WYKŁAD 11 OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA

Transkrypt

1 WYKŁAD OPTYMALIZACJA WIELOKYTEIALNA Wstęp. W wielu pzypadkach pzy pojektowaniu konstukcji technicznych dla okeślenia ich jakości jest niezędne wpowadzenie więcej niż jednego kyteium oceny. F ) { ( ), ( )... ( )} (.) ( m Może to yć żądanie osiągnięcia np. maksimum eektów pzy minimalnych nakładach, maksimum spawności pzy minimum masy, lu minimum kosztów podukcji pzy minimum kosztów eksploatacji. Pzy ealizacji tych wymagań występują najczęściej spzeczności tzn. w danej pzestzeni zmiennych decyzyjnych {} poszczególne kyteia nie mogą jednocześnie osiągnąć swoich watości ekstemalnych. Mówimy wówczas, że zachodzi potzea znalezienia ozwiązania kompomisowego, to jest takiego ziou zmiennych decyzyjnych { p }, któy możliwie najlepiej spełnia wymagania F(). Załóżmy, że poszczególne wymagania i (), i=,...m, są od sieie liniowo niezależne oaz są unkcjami ciągłymi i oganiczonymi w pzestzeni {}. Dla uposzczenia analizy pzyjmijmy, że występują jedynie dwa kyteia () oaz () a zadanie polega na ich jednoczesnej maksymalizacji ( ) ( ) ma! ma! (.) Z waunku oganiczoności i () można stwiedzić, nie nauszając ogólności ozważań min min ( ) ( ) ma ma (.3) Pzedstawiając w pzestzeni celów uzyskiwane watości kyteiów dla wszystkich dopuszczalnych watości zmiennych decyzyjnych otzymuje się zió F pokazany na ys.. ma D A B C zió kompomisów dla () = ma! () = ma! min F min ma ys... Pzestzeń celów pzykładowej polioptymalizacji

2 Zauważa się, że ozwiązanie D o watościach kyteiów { D, D } może yć uznane za gosze od ozwiązania B ponieważ zachodzi D D B B (.4) Tego typu ozumowanie można pzepowadzić dla wszystkich punktów oszau F za wyjątkiem linii (ABC). Punkty należące do tej linii odpowiadają konstukcjom, dla któych popawienie jednego kyteium jakości uzyskuje się wyłącznie kosztem pogoszenia pzynajmniej jednego z pozostałych. Zió ten nazywamy zioem kompomisów w pzestzeni unkcji celu. W pzypadku, kiedy zió kyteiów ma inną postać, na pzykład ( ) ( ) ulega mianie położenie ziou kompomisów ma! (.5) min! ma min F C D B A zió kompomisów dla () = ma! () = min! min ma ys... Pzestzeń celów pzykładowej polioptymalizacji Zió kompomisów w ogólnym pzypadku nie musi yć jednospójny. Jego kształt zależy owiem od postaci składowych unkcji celu. Pzykładowy układ dwuodcinkowego ziou kompomisów pokazano na ys..3. gdzie poównując pzykładowo punkt E i B mamy B > E oaz B < E. ma min F D C E B A zió kompomisów (AB) () = ma! () = min! (CD) dla min ma ys..3. Pzestzeń celów pzykładowej polioptymalizacji z wielospójnym zioem kompomisów

3 Pzykład. Analizowany jest aktywny dwójnik elektyczny o sile elektomotoycznej E i ezystancji wewnętznej, któy jest ociążony ezystancją. Jako zmienne decyzyjne pzyjęto pzy oganiczeniu Składnikami kyteium jakości są spawność zależnościami min ma (.6) (.7) P E oaz moc oddawana P okeślone (.8) Wpowadzając pzyjęte zależności na zmienne decyzyjne otzymuje się (, ) (, ) E ozkłady składowych unkcji celu pokazano na ys..4. (.9) = min.5 = ma ys..4. Składniki unkcji celu ociążonego dwójnika elektycznego spawność, moc oddawana. Zwyczajowo wyóżnia się tzy stany:. jałowy =,. dopasowania =, 3. zwacia =

4 ozkład składników unkcji celu w pzestzeni zmiennych decyzyjnych zamieszczono na ys..5, a w pzestzeni celów na ys.6.6. zió kompomisów =.7 P=.5E P=.3E P=.E P=.E min =.5 =.3 =. =. ma ys..5. Izolinie składników unkcji celu w pzestzeni zmiennych decyzyjnych E /4 min min zió kompomisów ma.5. ys..6. Zió kompomisów aktywnego dwójnika elektycznego

5 Elementana teoia kompomisów dwukyteialnych Zakładamy, ze istnieją dwa kyteia jakości (), () zależne od pewnej liczy zmiennych decyzyjnych, z któych wszystkim za wyjątkiem, pzypoządkowano stałe watości ( ) ( ) (, (,, 3, ) ) (.) Funkcje (), () są ciągłe i óżniczkowalne względem i. Załóżmy, że poszukiwane jest ozwiązanie zagadnienia podwójnej maksymalizacji ( ) ( ) ma! (.) ma! Waunkiem koniecznym występowania ekstemów unkcji skalanych jest k ()=. Pzy ustalonych watościach i (i>) i aku oganiczeń dla zmiennych, mamy do czynienia w polioptymalizacji z zutowaniem punktów należących do nieoganiczonej dwuwymiaowej pzestzeni zmiennych decyzyjnych na dwuwymiaową pzestzeń celów. Kzywa zegowa tak otzymanego ziou w pzestzeni celów może się pojawić wyłącznie w pzypadku, kiedy składowe kyteia jakości (), () są oganiczone z góy (z dołu), co pzy założonej ciągłości tych unkcji jest ównoznaczne z istnieniem ich maksimów (minimów). Pzypuśćmy, że znajdujemy się w punkcie a o składowych { a, a }. Kieunek d ędzie kieunkiem popawy jednocześnie dla oydwu kyteiów jeżeli zachodzi ( a ( a (.) Osiągnięcie ziou kompomisów K oznacza, że dla dowolnego d w jeden z powyższych iloczynów skalanych musi zmienić znak, czyli możliwe są dwa waianty ( ( ( ( (.3) Oznacza to z kolei anty-ównoległość gadientów ) ( ) (.4) ( i w konsekwencji ( ) ( ) (.5)

6 zió kompomisów ys..7. Zió kompomisów w pzestzeni zmiennych decyzyjnych Wyażenie L L ( ) ( ) ( ) (.6) jest nazywane zastępczym liniowym kyteium jakości. Można stwozyć ównież tzw. nieliniowe kyteium zastępcze N wykozystując nieówność Cauchy ego Schwatza zapisaną tu dla wyanych dwu wektoów, y, y y (.7) gdzie ówność zachodzi wyłącznie w pzypadku, kiedy, y są liniowo zależne. Stąd unkcja N zdeiniowana popzez N ( ) ( ) ( ), ( ) (.8) jest zawsze dodatnia i osiąga zeo dla punktu K. Kyteium to nie pozwala na pzeszukiwanie punkt po punkcie ziou kompomisów, umożliwia jedynie dotacie do tego ziou.

7 Stategie wyznaczania ziou kompomisów..wyznaczanie punktów ziou za pomocą liniowego kyteium zastępczego Wpowadzamy (n+) liniowych zadań zastępczych i i L i ( ) ( ) i,,,... n (.9) n n Dla każdego i wyznaczamy minimum Oi za pomocą optymalizacji skalanej. Zió punktów { O, O,... On } twozy zió kompomisów z żądaną dokładnością. Li.Wyznaczanie punktów ziou pzy pomocy nieliniowego kyteium zastępczego.. Wyznaczamy optimum każdej ze składowych unkcji celu, np. ( O )=ma!, ( O )=ma!.. Statując np. z punktu O wyznaczamy punkt a jako a = O + ( O ) O a O zió kompomisów.3. W punkcie a wyznaczamy kieunek popawy d= ( a ) + ( a ), wzdłuż któego minimalizujemy nieliniowe kyteium jakości N( a + d)= uzyskując. O a d O zió kompomisów.4. Spawdzamy kyteium zatzymania O.5. Jeśli tak to stop, jeśli nie to O = i powót do p... Uwaga: Postępowanie wg. pzedstawionego algoytmu nadaje się do zadań z jednospójnym zioem kompomisów.