawatość akusza. 4. Poszę pecyzyjnie wykonywać polecenia zawate w akuszu: ozwiązać pzykładowe zadania, wypowadzić wzoy, gdy jest takie polecenie. 5. Poszę analizować wszelkie wykesy i ysunki pod kątem ich zozumienia. 6. W takcie obliczeń moŝna kozystać z kalkulatoa. 7. Wszelkie fagmenty tudniejsze poszę zaznaczyć w celu ich późniejszego pzedyskutowania. 8. Uzupełniaj wiadomości zawate w akuszu o infomacje zawate w Intenecie i dostępnej ci liteatuze. 9. Znak * dotyczy wiadomości wykaczających poza amy pogamu matualnego. śyczymy powodzenia! (Wpisuje zdający pzed ozpoczęciem pacy) PESEL ZDAJĄCEGO
2 00502 Kinematyka D Temat: 5 Iloczyn skalany i iloczyn wektoowy. 1. Iloczyn skalany a b jest iloczynem jednego wektoa pzez zut dugiego wektoa na kieunek piewszego wektoa (ys. 1). α b a (1) a b = a b cosα Rys. 1 Wynikiem iloczynu skalanego jest wielkość skalana o watości okeślonej wzoem (1). Z mnoŝeniem skalanym wektoów mamy do czynienia w fizyce np. pzy definicji pacy mechanicznej. 2. Iloczyn wektoowy. W wyniku mnoŝenia wektoowego dwóch wektoów, co zapisujemy a x b,otzymujemy nowy wekto c postopadły do wektoów a i b o zwocie okeślonym m. in. pzez egułę kokociągu i o watości zgodnej ze wzoem (2). c b (2) c = a b sinα α a 3. Wektoy jednostkowe*. Wekto pędkości moŝe być okeślany pzez podanie jego tzech składowych ( v v v x y z,, ). UŜywamy wówczas takiej symboliki: (3) v = i v + jv + kv x y z We wzoze (3) i, j, k są zdefiniowane jako wektoy jednostkowe (wesoy) wzdłuŝ osi odpowiednio x, y, z. Analityczny sposób pzedstawiania wektoów za pomocą wesoów jest badzo wygodny, gdyŝ upaszcza badzo wiele działań na wektoach i umoŝliwia łatwe pzedstawianie wzou w postaci wektoowej:
3 00502 Kinematyka D F G M = m $ (4) 2 Suplement: Pzydatne wzoy wynikające z twiedzenia Pitagoasa i twiedzenia kosinusów: 2 a) c = a + b 2, gdzie c jest pzeciwpostokątną tójkąta postokątnego o pzypostokątnych ównych a i b, 2 2 b) c = a + b + 2ab cosα, gdzie c jest pzekątną ównoległoboku utwozonego pzez wektoy o długościach a i b spięte pod kątem α. Temat: 6 Ruch i jego względność. 1. Mechanika jest nauką, któa bada i wyjaśnia uchy ciał oaz waunki i pzyczyny, na skutek któych ciała pouszają się lub pozostają w spoczynku. Mechanika statyka kinematyka dynamika Statyka - nauka o zjawiskach ównowagi sił. Kinematyka - nauka badająca uchy ciał niezaleŝnie od ich pzyczyn. Dynamika - nauka badająca uchy ciał w zaleŝności od występujących sił. 2. Ruchem mechanicznym nazywamy zmianę, w miaę upływu czasu, wzajemnego połoŝenia ciał w pzestzeni lub jednych ich części względem innych. 3. Podstawowymi pojęciami nie tylko w fizyce, lecz takŝe we wszystkich naukach pzyodniczych, są pojęcia pzestzeni i czasu. Nonsensem jest pojęcie pustej pzestzeni i czystego czasu nie związanych z mateią w uchu. Związek między tymi dwoma fomami istnienia mateii i zaleŝności tych fom od uchu mateii wyjaśniła w duŝym stopniu teoia względności. 4. Ruch jest pojęciem względnym: badane ciało moŝe być względem jednych ciał w spoczynku i ównocześnie względem innych w uchu. Jego opis zaleŝy od wybou układu odniesienia (połoŝenia obsewatoa). Pzykład: Człowiek w windzie, któa się wznosi, jest w spoczynku względem windy, natomiast pousza się po linii postej względem domu, w któym jest zainstalowana winda.
4 00502 Kinematyka D 5. Ruch ciała opisujemy w ten sposób, Ŝe podajemy połoŝenie tego ciała w kaŝdej chwili względem jakiegoś innego ciała (lub zbiou ciał względem siebie nieuchomych). Z ciałem lub zbioem ciał, względem któych opisujemy uch, wiąŝemy zwykle w kinematyce jakiś układ współzędnych, najczęściej jest to układ współzędnych postokątnych 6. Układ współzędnych związany z ciałem (lub zbioem ciał), względem któego opisujemy uch innych ciał, nazywamy układem odniesienia 7. Układ współzędnych postokątnych (płaski) pzedstawia ys. 1: y Rys. 1 y p P(x p,y p ) 0 x p x 8. Opisując zjawiska posługujemy się zwykle pewnymi abstakcyjnymi modelami, gdyŝ uzyskujemy pzez to większą postotę opisu. Jednym z takich modeli jest punkt mateialny Punktem mateialnym nazywamy ciało, któego ozmiay są małe w poównaniu z pokonywanymi pzez nie odległościami. 9. Podczas swojego uchu punkt mateialny pzemieszcza się do coaz to dalszych punktów pzestzeni. Zbió tych punktów stanowi to uchu, któy moŝe być linią postą lub kzywą. 10. W zaleŝności od kształtu tou moŝemy ozóŝnić: Ruch postoliniowy kzywoliniowy Ruch kzywoliniowy moŝe być płaski lub pzestzenny. Pzykładem uchu płaskiego jest uch po elipsie, po okęgu itp., pzykładem uchu pzestzennego (tójwymiaowego) - uch po linii śubowej. Długość odcinka tou zakeślonego pzez punkt mateialny stanowi dogę.
5 00502 Kinematyka D Temat: 7 Wektoowy opis uchu. 1. PołoŜenie punktu mateialnego względem układu odniesienia jest opisane popzez podanie co najwyŝej tzech współzędnych tego punktu. Fakt ten wyaŝa właśnie podstawową zaletę punktu mateialnego jako modelu ciała. 2. Aby zaobsewować uch, musimy zatem wybać układ odniesienia oaz stwiedzić zmianę połoŝenia pouszającego się punktu mateialnego względem tego układu. Zmiana połoŝenia oznacza, Ŝe w momencie ozpoczęcia obsewacji (chwila t o ) punkt znajdował się w połoŝeniu A (ys.1), a w momencie jej zakończenia (chwila t) - w punkcie B. y y 1 A s 1 0 s 2 s 3 0 x 1 x 2 x Rys. 1 Rys. 2 s 4 Na ysunku 1 mamy: Wekto o = OA nazywany wektoem połoŝenia początkowego, Wekto = OB nazywany wektoem połoŝenia końcowego, 3. Wekto zwany pzesunięciem (pzemieszczeniem), okeśla zmianę połoŝenia punktu mateialnego w danym układzie, któa zaszła w czasie t = t - t 0, a więc nie tylko odległość od punktu B do punktu A, ale ównieŝ kieunek, w któym pzesunął się dany punkt mateialny w czasie t i zwot. Początek wektoa leŝy w punkcie A, a koniec w punkcie B. 4. Pzesunięcie (pzemieszczenie) dodaje się ównieŝ wektoowo stosując np. egułę ównoległoboku, czy teŝ wieloboku sił. 5. Pzesunięcie świadczy o uchu i okeśla jego wektoowy chaakte, ale nie opisuje tego uchu (ys.2). 6. Tylko w uchu postoliniowym moŝna pzyjąć ówność dogi, któą się zawsze miezy wzdłuŝ tou, i watości wektoa pzesunięcia: s = 7. W uchach kzywoliniowych tzeba dokonać badziej złoŝonej opeacji, któa bywa analizowana na zajęciach z matematyki.
6 00502 Kinematyka D Temat: 8 Pędkość w uchu postoliniowym. 1. W naszym wieku - w dobie samochodów - pędkość jest pojęciem, któe poznajemy juŝ w dzieciństwie. Pędkościomiez samochodu wskazuje wielkość chwilowej pędkości. w kilometach na godzinę ( km h ) Pędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu. 2. Pędkość stała. Jeśli samochód pousza się ze stałą pędkością v, to odległość jaką pzebywa w czasie t jest x = vt. JeŜeli w czasie t 0 znajdował się w punkcie x 0, to (1) x - x 0 = v(t - t 0 ), czyli x x (2) v = t t 0 0 (stała pędkość) ZaleŜność między x i t pzedstawia ysunek 1a i 1 b: y x x 0 0 x 0 x 0 t 0 t Rys. 1 a Rys. 1 b Wielkość v moŝe być dodatnia lub ujemna, jej znak wskazuje kieunek uchu. Jeśli pędkość v jest ujemna, to uch odbywa się w stonę malejących x. 3. Pędkość chwilowa. JeŜeli samochód zwalnia albo pzyspiesza, to wskazania szybkościomieza nie zgadzają się ze wzoem (2), chyba Ŝe uŝyjemy badzo małych watości x - x 0. Takie badzo małe watości x - x 0 oznaczać będziemy pzez x, a badzo małe odstępy czasu, w któych samochód pzebył dogę x, jako t. Wtedy pędkość chwilowa jest ganicą, gdy t dąŝy do ze- x t a. (3) v = lim t 0 Właśnie tak dokładnie definiuje się w achunku óŝniczkowym piewszą pochodną x względem czasu t co zapisujemy: x t (4) v = dx dt
7 00502 Kinematyka D Nachylenie kzywej pzedstawiającej zaleŝność x od t jest pędkością chwilową. Intepetację geometyczną pędkości chwilowej pzedstawia ysunek 2. x Kzywa na ys. 2 ma nachylenie x 1 (5) v = x t x t 2 1 2 1 = tgα x 2 któe w ganicy, gdy t 2 zbliŝa się do t 1 jest 0 t 1 t 2 t nachyleniem kzywej. Rys. 2 Wykes pzedstawia zaleŝność połoŝenia x od czasu t w dowolnym uchu. 4. Pędkość śednią okeślamy zgodnie ze wzoem (6): (6) v x x ś = 0 t W kinematyce pzyjmuje się, Ŝe temin pędkość śednia oznacza pędkość śednią względem czasu (uśednioną po czasie). Zatem pędkość śednia nie zawsze oznacza śednią matematyczną Zadania: 1. Kozystając ze wzou (6) wykaŝ, Ŝe ciało, któe w czasach t 1 i t 2 pzebyło jednakowe dogi wynoszące za kaŝdym azem s, pouszało się z pędkością śednią, zgodną ze wzoem (7). (7) v 2v v ú v + v 1 2 =, 1 2 v 1 i v 2 to pędkości ciała odpowiednio w chwilach t 1 i t 2. 2. Kiedy pędkość śednią moŝemy policzyć jako śednią matematyczną, czyli: (8) v = v + v ś 2 1 2. Koniec
8 00502 Kinematyka D Notatki: