Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = x α dla: α =,, 3, 4; b) α =,, ; c) α =,, / oraz / 3 Zapisz w postaci pojedynczej potęgi dwójki: /64; b ; c) ( )/; d) ( ) 3 ( 3 ) ; e) ( 3 ) 4 ; f) 34 ; g) ( ) 4 Podaj wartości logarytmów: log 4; b) log 4 ; c) log ; d) log4 8; e) log 8 4; f) log 3 3 5 Kalkulatory naukowe pozwalają bez trudu obliczać logarytmy dziesiętne i naturalne Wyraź poniższe wyrażenia za pomocą pojedynczego logarytmu dziesiętnego bądź naturalnego: log ; b) log log 5; c) log 3 ; d) log 3; e) log ln 6 Czasem trudno odkryć zależność pomiędzy zmiennymi wielkościami x, y, ale łatwo pomiędzy ich logarytmami Wyraź y jako funkcję zmiennej x, jeżeli log y = 3 log x 7 Naszkicuj wykresy funkcji: y = x ; b) y = log(x + ); c) y = log x ; d) y = x ; e) y = x 8 Znajdź funkcję odwrotną do funkcji: y = x ; b) y = x ; c) y = x, x ; d)* y = x + x, x 9 Badania pokazują, że w dużych zbiorach danych złożonych z przypadkowych liczb, liczby zaczynające się cyfrą k stanowią około log ( + k ) wszystkich danych Oszacuj, jaka część danych zaczyna się cyfrą, jaka cyfrą b) Sprawdź, że ( log + ) ( + log + ) ( + + log + ) = 9 Wykaż, że log jest liczbą niewymierną Za pomocą odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczbę cyfr liczby n Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym liczba?
Lista - Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne Podaj wartości funkcji trygonometrycznych: tg π 3 ; b) sin π 3 ; c) cos 5 3 π; d) sin 5 4 π; e) cos 4 3 π; f) ctg π 3 Naszkicuj wykres funkcji: y = sin x; b) y = cos(x + π/4); c) y = sin x + sin x; d) y = sin x + 3 cos x 3 Określ typ parzystości (parzysta, nieparzysta, ani taka ani tak funkcji: y = sin x + sin 3x; b) y = sin x cos x; c) y = cos x + cos x + cos 3 x; d) y = sin x + sin x; e) y = x k cos x; f) y = sin(x + π/4) + cos(x + π/4) 4 Korzystając z okresowości, parzystości bądź nieparzystości i wzorów redukcyjnych oblicz: sin 5 3 π; b) cos 4 π; c) tg 3 π; d) sin ( 7 4 π) ; e) cos 7 6 π; f) sin π 5 + sin 8π 5 5 Wykaż tożsamości: + tg x = cos x ; b) (cos x + sin x) = + sin x; c) cos + cos x x = ; d) sin cos x x = ; e) sin x cos x = sin 3x + sin x ; f) cos 3 x = 3 cos x + cos 3x 4 6 Oblicz wartości czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych kąta sin 5 7 Wyraź sin 3α za pomocą sin α Udowodnij, że sin jest liczbą niewymierną 8 Oblicz wartości funkcji cyklometrycznych: arctg ; b) arcsin( /); c) arctg( 3); d) arcsin( /) 9 Krzywą, którą można otrzymać przesuwając wykres funkcji y = a sin(bx + c) dla ustalonych parametrów a, b, c, nazywamy sinusoidą Wykaż, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą: y = cos x; b) y = sin x; c) y = sin x cos x; d) y = sin x + cos x; e) y = (sin x + cos x) ; f) sin 4 x + cos 4 x Ile różnych wartości przyjmuje wyrażenie sin + sin + sin 3 + + sin k, gdy k przyjmuje wartości,,,? Pokaż, że jeśli t = tg(x/), to Oblicz: cos x = t t, sin x = + t + t sin π 7 + sin 4π 7 + sin 6π 7 + sin 8π 7 + sin π 7 + sin π 7 3 Udowodnij, że dla dodatnich x zachodzi równość arctg x+arctg(/x) = π Jak wygląda analogiczna równość dla ujemnych x? 4 Naszkicuj wykresy funkcji: y = tg(arctg x); b) y = arctg(tg x) c)* y = cos(arcsin x) 5 * Jednym z pierwiastków równania 4x 3 3x = jest cos Znajdź dwa pozostałe
Oblicz granice ciągów: Lista 3 - Granica ciągu a n = (n + 3)(n + ); b) b n = n + n 3 + n + ; c) c n = 3n + 4 n 5 n ; d) d n = + + + n ; n e) e n = n + n; f) f n = n + n n; g) g n = sin n n ; h)* h n = n n + 3 n Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją a n = (n + )/(n + ); b) b n = n n 3 ; c) c n = 3 n n ; d) d n = 3 n ( ) n 3 Jeżeli dla dodatnich funkcji f, g f(n) lim n g(n) = a, gdzie < a <, to mówimy, że f, g są tego samego rzędu; jeżeli a = mówimy, że są asymptotycznie równe Pokaż, że + + + n jest rzędu n b) Dla jakiego a ( n k) jest asymptotycznie równe an k? 4 Oblicz granice ciągów: a n = ( ( ) + n) n; b) bn = n n; n+ c) cn = ( ) n+ n; n d) dn = ( ) n n 5 Wyjaśnij, wskazując odpowiednie przykłady, dlaczego następujące wyrażenia sa nieoznaczone: ; b) / ; c) 6 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = lim n xn ; Uważaj na dziedzinę! ( b) f(x) = lim + x + x + x n) n 7 Wiadomo, że ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny Czy wynika stąd, że: ciąg rozbieżny nie jest ani ograniczony, ani monotoniczny; b) ciąg rozbieżny nie jest ograniczony lub nie jest monotoniczny; c) ciąg ograniczony niemonotoniczny nie jest zbieżny; d) ciąg zbieżny jest ograniczony i monotoniczny? 8 Niech P n oznacza pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu, L n obwód tego wielokąta Znajdź granice obu ciągów, b) Wywnioskuj stąd granicę ciągu a n = n sin(π/n) 9 Rozważmy ciąg a =, a n+ = a n + a n Wiedząc, że ciąg ten jest zbieżny, znajdź jego granicę Oblicz kilka początkowych wyrazów i porównaj z wynikiem dokładnym b) Podaj analogiczny ciąg o granicy: 3; b) 3 Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród 83 osób przynajmniej jedna obchodzi urodziny w tym samym dniu, co Ty? Rachunki możesz wykonać w pamięci Udowodnij, że lim n n n =
Oblicz granice funkcji: lim x x 3 x ; Oblicz granice funkcji: x b) lim ; x x sin x sin x lim ; b) lim x x x sin x ; ln( x) sin x e) lim ; f) lim x x x π x π ; Lista 4 - Granica funkcji c) lim x + x x x sin x ; d) lim x x cos x e x c) lim x x ; d) lim x e x ; g) lim x cos x ; h) lim x sin x x π/ 3 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach znajdź granice: lim x sin x x ; b) lim x[x]; cos x x + sin x c) lim ; d) lim x x x x x + cos x cos x π x 4 Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie: y = x x 5 Znajdź asymptoty funkcji: w punkcie ; b) y = sgn x x w punkcie ; c) y = x x x y = x3 x ; b) y = x3 + 8 (x 4) ; c) y = x (x + x 6) ; d) y = w punkcie + x x 6 Niech S(h) oznacza powierzchnię całkowitą stożka o ustalonej podstawie r i wysokości h Znajdź granicę S(h) przy h dążącym so zera za pomocą: rozumowania geometrycznego; b) obliczeń 7 Niech S(h) oznacza pole powierzchni tej części Ziemi, jaka widoczna jest z wysokości h Znajdź lim S(h), przyjmując, że Ziemia jest kulą o promieniu R h 8 Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dla a > a + r a + r a Korzystając z tego wzoru pokaż, że: 9/6; b) 5 3/8; c) 99/7 9 Przy stałym tempie wzrostu p% przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim dana wielkość się podwaja Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowi p% b) Uzasadnij, że dla małych p okres ten wyraża się przybliżonym wzorem 7/p c) Czy średni przyrost naturalny w ciągu ostatnich lat był wyższy od promila czy niższy?
Lista 5 - Ciągłość Wskaż punkty nieciągłości i określ ich rodzaj:, gdy x, y = x w pp; cos gdy x >, b) y = x x < ; c) y = x, gdy x, x w pp; Korzystając z twierdzenie Bolzana o wartościach pośrednich dla funkcji ciągłych uzasadnij, że równanie: x 5 + x + = ma dokładnie jeden pierwiastek; b) e x = + x + x ma dodatni pierwiastek; c) ln x + ln( + x) = ma dokładnie jeden pierwiastek 3 Za pomocą połowienia przedziału znajdź przybliżoną wartość jedynego pierwiastka równania: x 3 + x = 3 4 Znajdź zbiór wartości funkcji f(x) = e x + x Wskaż, gdzie w uzasadnieniu odpowiedzi korzystasz z twierdzenia Bolzana 5 Gdzie w poniższych rachunkach korzystamy z ciągłości? Jakiej funkcji i w jakim punkcie? ( lim n ln + ) ( = lim n n ln + n ( = ln lim + n n) n = ln e = n n) 6 Czy funkcję y = sin(/x) można dookreślić w punkcie zero tak, aby była ciągła na całej prostej? A funkcję y = x sin(/x)? 7 Korzystając z twierdzenia Bolzana wykaż, że każdy wielomian nieparzystego stopnia ma przynajmniej jeden pierwiastek 8 Za pomocą funkcji sufit lub podłoga określ funkcję, która będzie ciągła we wszystkich punktach z wyjątkiem punktów o współrzędnych będących: liczbami całkowitymi parzystymi; b) liczbami całkowitymi nieparzystymi 9 Zbadaj, w jakich punktach jest ciągła funkcja { x, gdy x wymierna; y = w pp
Lista 6 - Pojęcie pochodnej i równanie stycznej Korzystając z definicji oblicz pochodne: y = x + ; b) y = x; c) y = e x Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej oblicz pochodne funkcji: y = x(x ) ; b) y = x ; c) y = x; d) y = x x; e) y = ( x + x) ( x x) 3 Oblicz: f () dla funkcji y = (x + x) 3 ; b) f () dla funkcji y = x + x x 4 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji: y = e x w punkcie (, f()); b) y = ln x w punkcie (e, f(e)) 5 Znajdź kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji y = x poprowadzonej w punkcie (, ) a dodatnią półosią osi Ox Analogicznie dla stycznej w punkcie (, ) 6 Jaki związek zachodzi pomiędzy f () a f ( ) dla funkcji: parzystej; b) nieparzystej? 7 Które z poniższych zdań są prawdziwe: A Każda funkcja ciągła jest różniczkowalna B Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła C Jeżeli funkcja nie jest ciągła, to nie jest różniczkowalna D Jeżeli funkcja nie jest różniczkowalna, to nie jest ciągła 8 Oblicz pochodne niewłaściwe w punkcie x funkcji: y = x, x = : b) y = x, x = ; c) y = arcsin x, x = Jaką informację o wykresie odpowiedniej funkcji możesz stąd wywnioskować? 9 Wskaż punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna (o ile takie istnieją) W punktach nieróżniczkowalności oblicz wartości obu pochodnych jednostronnych y = x + ; b) y = x + x y = x 3 + x ; d) y = x x Pokaż, że funkcja f(x) = x sin(/x) dla x, f() = nie jest różniczkowalna w punkcie zero Czy ma w tym punkcie pochodne jednostronne? A niewłaściwe? Wyraż za pomocą pochodnej związek pomiędzy polem koła a obwodem okręgu oraz pomiędzy powierzchnią kuli a jej objętością Zakładając, ze podobny związek zachodzi także w wyższych wymiarach znajdź powierzchnię kuli czterowymiarowej, wiedząc, że jej objętość wynosi π / Wykaż, że jeśli funkcja różniczkowalna f spełnia warunki f(a + b) = f(f(b) oraz f () =, to f = f W przyszłości pokażemy, że jedyną taką funkcją jest y = e x 3 Pokaż, że styczna poprowadzona do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie P = (a, f() przecina oś Ox w punkcie o współrzędnej x-owej Zapisz ten wzór dla funkcji y = x a = a f( f ( b) Rozważmy ciąg określony warunkami x =, x n+ = x n Oblicz kilka początkowych jego wyrazów i odgadnij jego granicę c) Znajdź w podobny sposób przybliżoną wartość pierwiastka równania x 3 + x = 3
Lista 7 - Obliczanie pochodnych Oblicz pochodną korzystając z podstawowych wzorów: y = x 4 x + ; b) y = x x; c) y = xe x ; d) y = x ln x e) y = sin x cos x; f) y = x3 + x + ; ln x g) y = x ; sin x h) y = x ; i) y = sin x ; x + sin x j) y = x + cos x Korzystając ze wzorów na pochodne eksponenty e x oraz logarytmu naturalnego oraz wzoru na pochodną funkcji złożonej wyprowadź wzory na pochodną: y = a x ; b) y = log a x, gdzie a dodatnie, różne od 3 Oblicz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej: y = e x ; b) y = sin 4x; c) y = ln(x + ); d) y = (sin x + cos x) 3 ; e) y = sin(cos x); f) y = + x ; g) y = ln sin x; h) y = sin( sin(3x)) 4 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = + x + x w punkcie (, f( )); b) y = ex e x w punkcie (, f()); + c) y = ln(x + ) w punkcie (, f()); d) y = tg x w punkcie (π/4, f(π/4)) 5 Sprawdź, że (sin x) = sin x Wywnioskuj stąd wzór napochodną cos x 6 Oblicz pochodną korzystając ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej: y = x; b) y = arctg x; c) y = arcsin x 7 Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji y = x w punkcie ( /, /) dwiema metodami: geometrycznie; b) algebraicznie 8 Znajdź równanie stycznej do wykresu y = tg x w punkcie (π/4, ) Wywnioskuj z niego równanie stycznej do wykresu y = arctg x w punkcie: (, π/4); b) (, π/4) 9 Oblicz cztery pierwsze pochodne w punkcie zero: funkcji y = sin x; b) funkcji y = ln( + x) W obu przypadkach podaj ogólne wzory na n-tą pochodną w zerze W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji y = x x jest równoległa do: osi Ox; b) prostej y = x; c) osi Oy? Wyprowadź wzór na pochodną y = + x nie korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej Korzystając ze wzoru na pochodną y = x n dla wykładników naturalnych oraz wzoru na pochodną funkcji odwrotnej znajdź pochodną y = n x Wywnioskuj stąd wzór na pochodną y = x α dla wymiernych wykładników 3 Załóżmy, że f jest różniczkowalna Korzystając z definicji wyprowadź wzór na pochodną funkcji: y = f(x ); b) y = f(e x )
Lista 8 - Monotoniczność, ekstrema i wypukłość Uzasadnij, że funkcja y = x 3 + x + x + jest rosnąca Naszkicuj wykres wielomianu: y = x 3 3x + ; b) y = x 4 4x 4x 3 Znajdź ekstrema podanych funkcji i określ ich rodzaj: x(x + ) 3 ; b) y = x 4 + x + ; c) y = x x ; d) y = x ln x; e) y = x e x 4 Znajdź ekstrema i przedziały monotoniczności: y = x + x ; b) y = x 4 x ; c) y = + ln x ; d)y = x 4 4x + 3 x 5 Naszkicuj wykres funkcji: y = x + x ; b) y = x + x ; c) y = xe x ; d) y = 6 Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: y = x 3 + 3x x + na przedziale [, 3]; b) y = x + x na przedziale [, 4] x x + 7 Wykaż, że równanie x + cos x = ma tylko jeden pierwiastek Jaki? 8 Znajdź zbiór wartości i liczbę rozwiązań równania f(x) = m dla funkcji: y = x + x + x x + ; b) y = x + x + x 3 9 Niech V (r) oznacza objętość walca o podstawie r wpisanego w kulę jednostkową Naszkicuj wykres funkcji V (r) b) Znajdź największą wartość i zbiór jej wartości Podaj przykład funkcji wszędzie dodatniej: rosnącej i wypukłej; b) rosnącej i wklęsłej; c) malejącej i wypukłej; d) malejącej i wklęsłej Znajdź przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: y = x ln x; b) y = xe x Korzystając z wypukłości odpowiednich funkcji uzasadnij nierówność: e x + x; b) ln( + x) x: c) sin x < x dla dodatnich x Zilustruj nierówność szkicując fragmenty wykresów obu porównywanych funkcji 3 Nie korzystając z kalkulatora rozstrzygnij, która z liczb jest większa: e π czy π e? 4 Pokaż, że dla funkcji różniczkowalnej f zachodzi równość f (x) = [ln f(x)] f(x) Naszkicuj wykres funkcji y = x x 5 Znajdź wszystkie możliwe odległości punktu paraboli y = x od początku układu współrzędnych 6 * Wykaż, że funkcja x 3 + + x + x + jest rosnąca
Lista 9 - Aproksymacje, wzór Taylora i reguła de l Hospitala Korzystając z różniczki oblicz przybliżoną wartość: 3, 9: b) ln, ; c) sin 3; d) tg Porównaj z wartościami dokładnymi Z twierdzenia Lagrange a wynika, że przy odpowiednich założeniach f(x) = f( + f (c)(x Znajdź c o którym tu mowa w przypadku funkcji: f(x) = x, oraz a =, x = ; b) f(x) = ln x oraz a =, x = e 3 Zapisz cztery kolejne przybliżenia taylorowskie dla f(x) = x 3 + x + 3x + 4: wokół a = ; b) wokół a = 4 Oblicz przybliżoną wartość e sumując pięć początkowych składników rozwinięcia Maclaurina dla e x Oszacuj błąd przybliżenia 5 Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij przybliżenie sin x x x3 3! + x5 5! Oszacuj błąd przybliżenie przy założeniu, że x < π/ 6 Znajdź: trzy pierwsze wyrazy rozwinięcia Maclaurina dla y = + x; b rozwinięcie Maclaurina dla funkcji y = ln( + x) 7 Korzystając z reguły de l Hospitala oblicz granice: ln x arctg x sin ln x lim b) lim ; c) lim x x x ( x x ln x e) lim x x ln x; f) lim + x sin x ) ; g) lim x x x/x ; 8 Naszkicuj wykres funkcji: y = ln x ; b) y = x ln x x x n ; d) lim x e x ; h) lim x ( + sin x) /x 9 Korzystając z twierdzenia Lagrange a wykaż, że jeśli f = f, to f(x) = Ce x Uzasadnij, że błąd aproksymacji f(x) f( + f ((x jest równy co najwyżej iloczynowi połowy maksimum drugiej pochodnej na przedziale [a, x] (bądź [x, a]) i kwadratu jego długości Podaj analogiczne oszacowanie błędu aproksymacji f(x) f( + f ((x + f (/(x Odgadnij asymptoty funkcji y = ln( + e x ) i sprawdź swoje przypuszczenia za pomocą obliczeń Czy wykres przecina którąkolwiek z asymptot?
Lista - Całka oznaczona, wzór Newtona-Leibniza i techniki całkowania Oblicz podaną całkę przybliżając ją za pomocą sumy prostokątów: x ; b) x ; c)* x Wsk: b) zachodzi równość + + + n = n(n + )(n + )/6; c) dobierz punkty podziału tak, aby tworzyły ciąg geometryczny Korzystając z geometrycznej interpretacji całki oznaczonej oblicz całki: 4 4 x ; b) ( + x ) ; c) x ; d) x x 3 Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: x n ; b) π sin x ; c) x ; d) e x 4 Oblicz przybliżoną wartość całki x, dzieląc przedział na 4 równe odcinki i biorąc wartości: w lewych końcach przedziału; b) w środkach przedziału Porównaj z wartością dokładną 5 Korzystając z całkowania przez podstawienie znajdź całki: (x + ) 7 ; b) e x + e x ; c) x 4 x ; d) e e) x ln x ; f) x e x ; g) ; h) x + ex 6 Korzystając z całkowania przez części znajdź całki: x sin x ; b) xe x ; c) x ln x ; d) arctg x ; e) x e x ; f) e x sin x 7 Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: xe x ; b) x + x c) e 8 Nie korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz 9 Oblicz lim n ( n n + + n n + 4 + + ln x π sin x x sin x ; x + x ) ( n n + n ; b) lim n n + + n + + + ) n Aproksymując pole pod wykresem y = /x za pomocą prostokątów wykaż, że suma różni się od ln n o mniej niż Oblicz π + + 3 + + n sin x bezpośrednio z definicji, korzystając ze wzoru na sumę sin α + sin α + + sin nα = sin nα sin α (n+)α sin
Oblicz poniższe całki nieoznaczone: x + : b) (x + ) 3 ; c) Lista - Techniki całkowania - cd x + 4 ; d) x ( + x ) 3 Rozłóż na ułamki proste i znajdź całkę nieoznaczoną: x(x ) ; b) x x 4 ; c) (x + ) x(x + )(x + ) ; d) x + x + x + x 3 ; x (x + 3) (x + ) e) x + 4 ; f) x ; g) + x + x + ; h) x 4x + ; i) x + x + ; j) x x + 6x + ; k) x 3 + 4x ; l) x x 4 3 Oblicz całkę: x 3 + x 4 + x ; b) + x + 4 Oblicz całki z funkcji trygonometrycznych: tg x ; b) cos x ; c) sin 3 x ; d) e) sin 3x sin x ; f) sin x cos 5x ; g) cos x cos 4x ; h) 5 Pamiętając, że (tg x) = + tg x oblicz tg x cos 4 x ; sin x 6 Znajdź całkę nieoznaczoną x za pomocą podstawienia x = sin t Korzystając z tej całki pokaż, że pole koła x + y jest równe π 7 Wyprowadź zależność x n cos x = x n sin x n x n sin x 8 Funkcje hiperboliczne definiujemy wzorami cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x Podaj przykłady analogii (tożsamości, pochodne, całki) pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi b) Czy funkcje hiperboliczne są ograniczone? okresowe? c) Sprawdź, że każdy punkt postaci (± cosh t, ± sinh t) leży na hiperboli x y =, a także (trudniejsza część zadani, iż każdy punkt tej hiperboli ma taką postać 9 Korzystając z podstawienia x = cosh t oblicz całkę + x
Lista - Zastosowania całek oznaczonych Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = x x, x + y = ; b) y = x, y = x ; c) yx =, y = x, y =, x = ; d) x =, y = arcsin x, y = π/; e) y = x, x = y ; f) y = 4 x, y = x Znajdź średnią wartość funkcji na wskazanym przedziale: x na [, a]; b) sin x na [, π]; c) cos x na [, π]; d) ln x na [, e] 3 Oblicz pole obszaru ograniczonego elipsą 4x + y = 4 Oblicz objętość i powierzchnię bryły utworzonej przez obrót łuku sinusoidy y = sin x, x π wokół osi Ox 5 Korzystając ze wzorów na objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót wokół osi Oy oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu wokół tej osi: odcinka y = x, x a; b) odcinka paraboli y = x, x a Jak rozwiązać b) korzystając z wzorów na obrót wokół osi Ox? 6 Korzystając ze wzoru na długość łuku: oblicz długość łuku y = x x, x ; b) oblicz długość łuku krzywej łańcuchowej y = (e x + e x )/, x ; c) sprawdź, że obwód okręgu x + y = jest równy π Uwaga: W zadaniu c) pojawia się całka niewłaściwa (wykraczająca na niektórych kierunkach poza program), ale nie ma to wpływu na obliczenia 7 Wyprowadź znane wzory na objętość i pole powierzchni kuli o promieniu R 8 Trąbką Torricellego nazywamy powierzchnię powstałą przez obrót krzywej y = /x, x wokół osi Ox Pokaż, że powierzchnia trąbki jest nieskończona, a jej objętość skończona b) Wypełniając tę trąbkę farbą pomalujemy nieskończoną wewnętrzna powierzchnię za pomocą skończonej ilości farby Wyjaśnij ten paradoks Uwaga: W zadaniu tym operujemy tzw całką niewłaściwą Dość łatwo jest takiej całce nadać ścisły sens bądź znaleźć definicję w literaturze/internecie 9 Oblicz powierzchnię torusa utworzonego przez obrót okręgu x + (y R) = r (R > r) wokół osi Ox Sprawdź, że powierzchnia ta jest równa iloczynowi obwodu okręgu tego okręgu przez drogę, jaka przebywa jego środek Oblicz powierzchnię czaszy wyciętej ze sfery x + y + z = płaszczyzną z = a, gdzie < a < Sprawdź, że jest ona równa powierzchni jej rzutu prostokątnego na powierzchnie walca stycznego do tej sfery