EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 11) Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku 4 Pisz czytelnie Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem 5 Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl 6 Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie 7 Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie 8 Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora 9 Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora 10 Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL Zamaluj pola odpowiadające cyfrom numeru PESEL Błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe Życzymy powodzenia! MAJ ROK 007 Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 50 punktów Wypełnia zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO KOD ZDAJĄCEGO

2 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1 (5 pkt) Dana jest funkcja f ( x) = x 1 x+ dla x R a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla x (, ) b) Naszkicuj wykres tej funkcji c) Podaj jej miejsca zerowe d) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ( ) rozwiązania f x = m nie ma a) Niech x (, ), wtedy: x 1< 0, czyli x 1 = ( x 1) oraz x + < 0, czyli x+ = ( x+ ) Zatem dla x (, ) otrzymuję: ( ) ( ) ( ) ( ) f x = x 1 x+ = x+ 1+ x+ = Funkcja f dla x (, ) jest funkcją stałą, a jej zbiorem wartości jest zbiór { } b) Po zastosowaniu definicji wartości bezwzględnej funkcję f zapisuję w następującej postaci: ( ) ) ) dla x, f ( x) = x 1 dla x,1 dla x 1,

3 Egzamin maturalny z matematyki Szkicuję wykres funkcji f y - 1 x -1 - Funkcja ma jedno miejsce zerowe w przedziale (,1) (co widać na sporządzonym wykresie) Miejsce zerowe funkcji f wyznaczam, korzystając z jej wzoru w tym przedziale: 1 x 1= 0, stąd x 0 = c) Równanie f ( x) = m nie ma rozwiązań, gdy prosta o równaniu y= m nie przecina wykresu funkcji f, czyli dla m < lub m >

4 4 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierówność: log ( x 1) log ( 5 x) > log ( ( x 1) ) Wyznaczam dziedzinę nierówności logarytmicznej: x x x 1> 0 5 > 0 + 1> 0 Rozwiązania tych nierówności zaznaczam na osi liczbowej: Dziedziną danej nierówności jest przedział ( 1,5 ) x Korzystam ze wzoru na sumę logarytmów i otrzymuję nierówność równoważną: ( x )( x) > ( x+ ) 1 1 ( ) log 1 5 log 1 Funkcja logarytmiczna przy podstawie 1 jest malejąca, więc po opuszczeniu logarytmów i zmianie zwrotu nierówności otrzymuję nierówność równoważną: ( x 1)( 5 x) ( x 1) < + Przedstawiam ją w postaci iloczynowej: ( x 1)( x+ 1)( 5 x) < ( x+ 1) ( x )( x )( x) ( x ) < 0 ( x ) ( x )( x) < 0 ( x )( x x ) < 0 ( x )( x )( x ) < 0 Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów ( 1, ) ( 4, ) Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej jest część wspólna otrzymanego zbioru i dziedziny: ( 1, ) ( 45, )

5 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie (5 pkt) Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień półkuli Objętość stożka stanowi lądownika objętości całej kapsuły Oblicz objętość kapsuły Sporządzam pomocniczy rysunek: h r Zapisuję zależność miedzy długością promienia stożka i jego wysokością: h= r+ 1 Objętość V kapsuły zapisuję jako sumę objętości stożka i półkuli: 1 V r h r stąd V = π r + π r = π + π = π r ( r 1) π r Zależność między objętością z treści zadania ma postać: VS = V, stąd V S stożka i objętością V kapsuły wynikającą 1 1 πr ( r+ 1) = πr + πr 1 1 πr ( r+ 1) = πr r+ 1 r+ 1= r+ 1 r = Obliczam objętości V kapsuły lądownika: m V = π 7

6 6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 4 ( pkt) Dany jest trójkąt o bokach długości 1,, Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta Wykonuję rysunek pomocniczy, na którym zaznaczam poszukiwany kąt: 1 α Wykorzystuję twierdzenie cosinusów do zapisania równania: () 1 = + cosα i obliczam wartość cosinusa kąta α : 7 cosα = 8 Wartość funkcji sinus kąta α wyznaczam z tożsamości trygonometrycznej α + α = sin cos 1 sin α + = 1, sin α = Kąt α jest kątem ostrym, więc sinα = 8

7 Egzamin maturalny z matematyki 7 Zadanie 5 (7 pkt) Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y = x +6x Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta Aby sporządzić rysunek wyznaczam współrzędne wierzchołka danej paraboli: = + 6 = ( ) + 9, więc wierzchołek paraboli ma współrzędne ( ) y x x x Wykonuję rysunek ilustrujący treść zadania:,9 9 y C A 60 0 B x Trójkąt ABC jest równoboczny, więc kąt BAC ma miarę 60 Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i C jest więc równy tg60 = Wyznaczam równanie prostej AC: prosta y x b = + przechodzi przez punkt C = (,9) równy b = + 9 Prosta AC ma równanie: y= x + 9, więc współczynnik b jest

8 8 Egzamin maturalny z matematyki Aby wyznaczyć współrzędne punktu A rozwiązuję układ równań: y= x + 9 y = x + 6x Po dokonaniu podstawienia y x 6x = + otrzymuję równanie x 9 6 x + = x + x, które po uporządkowaniu przyjmuje postać: ( ) + x = 0 Rozwiązaniem równania są liczby: x 1 =, x = Współrzędne punktów przecięcia prostej AC z parabolą następujące: (,6) oraz (,9 ) = + 6 są więc y x x Punkt (,9 ) jest wierzchołkiem paraboli, więc punkt A ma współrzędne (,6) Współrzędne punktu B wyznaczam wykorzystując fakt, iż osią symetrii paraboli = + 6 jest prosta x = Punkt B jest więc obrazem punktu A w symetrii y x x względem tej prostej, czyli B = ( +,6)

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 Zadanie 6 (4 pkt) Niech A, B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach P( A ) i ( ) P( A ) = 0,85 i P( B ) = 0,75 P( A B) 0,8 P B Wykaż, że jeżeli, to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność Ponieważ P( A B) 1 z własności prawdopodobieństwa, więc 1 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) Stąd po przekształceniu otrzymuję: P( A B) P( A) + P( B) 1 ( B) 0,85 + 0,75 1 P A ( B) 0,6 P A Korzystam z definicji prawdopodobieństwa warunkowego: ( B) P( B) P A 0,6 0,75 ( ) = i otrzymuję ( ) 0,8 P A B P A B

10 10 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7 (7 pkt) Dany jest układ równań: mx y = x + my = m Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb ( ) układu równań Wyznacz najmniejszą wartość sumy x + y dla m, 4 x,y, która jest rozwiązaniem tego Rozwiązaniem układu równań m x = m + 1 m y = m + 1 mx y = x + my = m m Sumę x + y zapisuję w postaci funkcji f ( m) = dla każdego m R jest para liczb + m m + 1, m R Aby znaleźć najmniejszą wartość sumy w danym przedziale obliczam pochodną funkcji f: f ( m) + + = m 6m ( m + 1), m R Obliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji f: ( m) 0 f = gdy m + 6m+ = 0 Rozwiązaniami równania są liczby: m 1 = 1, m = 1+, przy czym m1,4 Badam znak pochodnej w przedziale,4 : > +, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale Ponieważ f ( m) 0dlam (,1 ), 1 ) < +, więc funkcja f jest + Ponieważ f ( m) 0dlam ( 1,4) malejąca w przedziale (1+, 4 Stąd wnioskuję, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość w jednym z końców przedziału,4

11 Egzamin maturalny z matematyki 11 Obliczam wartość funkcji f na końcach przedziału: f ( ) = oraz ( 4) i porównuję otrzymane liczby Najmniejszą wartością sumy x 6 + y jest f ( 4) = f = 17

12 1 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8 ( pkt) Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) = dla x ( 0, ) (, ) a) Naszkicuj wykres funkcji f b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f sin x sin x sin x π π π Korzystam z definicji wartości bezwzględnej i zapisuję wzór funkcji f w postaci: f ( x) f ( x) sin x sin x dla sin x > 0 sin x = sin x+ sin x dla sin x < 0 sin x sin x 1 dla sin x> 0 = sin x+ 1 dla sin x< 0 Szkic wykresu funkcji w podanym zbiorze jest następujący: y 1 π π x -1 Na podstawie wzoru wyznaczam miejsca zerowe funkcji: f ( x ) = 0 dla x takich, że sin x 1= 0 lub sin x + 1 = 0, czyli dla x = π, oraz x = π

13 Egzamin maturalny z matematyki 1 Zadanie 9 ( pkt) Przedstaw wielomian ( ) 4 W x = x x x + 4x 1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden Dany wielomian ( ) 4 W x = x x x + 4x 1 przedstawiam w takiej postaci, aby można było zastosować wzory skróconego mnożenia: ( ) 4 W x = x x + x 4x + 4x 1 Grupuję wyrazy i przedstawiam wyrażenie w postaci różnicy kwadratów dwóch wyrażeń: W( x) ( x x) ( x 1) = Wykorzystuję wzory skróconego mnożenia do rozkładu wielomianu na iloczyn dwóch wielomianów stopnia drugiego: ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( x x 1) ( x x 1) W x = x x x = x x+ x x x x+ = = + +

14 14 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 10 (4 pkt) Na kole opisany jest romb Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi Wyznacz miarę kąta ostrego rombu π 8 Sporządzam rysunek pomocniczy i wprowadzam następujące oznaczenia: a długość boku rombu, r promień koła wpisanego w romb, P K pole koła wpisanego w romb, P R pole rombu, α kąt ostry rombu D C a r A α E B Zgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami PK = π r, R P = a r Z warunków zadania wynika proporcja: PK πr π = =, stąd P a r 8 R r a = 8 Z otrzymanej równości wyznaczam promień okręgu: r = a 4 DE Z trójkąta prostokątnego AED wyznaczam sinus kąta α : sinα = = AD r a a 4 sinα = = a Zatem α = 60

15 Egzamin maturalny z matematyki 15 Zadanie 11 (4 pkt) Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ( a n ) wyraża się wzorem S n = n + n dla n 1 a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: a + a + a + + a Sn b) Oblicz lim n n a) Wyznaczam wzór ogólny ciągu ( a n ), korzystając z własności sum częściowych ciągów: an = Sn Sn 1 ( ) a n n n n n n = = 4 1 Wyznaczam wartość wyrazu a = 7 i różnicy ciągu ( a, a 4,, a 100 ), r = 8 Obliczam sumę n = 50 początkowych wyrazów ciągu o numerach parzystych: S 50 ( ) = 50 = S n b) Obliczam granicę ciągu n : lim n Sn n + n = lim = n n n

16 16 Egzamin maturalny z matematyki BRUDNOPIS