Metody optymalizacji. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Transkrypt

1 Metody optymalizacji d inż. Paweł Zalewski kademia Moska w Szczecinie

2 Optymalizacja - definicje: Zadaniem optymalizacji jest wyznaczenie spośód dopuszczalnych ozwiązań danego polemu ozwiązania najlepszego za względu na pzyjęte Teoia osługi kyteium masowej, (wskaźnik) teoiajakości kolejek, (np. teoia koszt, zysk, niezawodność, yzyko). Badaniem metod optymalizacji zajmuje się teoia optymalizacji. ogonków: w adaniach opeacyjnych jedna z opatych na achunku pawdopodoieństwa teoii naliza funkcjonalna: dział matematyki powstały podejmowania optymalnych decyzji. Zajmuje się W liteatuze ekonomii w XX optymalizacja w., zajmujący jestsię często adaniemnazywana faktów konstuowaniem i ozwiązywaniem modeli pogamowaniem gospodaczym, z óżnoodnych niekiedydziedzin mówi się za też pomocą o adaniach metod matematyczno-statystycznych, pzydatnych w waunkach konieczności osługi w kótkim okesie się opeacyjnych. Zespół zależności, matematycznych na podstawie (ównania któych całkowe, wyznacza ównania optymalne ozwiązania (decyzje), óżniczkowe, nazywa algea się modelem liniowa matematycznym. i inne). naliza czasu dużej ilości klientów. Impulsem jej powstania funkcjonalna znalazła szeokie zastosowanie Jeżeli yły wszystkie adania zależności dotyczące mają chaakte pojektowania funkcji liniowych, to mamy do w óżnych dziedzinach wiedzy, jej ozwojowi czynienia i eksploatacji z optymalizacją cental Rachunek telefonicznych. liniową waiacyjny: Pzedmiot (pogamowanie dział liniowe), analizy jeżeli zasłużyli się matematycy polscy, m.in.: S. Banach natomiast teoii osługi choć masowej jedna matematycznej oaz z zależności stosowaneadający pzez jest nieliniowa nią (uważany za jej twócę), waunki H. Steinhaus, - zosiągania optymalizacją S. Mazu, nieliniową. metody szczegółowe opisał w 9 osyjski watości W. Olicz, ekstemalnych J.P. Schaude. pzez funkcjonały. matematyk.j. Chinczin. Rachunek waiacyjny jest jedną z podstawowych metod fizyki matematycznej. Do innych matematycznych metod optymalizacji należą: pogamowanie sieciowe (sieci neuonowe) i ozmyte, stochastyczne (polegające na wyoze decyzji pzeciętnie optymalnej ), teoia gie, teoia kolejek, achunek waiacyjny, metody analizy funkcjonalnej. - -

3 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Rozwiązanie zadania pogamowania liniowego metodą SIMPLEX: Zadanie należy spowadzić do postaci kanonicznej, to znaczy do postaci, w któej poszukujemy maksimum funkcji pzy oganiczeniach ównościowych i wszystkich zmiennych nieujemnych, pzy czym w talicy oganiczeń musi dać się wyóżnić maciez jednostkowa, a pawe stony muszą yć dodatnie. W pzypadku poszukiwania minimum funkcji dla zależności liniowych: min gdzie jest wektoem agumentów funkcji f. f ma f, y oganiczenia pzekształcić w ówności, dodajemy do lewych ston (lu odejmujemy) zmienne uzupełniające o watościach dodatnich. - -

4 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Znaleźć minimum funkcji: f pzy oganiczeniach:,,,,, - -

5 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Poszukiwanie minimum funkcji liniowej f() jest ównoważne poszukiwaniu maksimum tej funkcji wziętej z pzeciwnym znakiem, a więc funkcji: f f Oganiczenia pzyjmą postać:,,,,,,, - -

6 - 6 - Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Maciez oganiczeń, czyli talica współczynników pzy agumentach,,,, w tzech ównaniach oganiczeń ma postać: O, W talicy tej nie można jednak jeszcze wyóżnić maciezy jednostkowej: gdyż akuje w niej wektoa kolumnowego:

7 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Po lewej stonie tzeciego oganiczenia tzea więc dodać zmienną sztuczną 6, któa ten ak wyówna. y zmienna 6 nie miała wpływu na ozwiązanie i ay można ją yło szyko wyeliminować z zadania w takcie jego ozwiązywania, uzupełniamy funkcję celu o składnik -w 6 z adzo dużym współczynnikiem dodatnim w. W ten sposó niejako pogaszamy znacznie funkcję celu oddalając jej watość (znacznie zmniejszając) od pawdziwego maksimum

8 - 8 - Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Zadanie pzyjmie więc postać (kanoniczną) wyznaczenia maksimum funkcji celu f (): Pzy oganiczeniach:,,,,,,,, ma w f

9 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Watości cwatości i dla po Wektoy Jednostkowe jednostkowych pawych współczynników stonach wektoy wektoów oganiczeń Współczynniki i i oganiczeń występujące pzy zmiennych i w funkcji celu f () Budujemy piewszą talicę simpleów : c i -w Baza c 6 Współczynniki lewych ston oganiczeń 6 -w ( c(c ) i )-c i Wskaźniki 6 - w - w - - w Iloczyn skalany c okeśla watość funkcji celu w danym koku, wekto watości zmiennych azowych i

10 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Najmniejsza (najadziej ujemna) watość wskaźnika w dolnym wieszu wyznacza wekto, jaki w następnym koku wpowadzimy do azy. W naszym pzypadku ędzie to wekto. Rozwiązanie osiągniemy, gdy nie ędzie już wskaźnika o watości ujemnej. Wekto usuwany z azy wyznacza się oliczając iloazy chaakteystyczne dla wszystkich dodatnich elementów wektoa wpowadzanego do azy ( ) według zależności: 6 6 6,, - -

11 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Z azy należy usunąć wekto, któego element występuje w iloazie o najmniejszej watości spośód wyznaczonych w omawianym pzykładzie ędzie to wekto 6 ( 6 = = ½) Ponieważ jest to wekto odpowiadający zmiennej sztucznej, usuwamy go nie tylko z azy, ale z całej talicy simpleów. Wyznaczony iloaz podaje jednocześnie nową watość elementu wektoa w wieszu wektoa wpowadzanego do azy ( =, gdyż wpowadzamy wekto ). Pozostałe dwa nowe elementy wektoa wyznacza się z zależności:, - -

12 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Wpowadzany do azy wekto pzyjmuje watości jednostkowe, a wskaźniki odpowiadające wektoom azowym (dolny wiesz taeli simpleów) ędą zawsze wynosić. Watość funkcji celu wzasta do. C i Baza c ½ Wskaźniki - -

13 - - Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Następnie należy wyznaczyć iloazy kolumnowe dla wektoów pozaazowych:,

14 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: c i Baza c ½ ½ Wskaźniki - -

15 - - Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Na podstawie otzymanych iloazów kolumnowych wyznacza się akujące elementy talicy:,,,

16 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Duga talica simpleów: c i Baza c ½ ½ Wskaźniki

17 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Najmniejsza (najadziej ujemna) watość wskaźnika w dolnym wieszu wyznacza wekto, jaki w następnym koku wpowadzimy do azy. W naszym pzypadku ędzie to wekto. Wekto usuwany z azy wyznacza się oliczając iloazy chaakteystyczne dla wszystkich dodatnich elementów wektoa wpowadzanego do azy ( ):,, - 7 -

18 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Z azy należy usunąć wekto, któego element występuje w iloazie o najmniejszej watości spośód wyznaczonych mamy dwa takie wektoy: i. Wyieamy jeden z nich np. ( = = ) Wyznaczony iloaz podaje jednocześnie nową watość elementu wektoa w wieszu wektoa wpowadzanego do azy ( =, gdyż wpowadzamy wekto ). Pozostałe dwa nowe elementy wektoa wyznacza się z zależności:, - 8 -

19 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Wpowadzany do azy wekto pzyjmuje watości jednostkowe, a wskaźniki odpowiadające wektoom azowym ędą zawsze wynosić. Watość funkcji celu wzasta do 7. C i Baza c Wskaźniki 7-9 -

20 - - Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Następnie należy wyznaczyć iloazy kolumnowe dla wektoów pozaazowych:,

21 - - Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Na podstawie otzymanych iloazów kolumnowych wyznacza się akujące elementy talicy:,,,

22 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: Tzecia talica simpleów: c i Baza c - Wskaźniki

23 Optymalizacja liniowa pogamowanie liniowe: W dolnym wieszu (wskaźnikowym) nie ma już elementów ujemnych, a więc ozwiązano zadanie. Watość funkcji f () jest ówna 7, a watości zmiennych =, =, =. Pozostałe zmienne (nie występujące w kolumnie ostatniej talicy simpleów) są ówne zeu ( =, =). Zatem pomijając zmienne sztuczne otzymujemy ostateczne ozwiązanie zadania dla funkcji f(), dla któej poszukiwaliśmy minimum: min f,, 7 - -