Atom wodoru w mechanice kwantowej

Transkrypt

1 Fizyka II, lato 016

2 Tójwymiaowa studnia potencjału atomu wodou jest badziej złożona niż studnie dyskutowane wcześniej np. postokątna studnia. Enegia potencjalna U() jest wynikiem oddziaływania kulombowskiego pomiędzy pojedynczym elektonem i potonem w jądze. U() Enegia potencjalna jest funkcją odległości od jąda. Jest to pole centalne. Rozwiązując ównanie Schödingea dla atomu wodou, otzymuje się watości enegii zgodne z wynikami modelu Boha. n =0.059n E n =-13.6/n [ev] [nm] Fizyka II, lato 016

3 Zmiany enegii spowodowane emisją i absopcją światła oaz długości fali seii Balmea, Paschena, Lymana, będą pawidłowo opisane pzez takie same wyażenia jak w modelu Boha. Różnica enegii pomiędzy poziomami: ΔE=13.6(1/n f -1/n i ) Pzykład, pzejście pomiędzy: n i = i n f =1 (jak na ysunku) Initial state, n f DE=10. ev DE=13.6(1/n f -1/n i )=13.6(1/1-1/ )=10. ev final state, n i Fizyka II, lato 016 3

4 W fizyce klasycznej siła centalna ma ważną własność: Moment siły centalnej względem centum wynosi zeo, stąd moment pędu nie zmienia się w czasie. Spodziewamy się, że w mechanice We expect that in quantum mechanics, moment pędu też będzie zachowany. Równanie Schödingea dla takiego potencjału ma postać: m e x y z Fizyka II, lato 016 ( ) e 4 o ( ) E( ) Aby ozwiązać to ównanie tzeba pzejść z układu katezjańskiego współzędnych (x,y,z) do układu sfeycznego (,θ,φ) gdzie θ jest kątem biegunowym i odpowiada szeokości geogaficznej a φ jest kątem azymutalnym i odpowiada długości. 4

5 Fizyka II, lato 016 We współzędnych sfeycznych ównanie Schödingea pzyjmuje badzo złożoną postać (!): 5 To złożone ównanie óżniczkowe można spowadzić do układu ównań jednowymiaowych w zmiennych θ i φ, któy można ozwiązać bezpośednio bez wpowadzania potencjału kulombowskiego, któy nie zależy od oientacji. Laplasjan we współzędnych sfeycznych ) ( ) ( 4 ) ( sin sin 1 sin 1 1 E e m o e φ x θ y z

6 Stosujemy metodę sepaacji zmiennych: ( ) R( ) Y (, ) poponowane ozwiązanie Funkcję R() nazywamy adialną funkcją falową a Y(θ,φ) jest znana jako hamonika sfeyczna. Dalej można ozdzielić θ i φ zakładając: Y (, ) ( ) ( ) Fizyka II, lato 016 6

7 Ostatecznie należy ozwiązać tzy ównania: m e d R( ) d dr( ) d R( ) e 4 o R( ) ER( ) zwyczajne ównanie óżniczkowe (ównanie własne) dla funkcji adialnej R() z watością własną enegii E ( 1) d ( ) d( ) ctg m ( ) ( ) d d d ( ) m ( ) l d m l i λ są stałymi sepaacji związanymi z liczbami kwantowymi Fizyka II, lato 016 7

8 Liczby kwantowe dla atomu wodou Mimo, że enegie mogą być opisane jedną liczbą kwantową n, funkcje falowe opisujące te stany wymagają tzech liczb kwantowych, odpowiadając tzem wymiaom pzestzeni, w któej elekton się pousza. Zestaw tzech liczb kwantowych (n, l, m l ) identyfikuje funkcje falowe okeślonych stanów kwantowych. Fizyka II, lato 016 8

9 Rozwiązanie ównań na R(), Θ(θ), Φ(φ) d ( ) m ( ) l d Można spawdzić pzez óżniczkowanie, że to najpostsze z tzech ównań ma ozwiązanie szczególne: ( ) iml e Tzeba uwzględnić w sposób jawny wymaganie aby funkcje własne były jednoznaczne czyli aby: ( 0) ( ) Jest to spełnione gdy: im l 0 iml e e Fizyka II, lato 016 9

10 Po ozpisaniu waunku: im l 0 iml e e otzymujemy: 1 cos( m ) i sin( m ) Waunek ten jest spełniony tylko wówczas, gdy: l l m l 0,1,,3,... Liczba kwantowa m l może być tylko liczbą całkowitą i jest stosowana jako wskaźnik identyfikujący okeśloną postać dopuszczalnego ozwiązania: ( ) m l iml e Fizyka II, lato

11 Rozwiązanie ównania na Θ(θ) d ( ) d( ) ctg m ( ) d d ( ) ( 1) Popawne fizycznie (pozostające wszędzie skończone) ozwiązania powyższego ównania otzymuje się tylko wówczas gdy stała l ówna jest jednej z liczb całkowitych: l m l, m 1, m, m 3,... l Dopuszczalne fizycznie ozwiązania można zapisać w postaci: l l l m ( ) sin m l F l m l cos Fizyka II, lato

12 Liczba kwantowa n, nazywana główną liczbą kwantową pojawia się w wyażeniu na enegię układu. Liczba kwantowa l, nazywana obitalna liczbą kwantową, jest miaą wielkości momentu pędu związanego ze stanem kwantowym. Liczba kwantowa m l, nazywana magnetyczną liczbą kwantową, jest związana z oientacją w pzestzeni wektoa momentu pędu. Jeżeli atom znajduje się w zewnętznym polu magnetycznym, to jego enegia zależy od tej liczby. Fizyka II, lato 016 1

13 Liczby kwantowe Z ozwiązywania ównania Schödingea dla atomu wodou wynika, że istnieją tzy liczby kwantowe, odpowiadające tzem wymiaom pzestzeni, w któej pousza się elekton. Zestaw tych liczb (n, l, m l ) definiuje funkcje falowe każdego konketnego systemu kwantowo-mechanicznego. Symbol Nazwa Dozwolone watości n Główna liczba kwantowa 1,,3... l Obitalna liczba kwantowa 0,1,,3,...,n-1 m l Magnetyczna liczba kwantowa -l,-(l-1),..., +(l-1), +l Istnieje ównież wewnętzny moment pędu S (spin) i związane z nim magnetyczna m s i spinowa liczba kwantowa s Fizyka II, lato

14 Rozwiązania niezależnego od czasu ównania Schödingea - funkcje falowe dla atomu wodou Hamoniki sfeyczne Y lm Y Y 11 sin exp( i ) 8 Y 10 3 cos 4 Y 15 sin exp(i) 3 R Funkcje adialne R nl R 10 a / a e 3/ 0 / a (1 e 3/ ) (a) a 1 1 / a e 3/ R1 3 (a) a 4 a pomień Boha a m e stan podstawowy e Te funkcje nie mają sensu fizycznego. Szukamy gęstości pawdopodobieństwa znalezienia elektonu tj. Fizyka II, lato

15 Model Boha zakładający, że elektony w atomie pouszają się po dobze zdefiniowanych obitach jak planety wokół Słońca nie jest pawidłowy. Obaz kopkowy oddaje lepiej pobabilistyczny chaakte funkcji falowej i pzedstawia atom wodou w óżnych stanach. obital 1s, objętościowa gęstość pawdopodobieństwa dla stanu podstawowego atomu wodou R10 () n 1 R n ( ) d = pawdopodobieństwo znalezienia elektonu w obszaze o szeokości d wokół punktów odległych o od jąda Y m (, ) sin dd = pawdopodobieństwo znalezienia elektonu w obszaze dθdφ wokół położenia kątowego (θ,φ) Fizyka II, lato

16 Stany atomu wodou dla n= Są cztey stany atomu wodou dla n=. n l m l Wszystkie stany dla l=0 mają sfeycznie symetyczne funkcje falowe. Jeżeli l=0, moment pędu wynosi 0, co oznacza, że nie ma wyóżnionej osi symetii dla gęstości pawdopodobieństwa obital s, objętościowa gęstość pawdopodobieństwa dla atomu wodou w stanie kwantowym n=, l=0, m l =0; adialna funkcja falowa pzyjmuje watości zeowe w obszaze o zeowej gęstości kopek Fizyka II, lato

17 Tzy stany atomu wodou dla n=, l=1. n l m l Te wykesy są symetyczne wokół osi z ale nie są sfeycznie symetyczne. Gęstości pawdopodobieństwa dla tych tzech stanów są funkcjami i współzędnej kątowej θ Jaka własność atomu wodou jest odpowiedzialna na występowanie tej osi symetii? obitale p, objętościowa gęstość pawdopodobieństwa dla atomu wodou w stanie kwantowym o n=, l=1 i tzech óżnych m l Gęstość pawdopodobieństwa jest symetyczna względem osi z Fizyka II, lato

18 Watości własne enegii Dopuszczalne watości enegii watości własne wynikające z adialnej części ównania Schödingea m e d R( ) d dr( ) d R( ) Ze 4 o R( ) ER( ) dane są jako: E 1 m e Ze 4 Główna liczba kwantowa n zdefiniowana jako: ( n o Z-liczba atomowa (Z=1 dla wodou) 1 1) gdzie n jest nową adialną liczbą kwantową, n =0,1,.. n n 1 jest zawsze całkowitą liczbą dodatnią Fizyka II, lato

19 Watości własne enegii wyażone za pomocą głównej liczby n: gdzie e 4oc E mec jest stałą stuktuy subtelnej Z 1 Jest to dokładnie ten sam wzó, któy wynika z modelu Boha dla enegii dozwolonych stanów związanych. Ze względu na to, że enegia zależy tylko od n, stanów, któe mają tę samą enegię jest n ; nazywamy to n -kotną degeneacją (elektony mają spin co oznacza, że degeneacja n -kotna) Pzykład: dla n=3 pięć stanów R 3 ()Y m (θ,φ) z m=,1,0,-1,- tzy stany R 31 ()Y 1m (θ,φ) z m=1,0,-1 n jeden stan R 30 ()Y 00 (θ,φ) Stąd mamy 5+3+1=9=3 stanów zdegeneowanych dla n=3 Fizyka II, lato

20 Stany atomu wodou dla n= Ze względu na to, że enegia zależy tylko od głównej liczby n i jest niezależna od l i m l dla izolowanego atomu wodou doświadczalnie ozóżnić tzech stanów pokazanych na ysunku poniżej. Te tzy stany dla l=1) są zdegeneowane Stan dla l=0 ma też taką samą enegię; jest to 4-kotna degeneacja Można taktować wszystkie cztey stany, pokazane w tabeli, jako twozące sfeycznie symetyczną powłokę opisaną pojedynczą liczbą kwantową. n l m l Fizyka II, lato 016 0

21 Stany atomu wodou dla n= Jeżeli dodamy gęstości pawdopodobieństwa dla tzech stanów z n= i l=1, łączna gęstość stanów będzie miała symetię sfeyczną (żadna oś nie będzie wyóżniona). Można potaktować elekton tak jakby spędzał 1/3 czasu w każdym z tzech stanów. Suma ważona tzech niezależnych funkcji falowych definiuje sfeycznie symetyczną podpowłokę okeśloną pzez liczby kwantowe n= i l =1 Zniesienie degeneacji czyli ozóżnienie stanów podpowłoki jest możliwe, gdy umieści się atom wodou w zewnętznym polu elektycznym lub magnetycznym. Efekt ozszczepienia stanów w zewnętznym polu magnetycznym nosi nazwę zjawiska Zeemana. Fizyka II, lato 016 1

22 Moment pędu i magnetyczny moment dipolowy Rozwiązania części kątowej ównania Schödingea hamoniki sfeyczne Y nl (θ,φ) są związane z momentem pędu. Klasyczna definicja wektoa momentu pędu cząstki w odniesieniu do punktu O mówi: L p p jest pędem cząstki jest wektoem położenia cząstki względem ustalonego punktu P Katezjańskie współzędne wektoa momentu pędu mają postać: L x yp z zp y L y zp x xp z L z xp y yp x Fizyka II, lato 016

23 Fizyka II, lato Opeato pędu w mechanice ma postać: Zatem opeato momentu pędu wyaża się jako: x i p x y i p y z i p z ) ( y z z y i L x ) ( z x x z i L y ) ( x y y x i L z Opeato kwadatu momentu pędu: z y x L L L L Moment pędu i magnetyczny moment dipolowy

24 Moment pędu i magnetyczny moment dipolowy We współzędnych sfeycznych: L 1 ctg sin Występują tu tylko kąty i nie ma zależności od odległości (współzędnej adialnej ) We współzędnych sfeycznych składowa z-owa wektoa momentu pędu pzyjmuje szczególnie postą postać: L z i Znane są funkcje własne i dozwolone watości własne opeatoów L i L z Równanie własne dla opeatoa L : L Y m (, ) ( 1) Ym (, ) hamoniki sfeyczne są funkcjami własnymi opeatoa L watości własne opeatoa L Fizyka II, lato 016 4

25 Obitalny moment pędu L ( 1) l azymutalna liczba kwantowa Rzut L z wektoa momentu pędu L na oś OZ też jest skwantowany: L z m magnetyczna liczba kwantowa Fizyka II, lato 016 5

26 Obitalny moment pędu i jego zut Rysunek pokazuje pięć skwantowanych składowych L z obitalnego momentu pędu elektonu dla l= i óżne możliwe oientacje wektoa momentu pędu (wszystkie możliwe stany dla tej liczby ). W każdym stanie (m) wekto wykonuje pzypadkową pecesję wokół osi OZ utzymując stałą długość i stałą wielkość składowej L z Fizyka II, lato 016 6

27 Dipol magnetyczny ma obitalny magnetyczny moment dipolowy związany z momentem pędu elacją: Ani Moment pędu i magnetyczny moment dipolowy e μob L me μ L ob ani nie może zostać zmiezone Możemy jednak zmiezyć składowe tych wektoów wzdłuż danej osi (zuty na wybaną oś). Możemy, dla pzykładu, zmiezyć składowe z-owe wektoów: obitalnego magnetycznego momentu dipolowego i momentu pędu wzdłuż osi, któą wyznacza kieunek zewnętznego pola magnetycznego B. Składowa μ ob,z jest skwantowana i dana wzoem: ob, z m B magneton Boh a e 4 B J / T m e Fizyka II, lato 016 7

28 Spin elektonu Niezależnie od tego czy elekton jest swobodny czy związany w atomie, to posiada spinowy moment pędu Watość spinu jest skwantowana i zależy od spinowej liczby s, któa wynosi ½ dla elektonów, potonów i neutonów. Składowa spinu wzdłuż wyóżnionej osi jest ównież skwantowana i zależu od spinowej magnetycznej liczby m s, któa może mieć jedynie watości +½ o ½. Fizyka II, lato 016 8

29 Spin elektonu Wewnętzny magnetyczny moment pędu S, zwany spinem: S s( s 1) spinowa liczba kwantowa, s=1/ dla femionów S z m s magnetyczna spinowa liczba kwantowa m s = +½ lub ½. Fizyka II, lato 016 9

30 Podsumowanie Liczba kwantowa Symbol Dozwolone watości Związana z: Główna n 1,, 3, odległoscią od jąda Obitalna l 0, 1,,, (n-1) obitalnym momentem pędu Obitalna magnetyczna m l 0, 1,,, l składową z-ową momentu pędu Spinowa s ½ spinowym momentem pędu Magnetyczna spinowa m s ½ składową z-ową spinowego momentu pędu Fizyka II, lato

31 NMR nuclea magnetic esonance (magnetyczny ezonans jądowy) Wskutek absopcji fotonu o enegii hf poton w polu magnetycznym zmienia kieunek spinu (z stanu spin-up do stanu spin-down, tzw. spinflipping) hf zb Wiele substancji ma swoje chaakteystyczne widmo NMR, ta technika jest stosowana do identyfikacji (np. w kyminalistyce) Obazowanie pzy pomocy ezonansu magnetycznego (ang. magnetic esonance imaging MRI) jest stosowany jako metoda diagnostyki medycznej. Potony w óżnych tkankach ludzkiego oganizmu znajdują się w óżnych otoczeniach magnetycznych. W silnych zewnętznych polach magnetycznych zachodzi zmiana zwotu spinu. Fizyka II, lato 016