Energia w geometrii Schwarzshilda

Transkrypt

1

2 Enegia w geometii Schwazshilda Doga po jakiej pousza się cząstka swobodna pomiędzy dwoma zdazeniami w czasopzestzeni jest taka aby czas zmiezony w układzie cząstki był maksymalny. Rozważmy cząstkę spadającą adialnie (dϕ=0) na obiekt o masie. d d τ = dϕ 1 Dla segmentu dogi A mamy: wyazy niezależne od t A t τ = + A t d τ A A t = = 1 wyazy niezależne od t A τ t 1 + A 1 Ustalone pozycje Ustalona chwila czasu 0 Ustalona chwila czasu T. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8- A Zmienna chwila czasu t

3 Enegia w geometii Schwazschilda Podobnie dla segmentu dogi B dostajemy: wyazy niezależne od t τ B = ( T t ) + B ( T t ) d τ B B T t = = 1 wyazy niezależne od t B τ B ( T t ) + B Całkowity czas zmiezony w układzie cząstki: τ=τ A +τ B pzyjmuje dla uchu swobodnego watość maksymalną: dτ dτ A dτb t T t = + = = A τ A 0 B τb Wpowadzając oznaczenia: t=t A, T-t=t B znajdujemy: t A tb const = = E A τ A const B τ = = B dτ m. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-3 1

4 Enegia miezona w nieskończoności W OTW enegia nie dzieli się na kinetyczną, potencjalną, spoczynkową. Jak zmiezyć całkowitą enegię satelity kążącego po ustalonej obicie? umieszczamy cząstkę testową na obicie w dużej odległości (tak aby popawny był opis Newtona) -> znajdujemy całkowitą masę układu: total m mv v G = total = G Enegia satelity E = total - sta Pzykład: Rozważmy zega o masie m umieszczony na powłoce sfeycznej o współzędnej = 0. Ile wynosi enegia zegaa z punktu widzenia odległego obsewatoa? dτ shell = 0 1 E 1 = m = d = τ 1 = shell 0 słuszne dla obiektu spoczywającego na sfeze o pomieniu 0 na zewnątz hoyzontu dla 0 -> mamy E -> m (STW) w pobliżu czanej dziuy E<m enegia wiązania gawitacyjnego. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-4

5 Swobodny spadek z dużej odległości Rozważamy cząstkę, początkowo nieuchomą, spadającą z nieskończonej odległości na czaną dziuę, z punktu widzenia układu Schwazschilda. E = m = 1 dτ = d τ = d = 1 1 d = - bo cząstka spada i d<0 cząstka zwalnia zbliżając się do hoyzontu i osiąga pędkość d=0 na hoyzoncie cząstka znajdzie się na hoyzoncie zdazeń po nieskończonym czasie. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-5

6 Spadek swobodny z dużej odległości Rozważamy cząstkę, początkowo nieuchomą, spadającą z nieskończonej odległości na czaną dziuę, z punktu widzenia układu sfey (shell). Obsewato znajdujący się na sfeze miezy bezpośednio odległość pomiędzy zegaami zamontowanymi na sfeze (ozsepaowanymi w kieunku adialnym): 1 d d σ = shell = d Podobnie obsewato znajdujący się na sfeze miezy czas: shell = A więc pędkość cząstki zmiezona pzez tego obsewatoa wynosi:. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład dshell d = = shell Pędkość zmiezona pzez tego obsewatoa dąży do pędkości światła kiedy cząstka osiąga hoyzont.

7 Lokalny pomia enegii cząstki Lokalny obsewato znajdujący się na sfeze miezy tym większą enegię cząstki im bliżej hoyzontu się ona znajduje. v shell 1 dshell = = shell Obsewato na sfeze do opisu zdazeń stosuje lokalnie STW: E m shell 1 = γ = = v 1 shell E shell jest wielkością lokalną (nie jest stałą uchu) Jest enegią cząstki wynikającą ze STW, a więc sumą enegii spoczynkowej i kinetycznej Dla -> mamy E=m. Słuszny jest związek: 1 E E shell = 1. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-7

8 Wewnątz hoyzontu Wokół czanej dziuy (dla >6) mogą istnieć stabilne obity. Dopóki nie pzekoczymy hoyzontu (=) zawsze możemy zawócić oment pzekaczania hoyzontu niczym specjalnym się nie wyóżnia Wewnątz hoyzontu nie mogą istnieć układy na sfeze nie może tam istnieć nic stacjonanego. Infomacje i pzesyłki mogą być wysyłane jedynie z zewnątz do wewnątz hoyzontu (np. wciąż widzimy gwiazdy, tylko w tochę innych koloach i położeniach ) Współzędna zmienia chaakte z pzestzenno na czaso-podobną, co oznacza, że uch w kieunku centum jest nieunikniony. Czas potzebny do osiągnięcia centalnej osobliwości: 0 E = m = 1 4 d 1 τ = d = [ m] τ d 3 = 1 d d τ τ 8 6 = τ sec = = =. [ s] c 9. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-8

9 aksymalna pędkość na hoyzoncie Pzykład: Rozważmy cząstkę któa spada na czaną dziuę z nieskończoności, ale z początkową pędkością óżną od zea. const E 1 = = m γ dτ 1 v d d = γ τ = γ 0 0 d 1 = 1 γ dshell d 1 = = shell 1 γ 0 aksymalna pędkość cząstki pzekaczającej hoyzont to pędkość c.. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-9 1

10 Wewnątz czanej dziuy Pzykład: Paamety 0-letniej czanej dziuy, tzn. takiej, w któej czas podóży obsewatoa (statującego ze stanu spoczynku w nieskończoności) od hoyzontu do osobliwości twa na jego zegaze 0 lat. = 1 4 d τ = = τ d 3 = 1 d dτ τ 8 = τ sec = = 4 10 c d 3 = τ = τ = 0 y = m = 15 ly = m = = = ly [ s] [ m] etoda pomiau współzędnej wewnątz hoyzontu: C CC AA A Hoyzont. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-10

11 Układ swobodnie spadający fee fall układ związany z akietą pouszającą się swobodnie, wewnątz hoyzontu czanej dziuy (adialnie), któa ozpoczęła swój uch od stanu spoczynku w dużej odległości od źódła pola gawitacyjnego. 1 1 d d = = dτ ff 1 d = ff 3 3 ( ). Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład t ff t1 ff = 1 3

12 Układ swobodnie spadający Odległość pomiędzy sfeami z punktu widzenia obsewatoa fee fall : d shell shell = ff ff 1 shell shell ( v ) shell shell d d d d = = 1 1 = 1 1 = 1 d d d Uwaga: Związek d ff = d słuszny tylko dla obsewatoa z układu fee fall wykonującego pomia odległości pomiędzy zdazeniami ównoczesnymi (standadowa metoda pomiau długości). Inne możliwe układy: - stat w nieskończoności z óżną od zea pędkością początkową, - stat w skończonej odległości ze stanu spoczynku.. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-1

13 Agumenty za: Szybciej niż światło? 1 d = większa od c dla < ff Czas własny miezony pzez obsewatoa pouszającego się adialnie od hoyzontu do osobliwości τ = 43 jest mniejszy od pomienia hoyzontu. Obsewato swobodnie spadający pzekacza hoyzont z pędkością światła, a wewnątz musi pouszać się jeszcze szybciej. Agumenty pzeciw: fee fall układ spadający swobodnie STW światło mija obsewatoa z pędkością c, a więc nie może się on pouszać szybciej niż światło pędkość własna światła dx dx d = γ = γv = w STW jest nieskończona dτ ff Wszyscy lokalni obsewatozy zgadzają się co do tego, że żaden obiekt nie pousza się szybciej niż światło.. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład

14 etyka w układzie fee fall Układ fee fall pozwala tylko na lokalny opis zjawisk. Poszukujemy globalnej metyki możliwej do zastosowania zaówno na zewnątz jak i wewnątz hoyzontu. Taka metyka istnieje we współzędnych, ϕ, t ff. dshell 1 1 shell dshell = d = 1 1 ff ( shell vdshell ) v d = γ = γ + γ 1 1 ff vd = + = ff d γ d τ = d dϕ = 1 ff ff = d d dϕ 1 v = = shell γ =. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład S: shell fame S : fee fall dla ff = 0 mamy geometię euklidesową! pzestzeń jest lokalnie płaska!

15 Ruch wewnątz hoyzontu W układzie fee fall uch cząstki może odbywać się jedynie w stożku świetlnym: dτ = d + + d dϕ ff ff Dla światła (dτ=0) pouszającego się adialnie (dϕ=0) mamy: d = ± 1 ff A więc wewnątz hoyzontu nawet światło wyemitowane z układu fee fall w kieunku adialnym na zewnątz, pousza się w stonę centum. Oznacza to że dowolny obiekt mateialny musi wewnątz hoyzontu pouszać się w kieunku malejącego, a więc hoyzont można pzekoczyć tylko w jedną stonę.. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-15

16 Światło wewnątz i na zewnątz hoyzontu Pzykład: Rozważmy pomień światła wysłany z fee fall w kieunku na zewnątz w obszaze na zewnątz i wewnątz hoyzontu. Jak zależy pędkość własna światła od współzędnej? d = = = = d ff 0 ff d = = = = d ff ff Pzykład: Dla wyznaczonych wyżej watości znaleźć pędkość pomienia światła wysłanego adialnie do śodka z układu fee fall d ff = 1 = = 1 = Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-16 d ff

17 Radialne tajektoie światła d ˆ ˆ ˆ ˆ t = ± 1 t = ˆ ff = d ff ˆ ˆ ˆ ˆ ± 1 t ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ff t1 ff = ± 1 1 ) + 4 ln ± ˆ. Pzybycień Szczególna i Ogólna Teoia Względności Wykład 8-17