Uniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 2

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Uniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 2"

Damian Tomaszewski
8 lat temu
Przeglądów:

1 LEKCJA 2 Pzykład: Dylemat Cykoa (albo Poke Dogowy) Dwie osoby wsiadają w samochody, ozpędzają się i z dużą pędkością jadą na siebie - ten kto piewszy zahamuje lub zjedzie z tasy jest "cykoem" i pzegywa. Skęcając wcześniej nic nie możemy zyskać w poównaniu z czekaniem na ostatnią chwilę, za to jeśli pzeciwnik planował skęcić chwilę później możemy stacić. Jechać Uciec Jechać -1, -1 10, 0 Uciec 0,10 5, 5 Ga ma dwie ównowagi Nasha (obie optymalne Paeto) - piewszy gacz jedzie, dugi ucieka oaz dugi gacz jedzie, piewszy ucieka. W pzeciwieństwie do Dylematu Więźnia najgosza nie jest sytuacja asymetyczna (jeden jedzie, dugi ucieka), ale symetyczna (obu jedzie na siebie). Jeśli koszty honoowe były by większe od kosztów wypadku ga zmienia się w zwykły dylemat więźnia. W sytuacjach zeczywistych któe modeluje ga w cykoa najbadziej opłacalna jest "stategia szaleńca" - tzeba pzekonać pzeciwnika że nie myśli się acjonalnie i zamieza się jechać bez względu na okoliczności. Właśnie taka jest intepetacja pewnych pozonie iacjonalnych zachowań społecznych. Stategie mieszane Stategia czysta gacz wybiea bez losowania jedną konketną stategię. Stategia mieszana gacz wybiea stategie z pewnym pawdopodobieństwem (czyli w sposób losowy). Stategia taka polega na wykonaniu losowania, po czym podejmuje się decyzje zależnie od wyniku losowania. Szczególnym pzypadkiem jest stategia czysta z pawdopodobieństwem 100%. Nie każda ga ma ozwiązanie w zbioze stategii czystych. Czysta stategia optymalna zapewnia najwyższą wypłatę spośód wszystkich stategii, także mieszanych. Dopieo gdy czystych stategii nie ma, tzeba szukać optymalnych stategii mieszanych.

2 Twiedzenie o istnieniu NE (J. Nash, 1950): Każda skończona ga zawsze ma pzynajmniej jedną ównowagę Nash a (niekoniecznie w stategiach czystych). Ga skończona ga ze skończonym zbioem gaczy i stategii. W pzypadku baku ównowagi Nasha w stategiach czystych, gacze są niepewni co do wybou stategii pzez innych gaczy gdyż nie obsewujemy ich pywatnych infomacji. Niepewność np. gacza I pzedstawiamy za pomocą mieszanej stategii gacza II. Ideą stategii mieszanych jest pokazanie gaczowi któą ze stategii czystych inni gacze (pzeciwnicy) będą badziej pefeować. Pzykład: Ozeł i Reszka Każdy z gaczy wybiea stonę monety i jeśli obaj wybioą to samo {O,O} lub {R,R}, to monetę wygywa gacz II, a jeśli co innego {O,R} lub {R,O}, to gacz I wygywa. Reszka Ozeł 1- Reszka q -1, 1 1, -1 Ozeł 1-q 1, -1-1, 1 Żadna paa stategii czystych w tej gze nie spełnia waunków ównowagi Nasha. W dowolnej gze, w któej gacze póbują zgadywać uch pzeciwnika (czyli gy o sumie zeowej takie jak poke, piłka nożna, bitwa, itd.), jest bak ównowagi Nasha w stategiach czystych. Pzyczyną jest występowanie dużej niepewności co do uchu gaczy. Obie stategie każdego gacza są jednakowo niebezpieczne. Czy można zapewnić sobie wypłatę wyższą od tej najgoszej z możliwych? Tak, pod waunkiem że (1) zdamy się na los i (2) wypłatę będziemy taktować jako watość oczekiwaną zmiennej losowej. q - pawdopodobieństwo zagania R pzez gacza I 0 q 1 (1-q) - pawdopodobieństwo zagania O pzez gacza I (q, 1-q) stategia mieszana (dystybucja pawdopodobieństwa) R, O - stategie czyste

3 jeśli q = 0 stategia mieszana (0, 1) jest stategią czystą O jeśli q = 1 stategia mieszana (1, 0) jest stategią czystą R Załóżmy że gacz I wieże że gacz II zaga R z pawdopodobieństwem O z pawdopodobieństwem (1-) czyli gacz I wieży że gacz II zaga stategią mieszaną (, 1-). Oczekiwana wypłata gacza I: (-1) + (1-)1 = (1-)(-1) = > 2-1 if < 0.5 Najlepsza odpowiedź gacza I w stategiach czystych: R jeśli < 0.5 O jeśli > 0.5 obojętnie pomiędzy R i O jeśli = 0.5 Oczekiwana wypłata gacza I z tytułu zagania (q,1-q) gdy gacz II zaga (, 1-): (-1)q + (1-)1q = q(1-2) 1(1-q) + (1-)(-1)(1-q) = q(1-2)+2-1 Najlepsza odpowiedź gacza I (w stategiach czystych lub mieszanych): R jeśli <0.5 (czyli q=1) O jeśli >0.5 (czyli q=0) Rozwiązanie: Istnieje tylko jedna NE w tej gze jeśli gacz I zaga (0.5R, 0.5O) (0.5, 0.5) jest najlepszą odpowiedzią dla gacza II Taka ównowaga Nasha w stategiach mieszanych NIE musi oznaczać losowego wybou stategii (możemy, na pzykład, postanowić zawsze pokazywać tylko eszkę). Raczej intepetujemy stategie mieszaną gacza II jako oświadczenie niepewności gacza I odnośnie wybou pzez gacza II stategii czystej. Rzucając symetyczną monetę i wybieając to co wypadnie, gacz I zapewnia sobie oczekiwaną wypłatę ówną zeo.

4 Żadna inna stategia nie gwaantuje wyższej oczekiwanej wypłaty. Szkic obliczenia ównowagi w stategiach mieszanych: L P 1- W q a,b c,d N 1-q e,f g,h Paa stategii mieszanych (q,1-q) gacza I i (,1-) gacza II jest ównowagą Nasha jeśli: a + (1-)c = e + (1-)g qb + (1-q)f = qd + (1-q)h Własności stategii mieszanej: 1. Stategie mieszane nie występują w stategiach ściśle zdominowanych, czyli stategie ściśle zdominowane nie mogą być częścią stategii mieszanej. Pzykład: A q B C 1-q- G 1, 0 1, 2 0, 1 D 0, 3 0, 1 2, 0 Stategią mieszaną dla gacza II jest dystybucja pawdopodobieństwa (q,, 1-q), gdzie 0 q 1, 0 1, 0 q+ 1. Jak zwykle, czyste stategie gaczy są szczególnym pzypadkiem stategii mieszanych gaczy, czyli (1,0), (0,1), (1,0,0), itd. Stategia C jest zdominowana pzez B można wyeliminować C D jest zdominowana pzez G A jest zdominowana pzez B jedyna NE w tej gze [G,B] 2. Dana stategia czysta może być ściśle zdominowana pzez stategie mieszaną (nawet jeśli stategia czysta nie jest ściśle zdominowana pzez inną stategie czystą).

5 Pzykład: A q B C 1-q- G 1, 0 1, 2 0, 1 D 0, 3 0, 0 2, 1 Stategia czysta C jest zdominowana pzez stategie mieszaną A i B (np. q=2/5, =3/5), ponieważ oczekiwana wypłata z AB jest większa niż z C można wyeliminować C D jest zdominowana pzez G A jest zdominowana pzez B jedyna NE w tej gze [G,B] 3. Jeżeli pewna stategia czysta danego gacza jest zdominowana, to każda stategia mieszana (z dodatnim pawdopodobieństwem) tej stategii czystej ównież jest zdominowana. 4. Stategia czysta, któa nie jest najlepszą odpowiedzią na żadną stategię czystą pozostałych gaczy, może być najlepszą odpowiedzią na pewną stategię mieszaną pozostałych gaczy. Pzykład: A B C G p 1, 2 1, 0 0, 3 D 1-p 0, 2 0, 3 2, 0 Stategia A gacza II jest najlepszą odpowiedzią na stategię mieszaną [0,5;0,5] gacza I 5. Jeśli istnieje najlepsza odpowiedź gacza w stategiach mieszanych (z pośód wszystkich dostępnych stategii czystych), to każda stategia czysta tego gacza daje taką samą oczekiwaną wypłatę. 6. Jeśli gacz we wszystkich stategiach czystych ma jednakową oczekiwaną wypłatę, to stategie mieszane mogą mimo wszystko mieć óżne pawdopodobieństwa.

Podobne dokumenty

Dobór zmiennych objaśniających do liniowego modelu ekonometrycznego

Dobór zmiennych objaśniających do liniowego modelu ekonometrycznego Dobó zmiennych objaśniających do liniowego modelu ekonometycznego Wstępnym zadaniem pzy budowie modelu ekonometycznego jest okeślenie zmiennych objaśniających. Kyteium wybou powinna być meytoyczna znajomość