Wykład 1. Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Przestrzeń probabilistyczna.

Transkrypt

1 Podstawowe pojęcia. Wykład Elementy achunku pawdopodobieństwa. Pzestzeń pobabilistyczna. Doświadczenie losowe-doświadczenie (zjawisko, któego wyniku nie możemy pzewidzieć. Pojęcie piewotne achunku pawdopodobieństwa - zdazenie elementane (pojedynczy wynik doświadczenia losowego Def.. Zbió wszystkich możliwych zdazeń elementanych dla danego doświadczenia losowego nazywamy pzestzenią zdazeń elementanych i oznaczamy Ω. Zdazenia elementane oznaczamy wówczas ω, ω, ω 3,. Pzykład: a doświadczenie-zut jedną (! monetą Ω={ ω, ω }, ω -wyzucenie oła, ω -wyzucenie eszki lub Ω={ O,R}, b doświadczenie-zut kostką c Ω={ ω, ω,ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 }, gdy ω i wyzucenie i oczek na kostce, i=,,3,4,5,6 d doświadczenie-zut dwukotny kostką do gy Ω={ (ω i, ω j,i,j=,,3,4,5,6}, gdy ω i wyzucenie i oczek na kostce, i=,,3,4,5,6

2 Def.. Podzbió pzestzeni zdazeń elementanych nazywamy zdazeniem losowym (zdazeniem. Oznaczamy jak zbioy: A, B, C, Działania na zdazeniach (algeba zdazeń uma: AB= Iloczyn: AB= Różnica: A -B= Def.3. Zdazenie odpowiadające podzbioowi pustemu nazywamy zdazeniem niemożliwym i oznaczamy. Def.4. Zdazeniem pzeciwnym do zdazenia A nazywamy óżnicę Ω A i oznaczamy. Def.5. Zdazenia, któych iloczyn jest zdazeniem niemożliwym nazywamy zdazeniami wykluczającymi się tzn. AB=. Pzykład.

3 Z patii towau losujemy 3 sztuki. Okeślamy zdazenia: A-dokładnie jedna sztuka doba wśód wylosowanych B- co najwyżej jedna sztuka doba wśód wylosowanych C-co najmniej jedna sztuka doba wśód wylosowanych. Co oznaczają zdazenia pzeciwne do danych oaz suma i iloczyn każdej z pa zdazeń? Rozwiązanie: -0, lub 3 dobe wśód wylosowanych -co najmniej dobe wśód wylosowanych -0 dobych wśód wylosowanych (wszystkie 3 wadliwe AB =B, AB =A AC =C, AC =A CB =Ω, CB =A Pawdopodobieństwo zdazeń. Def.6. (aksomatyczna Dana jest pzestzeń Ω oaz odzina zdazeń. Funkcję nazywamy pawdopodobieństwem, jeśli spełnia następujące aksjomaty: P(Ω= 3

4 Jeśli A to P(A 0. 3 Jeśli A, A, A 3, oaz A i A j = dla i j to P(A A A 3 =P(A +P(A +P(A 3 + Definicja klasyczna: gdzie oznacza moc zbiou A. Zakładamy więc, że Ω jest zbioem skończonym(!. Pzykład: Rzucamy kostką do gy. Jakie jest pawdopodobieństwo, że wyzucimy pazystą liczbę oczek? Rozwiązanie: =3 P(A= Pawdopodobieństwo geometyczne: 4

5 gdzie m(a oznacza długość, pole lub objętość zdazenia. Zakładamy więc, że Ω jest odcinkiem, figuą płaską lub byłą. Pzykład. Jakie jest pawdopodobieństwo, że punkt zucony w koło o pomieniu R znajdzie się wewnątz wpisanego w nie kwadatu? Rozwiązanie: Ω A R m(ω=π R m(a= = R Własności pawdopodobieństwa: P(=0 P( 3 5

6 4 Jeśli AB to P(A P(B Def.7. Tójkę upoządkowaną (Ω,, P nazywamy pzestzenią pobabilistyczną. Zmienna losowa. Def.. Dana jest pzestzeń pobabilistyczna (Ω,,P. Funkcję X:ΩR nazywamy zmienną losową, jeśli dla dowolnego ar, {ω: X(ω<a}. Oznaczamy zmienne losowe dużymi liteami z końca alfabetu: X,Y,Z Def.. Rozkładem pawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy pawdopodobieństwa postaci: P({ω: X(ωA} P{XA}, AR. Def.3. Dystybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję zeczywistą F:R[0,] okeśloną wzoem: F(=P{X<}. 6

7 Def.4. Zmienna losowa ma ozkład typu skokowego jeśli pzyjmuje pzeliczalną (skończoną liczbę watości,, 3, odpowiednio z pawdopodobieństwami p =P{X= }, p =P{X= }, pzy czym Dystybuanta dla tego typu ozkładu pzyjmuje postać: F ( Jest ona funkcją lewostonnie ciągłą, niemalejącą, dla któej i p i lim lim F( F( 0 Ponadto: P{X a}=-f(a P{a }=F(b-F(a Pzykład: Rzucamy kostką do gy. Wyzucenie pazystej liczby oczek oznacza wyganą zł, a wyzucenie niepazystej liczby oczek oznacza pzeganą zł. Okeślić ozkład zmiennej losowej X ównej wyganej 7

8 Rozwiązanie: Zbió watości: {-,}. P{X=-}= P{X=}= Pzykład: Do odbionika mogą w danym czasie dotzeć 3 sygnały. Piewszy z pawdopodobieństwem 0,6, dugi z pawdopodobieństwem 0,7 i tzeci z pawdopodobieństwem 0,8. Niech X oznacza liczbę sygnałów, któe dotały w danym czasie do odbionika. Okeślić ozkład zmiennej losowej X. Rozwiązanie: Zbió watości: {0,,,3}. P{X=0}=0,4 0,3 0,=0,04 P{X=}=0,6 0,3 0,+0,4 0,3 0,8+0,4 0,7 0,= =0,036+0,096+0,056=0,88 P{X=}=0,6 0,7 0,+0,4 0,7 0,8+0,6 0,3 0,8= =0,084+0,4+0,44=0,45 8

9 Uwaga: P{X=3}=0,6 0,7 0,8=0,336 0,04+0,88+0,45+0,336= Pzykład: Zmienna losowa X ma ozkład dany tabelką: i p i 0, 0, A 0, 0, 0, Wyznaczyć A oaz dystybuantę F( i P{X>0}. Rozwiązanie: A=-(0,+0,+0,+0,+0,=0,3 P{X>0}=P{X=}+P{X=}+P{X=4}=0,4 F ( i - F(=0 p i -< - F(=p =0, 9

10 -< 0 F(=p +p =0,+0,=0,3 0< F(=p +p +p 3 =0,+0,+0,3=0,6 < F(=p +p +p 3 +p 4 =0,+0,+0,3+0,=0,7 < 4 F(=p +p +p 3 +p 4 =0,+0,+0,3+0,+0,=0,8 >4 F(= Zapis: F( 0 dla 0, dla 0,3 dla 0 0,6 dla 0 0,7 dla 0,8 dla 4 dla 4 0

11 Wykes dystybuanty pzypomina schodki, a óżnica w poziomach poszczególnych stopni to watość pawdopodobieństwa p i pzyjęcia watości i F( Pzykład: Na dodze uchu pociągu znajdują się w dużej odległości 4 semafoy. Każdy z nich zezwala na pzejazd z pawdopodobieństwem 0,5. Niech X oznacza liczbę semafoów zezwalających na pzejazd pzed piewszym zatzymaniem się pociągu. Okeślić ozkład zmiennej losowej X oaz jej dystybuantę. Rozwiązanie: Zbió watości: {0,,,3,4}

12 Dystybuanta: (-,0] (0,] (,] (,3] (3,4] (4, F( 0 Def.5. Zmienna losowa X ma ozkład typu ciągłego, jeśli istnieje funkcja f( spełniająca waunki: a dla każdego, f( 0 taka, że

13 P { a X b} f ( d dla dowolnego a<b. Funkcję f( nazywamy gęstością pawdopodobieństwa. Dystybuanta F( dla tej zmiennej losowej pzyjmuje postać: b a Ponadto P{X= 0 }=0 dla dowolnego 0. W punktach ciągłości gęstości F (=f(. Pzykład: Pociąg podmiejski odjeżdża ze stacji co 0 minut. Pasaże pzychodzi na dwozec w dowolnym momencie. Niech X oznacza czas oczekiwania pasażea na odjazd pociągu. Wyznaczyć ozkład i dystybuantę tej zmiennej losowej. Rozwiązanie: Zbió watości [0,0].? 3 0

14 Pole postokąta winno być ówne. tąd: f ( 0, 0 dla dla 0,0 0,0 Dystybuanta zaś: 0 F( 0 F( F( Wykes tej dystybuanty jest ciągły: 0d 0,d 0, F( 0 4

15 5 Pzykład: Zmienna losowa X ma ozkład o gęstości:, 0, cos ( dla dla A f Znaleźć watość A i dystybuantę F(. Rozwiązanie: sin cos ( - A A A A d A d f Dystybuanta:

16 6 ( sin sin cos ( 0 ( F d F F Paamety ozkładu zmiennej losowej. Def.6. Watością oczekiwaną (śednią zmiennej losowej X nazywamy liczbę okeśloną wzoem a dla ozkładu skokowego: -π/ π/ F(

17 EX E(g(X i p i i i oaz g( p i i b dla ozkładu ciągłego: EX oaz E( g( X f ( d g( f ( d o ile odpowiedni szeeg lub całka są zbieżne bezwzględnie. Tw.. Jeśli istnieje watość oczekiwana EX to E(aX+b=aEX+b. Def.7. Waiancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę okeśloną wzoem: o ile odpowiedni szeeg lub całka są zbieżne bezwzględnie. Z tw. otzymujemy ównoważny wzó dla waiancji: 7

18 Wypowadzenie: D ( X E X EX E( X X EX E X E( X E X E X E( X E X Piewiastek kwadatowy z waiancji nazywamy odchyleniem standadowym i oznaczamy DX. Tw.. Jeżeli istnieje watość oczekiwana EX oaz waiancja D (X to: a D (ax+b=a D (X b D (X 0 c D (X=0 P{X= 0 }=. Pzykład: Obliczyć paamety dla zmiennej losowej X o ozkładzie: adanym tabelką: i p i 8

19 9 bdanym gęstością dla 0 dla 3 ( 4 f Rozwiązanie: a EX=(- EX =(- D (X=E(X -(EX = 3 3 ( ( 3 4 3lim 3lim 3lim d d d f X E b

20 0 3 3 ( ( 3lim 3lim 3lim 4 d d d f X E D (X=3-