13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Fale wodne: Drgania i fale III rok Fiki BC Model: - długi kanał o prostokątnm prekroju i głębokości h, - ruch fali wdłuż, nieależn od x, wchlenia wdłuż, - woda nieściśliwa (w fali 1 m wrost ρ o ~ 0,05%), - brak lepkości., - współrędne cąstki w równowade, (,, t), (, t) - wchlenie cąstki położenia, równowagi. Chcem ponać () t () t, dla wsstkich,. Założenia: Warunki stacjonarne, - funkcje harmonicne o cęstości ω. 1
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Faa Drgania i fale III rok Fiki BC, ależ od, nie ależ od. Presunięcie faowe wględem równe π ma maksmalną wartość dla równego ero najwiękse nachlenie powierchni, najwięksa miana położeń cąstek. Amplitud nie ależą od, mogą ależeć od. ( ) ( ) ( ),, t A cos ω t k (,, t) A ( ) sin( ω t k) Dla dowolnch, :, t ( A ) + ( A ) 1 (1),. - równanie elips osiami głównmi wdłuż Ich stosunek ależ od A, A. x
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC Dla małch wchleń prędkość w punkcie c c (,, t) ω A ( ) sin( ω t k) (,, t) ω A ( ) cos( ω t k) Warunki:, jest: () 3
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC (1) Brak ściśliwości stała masa w amkniętej objętości. Masa wod pre ścianę w jednostce casu m ρ S c Pre ścian bocne nie ma prepłwu. Pre dolną i górną: x ( c ). x. Pre prednią i tlną: ( c ) c + c 0 (3) () brak lepkości. Woda w spocnku, wbudona fala pr braku lepkości nie ma wirów. Crkulacja równa ero. 4
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC Wdłuż AB i CD : ( c ) Wdłuż BC i DA: ( c ) c c + 0 Sukam A ( ) A ( ) ;. () (3) i skracając pre ω sin( ω t k) da d ka ( ) 0 (4) (5) () (4) da d ka ( ) 0 (6) d d d d A da k d d A (6) k A 0 d 0 A k k ( ) A e + B e A, B - stałe dowolne. (7) Warunki bregowe na powierchni i na dnie: Powierchnia ( 0), fala sinusoidalna: ( 0,, t) (, t) Acos( ω t k) 5
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC A + 0 (8) (7) do (1) ( ) A B A Dno ( h), nie ma ruchu pionowego: kh kh ( h) A e + B e 0 A (9) Stąd: A B (7): A ( ) cli ( ) A e e kh kh Ae e kh Ae e (10b) (5) A ( ) A ( ) kh kh kh k ( h+ ) k ( h+ ) A[ e e ] (10a) e kh e kh [ k( h ) ] Asinh + sinh kh (10b) k ( h+ ) k ( h+ ) A[ e + e ] (11a) [ k( h ) ] Acosh + sinh kh e kh e kh (11b) ( ) Stosunek osi elips A ( ) A ( ) ( ) [ k( h ) ] r tanh + ; r 1 : 6
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC - dłużsa oś poioma - im głębiej, tm elipsa bardiej płaska, aż do prostej na dnie (aniedbujem tarcie o dno). - poioma oś też ulega skróceniu, ale wolniej niż pionowa. W którą stronę obiegana jest elipsa? Niech k > 0, ruch fali na prawo. opóźnia się o π a ( A ( ), A ( ) > 0, bo + 0 h ). Ruch cąstki godn ruchem wskaówek egara dla fali biegnącej w prawo. Cąstka na grbiecie fali porusa się tlko do produ, w dolinie tlko do tłu. 7
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Dla λ π h, tn. kh 1: Drgania i fale III rok Fiki BC (1) każda cąstka porusa się po elipsie godni ruchem wskaówek egara, () Woda nie ulega ściskaniu obsar ogranicon carnmi kropkami ma stałą objętość (tu powierchnię).(3) W wodie nie ma crkulacji odkstałcenie dowolnej próbki wod nigd nie daje rotacji cąstek na obwodie. 8
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC Obra prbliżon prawdiwe fale nie są sinusoidalne Fala na głębokiej wodie: Niech kh >> 1 i << h (blisko powierchni) 1 kh sin kh e ; sinh k( h + ) k ( h+ ) [ ] cosh[ k( h + ) ] e k (,, t) Ae cos( ω t k) k (,, t) Ae sin( ω t k) - orbit są okręgami, ich promień maleje wkładnico głębokością 1 Na głębokości więksej niż k 1 ruch anika. 9
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Fala na płtkiej wodie: Drgania i fale III rok Fiki BC sinh ; cosh[ ( h + ) ] 1 [ k ( h + ) ] k( h + ) Zakładam kh << 1 kh kh sinh + h 1 kh (,, t) A 1 cos( ω t k) (,, t) A sin( ω t k) k ; Amplituda poioma praktcnie nie ależ od głębokości i jest bardo duża. - fala głównie podłużna. Amplituda pionowa maleje prawie liniowo głębokością (do era na dnie). Woda prelewa się tam i powrotem. Ruch opisuje równanie: (, t) ( ω A kh) sin( ω t k) ( ω kh) ( 0,, t) ( ω kh) (, t) Dspersja: Sukam wiąku dspersjnego. Zwkle równania ruchu, odpowiednik prawo Bernouliego. Stosuje się do warunków stacjonarnch, tn. prędkość płnu w każdm punkcie nie ależ od casu. 10
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC Prejdźm do układu odniesienia porusającego się falą, tn. prędkością Nowa współrędna c c ω k. ω t k (, ) ω A ( ) sin k (, ) ω A ( ) k ω k cos Nie ma ależności od casu. Całkowita energia na jednostkę mas ( prawa Bernouliego): p 1 W + c + V ρ p - ciśnienie, c- prędkość płnu, V - energia potencjalna na jednostkę mas. Wdłuż linii prądu energia stała. 1.Dla linii wdłuż powierchni dwie składowe ciśnienia ciśnienie atmosfercne p a i ciśnienie od napięcia ( 1 ) powierchniowego, ależne od krwin ( ). 11
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale d ψ d p pa σ Drgania i fale III rok Fiki BC (15) σ - napięcie powierchniowe ( 0.073 N m dla granic woda/powietre pr 0 C), minus, bo dodatnie onaca wklęsłą powierchnię, cli mniejsenie ciśnienia. Dla fali sinusoidalnej w porusającm się układie odniesienia: A cos k k Acos k p pa + k Acos k σ (16).Energia kinetcna: c c ( 0, ) + c ( 0, ) ( sin k + coth ( kh)cos ( k )) + ( ω k) ω A (17) ω ( A k) coth( kh)cos( k ) 3.Energia potencjalna: V g gacos( k ) tlko od grawitacji (18). Dla małch amplitud ( ka << 1) : + W pa σk + ρ ρ ω k Acos( k ) + 1 coth( kh) Acos( k ) + ω k + gacos( k ) 1
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale ( ) Drgania i fale III rok Fiki BC W f nikanie współcnników pr cos k σk ρ ω k coth( kh) + g 0 σk ρ ω gk + tanh( kh) - wiąek dspersjn dla fal na wodie. ( h) ω f popre tanh ( kh) Dla głębokiej wod: kh >> 1 tanh ( kh) 1 - nie ma h w ależności dspersjnej. 1 3 5 tanh kh kh ( kh) + ( kh)... dla kh < π. 15 Dla płtkiej wod: 1 kh << 1 tanh ( kh) kh ( kh) 3 W ależności dspersjnej dwa cłon: - ależn od g (opadanie wod) i ależn od σ ( prostowanie powierchni). 13
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC Fale kapilarne ( marscki na wodie ): Równość wkładów do ależności dspersjnej ( k ρg σ ) daje długość fali: 1 σ λ 0 π (dla wod w 0 C ρg 17 0 mm λ ). Dla fal dużo krótsch (powierchnia mocniej poakrwiana) decdujące napięcie powierchniowe. Zaniedbując cłon grawitacjn i akładając kh >> 1 (nie spełnione dla bardo płtkich nacń) ω 3 σk ρ 1 3 k nadliniowe dspersja anomalna. 14
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC Prędkość faowa fal kapilarnch: c f ω σk k ρ 1 c f πσ ρλ - najkrótse fale porusają się najsbciej. (Fala o długości prędkość 0.68m s ). Prędkość grupowa: 1 0 ma λ 1mm w wodie ( C) 1 3 c g c g c f dω 3 σk dk ρ - w obrębie packi widim marscki porusające się do tłu. Wodne fale grawitacjne: Dla λ >> 17 mm można aniedbać wpłw napięcia powierchniowego. kh >> 1 - głęboka woda: ( ) 1 (dla ω gk - dspersja normalna λ > 4 h - dokładność 10%). 1 1 g gλ g c f k π ω c 1 g k 1 g c f 15 1 (dokładność 5%)
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Wburenie mora: Fale o wsokości Drgania i fale III rok Fiki BC 10 m i okresie 11 s powstają, jeśli wiatr o prędkości 45 węłów wieje pre 0 godin na odcinku 50 km. (1 węeł 1 mila morska/h ) Jeśli fale wwołane daleko pierwse dotrą do bregu najdłużse. Cęstość (np. grbiet fal): ν c f ν λ L t t νλ 0 g L t g πλ λ ν L ( t ) t 0 g λ πν ν ( t t ) πν 0 ν ( t ) π L - nachlenie daje L. 0 g 16
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale kh << 1 - płtka woda: Drgania i fale III rok Fiki BC ω ghk 1 1 h k 3 h k 3 małe ω ck dk c ( gh) 1 d ( 1/ 6) ch ( > 0 Jeśli aniedbać dspersję: ω ghk - dla < λ / 11 c f cg c d - dspersja normalna) h dokładność 10% ( gh) 1 - dokładność 5%. ω kh Bło dla płtkiej wod: (, t) ( t), ( t) - prędkość podłużna ora (,t), wchleń na powierchni są w faie. Be dspersji: c h g h 1 prawdiwe dla wsstkich cęstości. - rokład Tsunami (tręsienia Ziemi, wulkan, meteort itp.): Okres 10 min h (wkłe fale 5 0 s ) λ - nawet do 500 km (wkłe fale na oceanie 100 m) 17
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC Można ropatrwać jako fale na płtkiej wodie nawet na otwartm oceanie bardo mała dspersja prędkość Małe strat energii ( c gh (dla h 6100 m c 900 km h 1 λ ). ). Pr bregu prędkość opada, energia prawie stała rośnie amplituda (jak 1 4 h ). Wsokość 30 m (Alaska 1958-60 m) Łamanie się fal (uproscenie): góra fali porusa się sbciej niż dół (prawdiwe nie g h 1 tlko pr bregu, breg wmacnia efekt). 18
13-1-00 G:\AA_Wklad 000\FIN\DOC\Fale Drgania i fale III rok Fiki BC 19