Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x

Transkrypt

1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej zaznaczyć na osi liczbowej zbiory punktów spełniających podany warunek. Zapisać rozwiązanie równania lub nierówności. a) + 4 = 2 b) 2 > 1 c) 6 2 d) + 2 = e) + > 1 f) + 6 = 1 g) = h) 5 + < 5 i) > 4.. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej zapisać podane zbiory punktów przy pomocy. a) {4 18} b) {1 + + } c) < < d) e) ( 4) (10 + ) f) ( 2 [ ). 4. Wykazać że dla dowolnych a b R zachodzi nierówność trójkąta a + b a + b. 5. Rozwiązać równania lub nierówności a) + 2 = + 2 b) = 5 c) + 1 = d) 2 < e) 6 f) > Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci kanonicznej i postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) c) d) e) f) Dla jakich wartości parametru m funkcja f() = (m ) 2 + (m ) + m 2 a) jest funkcją liniową. Dla tej wartości m narysować wykres f() b) jest funkcją kwadratową mającą jeden pierwiastek. Dla znalezionej wartości m narysować wykres f() c) ma największą wartość dodatnią. 8. Dla jakich wartości parametru m funkcja f() = m m : a) ma miejsce zerowe b) ma dwa miejsca zerowe różnych znaków c) ma dwa miejsca zerowe dodatnie d) ma najmniejszą wartość będącą liczba dodatnią. 9. Określić liczbę g(m) punktów wspólnych prostej y = m i krzywej y = (m + 1) 2 + (2 m) 2 w zależności od parametru m. Narysować wykres funkcji g(m).

2 Matematyka Lista Wyznaczyć współczynniki i określić stopień funkcji wielomianowych: a) ( 4 + 1)( 2 + 4) b) y = ( )( 2) 2 c) W () = ( + 2) ( 1) 2 d) y = ( + 1) 2 (2 + ) Obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q: a) P () = Q () = b) P () = Q () = c) P () = Q () = ( 1). 12. Dla jakiej wartości parametru a reszta z dzielenia wielomianu W () = 2 + (a 2 + 1) 2 (a + 2) 6 przez dwumian Q() = + jest możliwie najmniejsza. 1. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: a) b) c) d) Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów: a) b) c) d) Podane wielomiany przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników: a) b) c) d) Rozwiązać równania: a) 2 = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 e) 2 + = + 1 f) 2 = Rozwiązać nierówności: a) < 4 b) > 0 c) (1 2 )( ) 0 d) e) 2 < 2 f) 2 + > Rozwiązać równania: a) = b) = c) = d) + a + a = Rozwiązać nierówności: d) a) ( 1)2 ( + 1) 0 b) ( + 1) e) 2 5 < 2 c) < + 1 f) 2 1 2

3 Matematyka Lista 1 g) < 1 h) < i) < Przeprowadzić dyskusję istnienia rozwiązań równania i ich liczby w zależności od parametrów a i b: a) a + b = 2 b) 1 + b = a. 21. Uzasadnić że żadna liczba całkowita nie spełnia nierówności 22. Narysować wykresy funkcji: < a) f() = 6 2 b) f() = 6 c) f() = d) f() = e) f() = 2 + 1/( 1) f) f() = (2 )/( + 1) g) f() = 1/ h) f() = 2 i) f() = sgn( 1) j) f() = sgn( 2 ). Uwaga: funkcja sgn() (znak ) przyjmuje wartość +1 dla > 0 0 dla = 0 i 1 dla < 0.

4 Matematyka Lista 2 4 Matematyka Lista 2 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): ( ) Która z liczb jest większa: 2 czy 2?. Rozwiązać równania wykładnicze: (a) = (b) = (c) = 128 (d) ( ) 2 (81 ) = (e) = 24 (f) ( ) 1 1 = Rozwiązać nierówności: (a) 4 2 < 9 2 (b) (c) > 0 (d) (e) 4 +8 < 6 2 (f) Dla jakich wyrażenie 1/(2 + 2 ) przyjmuje wartości z przedziału ( 1 2/5)? 6. Obliczyć lub uprościć: log 1 6 log log5 9 log 5 log log log ( ) 1 e ln 2 2 log 6 2+log 6 18 log 2 log 9 2 ln 2+log 2 e log 1 +log 2 4 +log 8. (Uwaga: e jest liczbą Eulera (Napiera); ln = log e ) 7. Która z liczb jest większa: log 2 a czy log a? 8. Częstość występowania określonej pierwszej cyfry w wielu rzeczywistych danych statystycznych wykazuje regularność nazywaną prawem Benforda. Prawdopodobieństwo wystąpienia cyfry k k = to P k = log 10 ((k + 1)/k). Rozkład Benforda jest stosowany do sprawdzania poprawności zeznań podatkowych bądź defraudacji gdyż ludzie wpisując liczby tak żeby wydawały się przypadkowe nie są świadomi że pewne cyfry występują częściej na pierwszej pozycji. ( Wyznacz częstotliwości występowania cyfr na pierwszej pozycji sugerowane przez prawo Benforda. 9. Jaki dochód przyniesie po 4 latach lokata w wysokości 1000 zł oprocentowana w wysokości 6% rocznie jeżeli odsetki dopisywane są raz w roku? O ile zmieni się dochód jeżeli kapitalizacja jest miesięczna?

5 Matematyka Lista Nominalne oprocentowanie lokaty wynosi 6% w stosunku rocznym. Jakie jest oprocentowanie efektywne jeżeli odsetki dopisywane są co miesiąc? 11. Wpłacasz do banku 100 zł w formie lokaty długoterminowej ze stałym oprocentowaniem 6% w stosunku rocznym. Po jakim czasie wartość lokaty przekroczy 1000 zł gdy odsetki dopisywane są: (a) raz w roku (b) co miesiąc. 12. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji: (a) miesięcznej (b) dziennej (c) n razy w roku w równych odstępach czasu. 1. Rozwiązać równania: (a) log (+1) = 2 (b) ln 2 + ln = 4 (c) log 2 +log 8 = 12 (d) log 5 + log 5 ( + 5) = 2 + log 5 2 (e) log 2 log = Rozwiązać nierówności: (a) log < 1 (b) log 1 2 (c) log 2 2 log 2 2 (d) log log 1 ( 1) log 1 6 (e) log 9 2 log + 1 > 0 (f) log 2 ( 1) 2 log( 1) > 0 (g) log 2 < Dla jakich wartości m równanie log 0.5 m = 0 ma dwa różne pierwiastki. 16. Rozwiązać układy: { 2 log log (a) y = 2 10 y = { { y = 6 (b) log y = 16 (c) y = 9 y = log Naszkicować wykresy funkcji: (a) y = (b) y = 2 (c) y = 2 + (d) y = 2 2 (e) y = log ( 1) (f) y = ln (g) y = log 2 (2) (h) y = log Czym różnią się wykresy funkcji y = log 2 i y = 2 log? Wskazówki i odpowiedzi do zadań. a) 8/11 b) 1 c) 1/2 d) 2 2 e) 2 f) 1/5. 4. d) e) (1 2) f) [1 ) (1.06) (1.005) [(1.005) %. 11. a) l: 100 (1.06) l > 1000 b) m: 100 (1.005) m > a) (1 + r/12) 12 1 b) (1 + r/65) 65 1 c) (1 + r/n) n a) 8 b) e 4 e c) 2 9 d) 5 e) 8 1/ a) (0 1/ ) b) 1/4 c) (0 1) d) e) ( 2 1). 16. a) = y = 1 lub = 6 y = 4 b) = 9 y = 4 lub = 4 y = 9 c) = y = 2 lub = 1/9 y = 1.

6 Matematyka Lista 6 1. Dla następujących macierzy: A = [ Matematyka Lista [ B = C = wykonać te działania A + B A C 2A B A B + C AC CA A T C T A C T C T B T (A T + C) T (C B T )A ABC ACB CA T B które są poprawne. 2. Znaleźć metodą Gaussa macierze odwrotne do podanych (sprawdź czy AA 1 = I): [ (a) (b) 9 4 (c) Rozwiązać równania macierzowe: [ [ (a) X = 4 4 ([ 1 0 (c) + 4X) = 5 2 [ (b) [ [ (d) X+ [ 1 X [ = 2 2 [ 5 6 = 7 8 X. 4. Rozwiązać układy metodą macierzy odwrotnej: (a) 2 y = + y = 2 (b) + 2y = 0 2 y = 5 (c) + y + z = y + z = + 2y + z = 1 (d) + y + z = 4 2 y + 5z = 5 + 2y z = Traktując P = [ y T jako punkt na płaszczyźnie R 2 zinterpretować geometrycznie rozwiązanie układów z zadania 4 a) i b). 6. Wykorzystując rozważania z zadania 5 uzasadnij ile rozwiązań może mieć układ A k2 X 21 = B k1 dla k = Jeśli P 1 = [ 1 y 1 T jest punktem płaszczyzny R 2 a A jest macierzą stopnia 2 to P 2 = A P 1 jest punktem P 2 = [ 2 y 2 T płaszczyzny R 2 - obrazem punktu P 1 w tym przekształceniu. Dla macierzy A (a) [ (b) [ (c) [ a) Wyznacz obrazy kilku punktów na płaszczyźnie. Czy widzisz jakąś regularność? b) Sprawdź co jest obrazem prostej w tym przekształceniu (tzn. jeśli punkty P 1 wypełniają prostą to jaką linię tworzą ich obrazy P 2?). c) Czy jest możliwe aby obrazem prostej była ta sama prosta? d) Czy to przekształcenie ma punkty stałe (tzn. takie że P 2 =P 1 czyli gdy punkt pokrywa się ze swoim obrazem)?.

7 Matematyka Lista 7 8. Układy równań z zadania 4 rozwiązać metodą eliminacji Gaussa. 9. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa. + 2y + z = 1 (a) 2 + y + z = + y + 2z = 2 (g) (c) (d) (e) (f) (b) + 2y + z = y z = 7 y + z = 2 + 4y + z + 2t = 6 + 8y + 2z + 5t = y + z + 10t = 1 5y + 2z + 4t = 2 7 4y + z + t = y 4z 6t = 2y + 5z + 4t = 2 6 4y + 4z + t = 9 6y + z + 2t = 4 + 2y + 2z + 2t = y + 2z + 5t = 9 + y + 4z 5t = y + z + 4t = y + 6z t = 7 2 y + z + 2t + u = 2 6 y + 2z + 4t + 5u = 6 y + 4z + 8t + 1u = 9 4 2y + z + t + 2u = 1.

8 Matematyka lista 4 8 Matematyka Lista 4 1. Podać wyraz a a n+1 a 2n gdy: (a) a n = n2 n + 1 (b) a n = ( 1) n+1 2. Zbadać monotoniczność ciągu: ( ) n 2 (c) a n = 1 n n + 1 2n. (a) a n = 2n + 7 (b) b n = ( 1) n n (c) c n = 1 2/n.. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu arytmetycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: (a) a = a 12 = 21 (b) a 1 + a 2 + a = 18 a a a 2 = Obliczyć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez. 5. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Długość najkrótszego boku jest równa p. Obliczyć pole tego trójkąta pole koła opisanego na tym trójkącie oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt. 6. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu geometrycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: (a) a = 54 a 6 = 2 (b) iloraz q = 1/2 oraz S 7 = 127/ Zamienić na ułamek zwykły (a) (b) Rozwiązać równanie = 1/2. 9. W okrąg o promieniu r wpisujemy kwadrat. W ten kwadrat wpisujemy okrąg. Powtarzamy tę operację uzyskując nieskończony ciąg okręgów i kwadratów. Obliczyć sumę pól tych kwadratów. 10. Obliczyć granice ciągów: (a) a n = 2n2 n + 1 n n (b) b n = n6 n 2 n 7 + (c) c n = n4 n + 2 2n + (d) d n = n n 2 1 (f) f n = n + 2 n n 2 n (g) g n = (e) e n = n( n n) ( 1 1 n ( n) n (h) h n = (i) i n = n n (j) j n = 1 n n n n (k) k n = n n + 2 n (l) l n = 1 n n n 2 + n. 11. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji ciągłej (graniczny przypadek kapitalizacji n razy w roku w równych odstępach czasu gdy n ). Jakie jest efektywne oprocentowanie po czasie t lat (t 0) przy kapitalizacji ciągłej?

9 Matematyka lista Obliczyć granice przy + oraz przy dla funkcji f(): (a) (b) (c) + 1 (d) + 1 (e) 2 ( 2 + 1)( + ) (f) (g) Obliczyć (gdy istnieją) granice: 2 9 (a) lim + 1 (b) lim (c) lim 1 1 (d) lim Na stożku o promieniu podstawy r i wysokości opisano kulę. Niech R() oznacza jej promień. Obliczyć granicę lim 0+ R() lim R(). Czy można podać te granice nie wyznaczając funkcji R()? 15. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: (a) y = (b) y = (c) y = (d) y = 16. Zbadać ciągłość funkcji: (a) f() = 2 (b) f() = 2 2 ( 1)( ). 17. Dobrać parametry a b R tak aby podana funkcja f() była ciągła: 1 1. (a) f() = { b + : < a : 1 (b) f() = { : a + b : > Wykazać że każde z poniższych równań ma pierwiastek: (a) + = (b) + = (dokładnie jeden) (c) + = (d) + 2 = (dokładnie trzy). 19. Uzasadnić że równanie 4 + = 5 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Obliczyć na kalkulatorze ten pierwiastek z dokładnością Wskazówki i odpowiedzi do zadań 2. a) b) nie monoton. c).. a) a 1 = 1 r = 2 b) r = 2 a 1 = 4 lub r = 2 a 1 = S 00 = (( )/2)00 = p 2 / 5p/6 p/. 6. a) a 1 = 486 q = 1/ b) a 1 = a) 17/9 b) 1/ = 1/ r a) 2 b) 0 c) + d) 0 e) 1 f) 1 g) e 2 h) 1/e i) 1/4 j) 1/2 k) l) e r 1; e rt a) + b) 0 + c) 0 0 d) 1 1 e) 1 1 f) 1 1 g) 2/9 2/9. 1. a) 6 b) /2 c) 1/2 d) nie istnieje a) y = 2 w ± = 0 b) y = 1 w ± = 2 = 2 c) y = w ± = 2 d) y = 1 w ± = 0 lewostr. 17. a) b = a b) a = 1 b = 1.

10 Matematyka lista 5 10 Matematyka Lista 5 1. Znaleźć przyrost y funkcji y = 2 /2 przy = 2 zakładając przyrost zmiennej niezależnej równy (a) 0.5 (b) 0.2. Wykonać odpowiedni rysunek. 2. Wyznaczyć przyrost y i iloraz różnicowy y/ odpowiadające przyrostowi argumentu dla funkcji: (a) y = a+b (b) y = 1/(2+1). Wyznaczyć pochodną funkcji y = y() jako granicę ilorazu różnicowego.. Obliczyć pochodne funkcji: (a) y = a + b + c (b) y = (c) y = 2 (d) y = 5 2 (e) y = (f) ( 2) ln (g) y = 1 (h) y = e (i) (ln e ) (j) 2 ln e + (k) y = 2 4 ( (l) v = (4z 2 5z+1) 5 (m) s = 2 7t 2 4 ) 6 t + 6 (n) y = 5e 2 (o) y = 5 +2 (p) y = (r) y = ln ln (s) s = ln 1 + t 1 t 4. (a) W jakim punkcie styczna do linii y = ( 8)/( + 1) tworzy z osią O kąt równy połowie kąta prostego? (b) Znaleźć na linii y = e punkt w którym styczna jest równoległa do prostej y + 7 = 0. (c) Jaki związek powinien zachodzić pomiędzy współczynnikami równania paraboli y = 2 + p + q aby ta parabola była styczna do osi odciętych? (d) W jakim punkcie krzywej logarytmicznej y = ln styczna jest równoległa do prostej y = 2? 5. Korzystając z różniczki obliczyć przybliżoną wartość: (a) 6 (b) e 0.07 (c) 1.98 (d) ln Wykazać prawdziwość nierówności: (a) > ln(1 + ) > 0 (b) e Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: (a) y = ( 2 ) (b) y = /(1 + 2 ) (c) y = Wyznaczyć przedziały wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: (a) y = 2 (b) y = /(1 + 2 ) (c) y = e (d) y = + 1/.

11 Matematyka lista Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: (a) y = (b) y = 1 (c) y = Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale: (a) y = w [ 2 2 (b) y = w [ Zbadać przebieg zmienności funkcji: (a) y = (b) y = 2 2 ln (c) y =. 12. Liczbę 20 rozłożyć na sumę takich dwóch składników dodatnich których suma kwadratów jest najmniejsza. 1. W kulę o promieniu R wpisano walec. Obliczyć przy jakiej wartości promienia r podstawy walca pole jego powierzchni bocznej S będzie największe. Wskazówki i odpowiedzi do zadań. a) a 2 b/ 2 b) c) 9/( 2) 2 d) 2/(5 5 ) e) 2/( 1) 2 f) ( 2)/ + ln g) 1/(( ) 2 (1 ) 2 ) h) 2 ( + )e i) (ln e )/( 2 ) + (1/ e ) j) ((2 1/)(e + ) ( 2 ln )(e + 1))/(e + ) 2 k) / 2 4 l) 5(4z 2 5z + 1)(8z 5) m) 12(7t 2 4/t + 6) 5 (14t+4/t 2 ) n) 10e 2t o) 5 ln 5+2 ln 2 p) ( ln ) + 2 r) (1/ ln ) (1/) s) 1/(1 t 2 ). 4. a) ( 4 4) lub (2 2) b) (0 1) c) y = 0 y = 0: p 2 +4q = 2 d) (2 ln 2). 5. a) 4 1/48 b) c) 1/2+1/800 d) a) Niech f() = ln(1 + ) dla [0 ); f () = /(1 + ) > 0 dla > 0 czyli f() rosnąca na [0 ); f(0) = 0 więc f() > 0 dla > 0. b) Niech f() = e ( + 1) dla R; f () = e 1 stąd f() malejąca na ( 0 i rosnąca na [0 ); f min = f(0) = 0 więc f() 0 dla R. 7. a) : [0 1 : > 1 b) : [ 1 1 : na < 1 i na > 1 c) : na ( 2 i na ( 2 ) : [ a) : (1 ) : ( 1) pp: = 1 b) : ( 0) : (0 ) pp: = a) y ma = y( 6) y min = y( 2) b) y ma = y(2/) c) y min = y( 1) y min = y(1). 10. a) ma: y( 2) = y(2) = 1 min: y( 1) = y(1) = 4 b) ma: y() = 10 min: y(1) = ; wyznaczyć jako wartość największą odpowiedniej funkcji. 1. S = 4πr R 2 r 2 osiąga ma dla r = R/ 2.

12 Matematyka lista 6 12 Matematyka Lista 6 1. Obliczyć całki nieoznaczone: (a) ( +2 1)d (b) ( 1)( 2)d (d) d (e) d (f) (h) ( ) 2 2 d (i) d (j) (c) d (g) + d d e 2 5 d. 2. Obliczyć całki całkując przez części: (a) e d (b) ln d (c) 2 e d (d) ln d (e) ln d (f) 2 ln d (g) ln d (h) (ln ) 2 d.. Obliczyć całki całkując przez podstawienie: (a) a d (b) (5 ) 10 d (c) + b d (d) e 2 d (e) d (f) ln 2 d (g) ln d. 4. Obliczyć całki oznaczone: (a) d (b) 1 1 ( + 1)d (c) 2 1 d. 5. Wyznaczyć wzór na prędkość v(t) i drogę s(t) w ruchu prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem a(t) = a gdy v(0) = v 0 i s(0) = s Obliczyć całki stosując podstawienie: (a) 4 0 d 1 + = t2 (b) d (c) 2 d Obliczyć całkując przez części: (a) 2 0 e d (b) e ln d (c) e 1 ( ) 2 ln d. 8. Obliczyć pole obszaru ograniczonego (a) parabolą y = 2 2 i prostą + y = 0 (b) parabolami y = 2 y 2 = (c) krzywą y = ln osią 0 i prostą = e

13 Matematyka lista 6 1 (d) krzywą y = (1 2 )5 i osiami układu (e) krzywymi y = 4/ y = y = 4 (f) krzywymi y = 1 2y 4 = 0 y = W jakim stosunku parabola y 2 = 2 dzieli pole koła 2 + y 2 8? 10. Punkt materialny o masie m porusza się po linii prostej z prędkością v = (12t t 2 ) m/s. Jaką drogę przebędzie ten punkt od chwili początkowej do chwili gdy prędkość będzie 0? Wskazówki i odpowiedzi do zadań 1. a) (/4) 4 + (4/) + c b) 4 / c c) ln / + c d) 6 ln + c; e) arctg + c g) (1/) ln( + 8) + c h) 81/5 5 18/ / c i) /8 8 6/ a) e ( + 1)/ + c b) ln + c c) 2 (2 ln 1)/4 + c d) (1 + ln )/ + c e) arctg (1/2) ln( 2 +1)+c f) (ln ) 2 2 ln +2+c.. a) e 2 /2+c b) (5 ) 11 /+c c) ( 2 + 1) /+c d) (ln ) 2 /2+c e) (1/2)arctg( 2 )+c f) 2( a + b) /b + c. 4. a) 2 (2 ln 7)/ b) 2 c) 5/2. 5. v(t) = at + v 0 s(t) = at 2 /2 + v 0 t + s a) 4 2 ln c) 1/2. 7. a) 1 /e 2 c) 2 5/e. 8. a) 9/2 b) 1/ c) 1 d) 1/. 10. s = 12 0 (12t t2 )dt = 288 m.

14 Matematyka lista 7 14 Matematyka Lista 7 1. Zbadać przekroje wykresów funkcji z = z( y) i na tej podstawie naszkicować te wykresy: (a) + 2y + z 6 = 0 (b) z 2 = 2 + y 2 (c) z = 2 + y 2 (d) z = y. 2. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji: (a) z = y (b) z = e y (c) z = 2 y + ln(y).. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji z = z( y): (a) z = 2 + y + y 2 2 y (b) z = y 2 (6 y). 4. Znaleźć maksimum funkcji (funkcji produkcji Cobba-Douglasa) u( y) = y = 1/2 y 1/2 opisującej wartość produkcji w przypadku gdy wielkości i y spełniają warunek 7 + y = Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji z = z( y) w podanym obszarze: (a) z = 2 + 2y 4 + 8y w obszarze D : y 2 (b) z = + y 2 2y 1 w obszarze D : 0 y 0 + y 1 (c) z = 2 y + y 2 w obszarze D : + y Wyznaczyć odległość punktu A = (0 0) od powierzchni y = z. 7. Liczbę dodatnią a przedstawić w postaci sumy takich trzech liczb dodatnich aby ich iloczyn był największy. 8. Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 64 m. Do budowy ścian magazynu używane są płyty w cenie 0 zł/m 2 do budowy podłogi w cenie 40 zł/m 2 a sufitu 20 zł/m 2. Znaleźć długość a szerokość b i wysokość c magazynu którego koszt budowy będzie najmniejszy. 9. Całkowity roczny dochód ze sprzedaży dwóch towarów wyraża funkcja D( y) = y 8y 2 gdzie i y oznaczają ilość sprzedanych w ciągu roku sztuk każdego z towarów. Koszt produkcji sztuk towaru pierwszego i y sztuk towaru drugiego jest następujący: K( y) = y 2 + 2y. Wyznaczyć ilość sztuk każdego z towarów wyprodukowanych i sprzedanych dla których osiągany jest maksymalny zysk. Podać wartość tego zysku oraz wartość odpowiadającego mu kosztu i dochodu. 10. Dysponując budżetem w wysokości 4 mln zł wyznaczyć jakie kwoty należy przeznaczyć na surowce i y aby uzyskać minimalne koszty produkcji określone zależnością f( y) = 2 + y 2 y Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie tak by dzienne koszty zużycia paliwa opisane funkcją: f( y) = 2( 1) 2 + (y ) 2 gdzie oznacza zużycie paliwa w elektrowni I y - zużycie paliwa w elektrowni II było możliwie najniższe. Wiadomo ponadto że z 1 tony paliwa w elektrowni I uzyskuje się 5 MWh energii a w elektroniw II - MWh. Podać dzienne koszty zużycia paliwa w obu tych elektrowniach.

15 Matematyka lista 7 15 Wskazówki i odpowiedzi do zadań 1. a) płaszczyzna; b) stożek; c) paraboloida obrotowa; d) siodło. 2. a) z = y z y = z y = z y = 1 z = z yy = 0; b) z = (y + 1)e y z y = 2 e y z y = z y = (2 + 2 y)e y z = (2y + y 2 )e y z yy = e y ; c) z = 2y+1/ z y = 2 +1/y z y = z y = 2 z = 2y 1/ 2 z yy = 1/y 2.. a) z min = z(1 0) = 1; b) z ma = z( 2) = a) 17; b) 4 1; c) a/ + a/ + a/. 8. a = b = c = = 20 y = = y = = 11 y = 15.