Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Transkrypt

1 Fale materii paczki falowe o różnej szerokości Dwa gaussowskie rozkład amplitud fal armonicznc o różnc szerokościac σ p i różnc wartościac średnic pędu p. Części rzeczwista ReΨ i urojona mψ funkcji falowc w kolejnc cwilac czasu. Początkowo bardziej rozciągła w przestrzeni jest paczka falowa o węższm rozkładzie pędów: x=σ x =ħ/σ p x p=σ x σ p = ħ/ zasada nieoznaczoności Rozciągłość przestrzenna paczki falowej rośnie z czasem tm szbciej im szersz jest rozkład pędów fal składowc. Paczka falowa początkowo ściśle zlokalizowana ulega szbko rozmciu w przestrzeni. σ σ pt + σ p m x = Zasada nieoznaczoności Heisenberga m lepiej określone położenie, tm x px większa nieokreśloność pędu. Energia stanów wzbudzonc o krótkim czasie żcia nie może bć dokładnie określona. E t p z p z Werner Heisenberg nagroda Nobla w 93 za stworzenie mecaniki kwantowej. Poszerzanie się pacek falowc im lepiej zlokalizowana tm szbciej się rozszerza.

2 Cząstka w pułapce - nieskończenie głęboka studnia potencjału Wewnątrz pułapki fala stojąca - na odcinku L całkowita liczba połówek długości fali nλ/=l Dozwolone wartości energii: p n E n = = = = n E m mλ 8mL nπx n L L Fale stojące ψ ( x) = sin Elektron w nieskończenie głębokiej studni potencjału Gęstość prawdopodobieństwa dla czterec stanów elektronu uwięzionego w jednowmiarowej studni potencjału o szerokości L. nπ Pn ( x) dx = ψ n ( x) dx = sin x dx L L

3 Cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału Czerwona linia przerwana energia potencjalna V(x), która jest równa zero wewnątrz studni a poza tm obszarem jest nieskończenie duża. Zielone przerwane linie poziome oznaczają poziom energii cząstki według skali po lewej stronie i stanowią linie zerowe do wkreślenia odpowiadającc im funkcji falowc ϕ(x) i gęstości prawdopodobieństwa ϕ(x). 3

4 Równanie falowe Scrödingera Ψ( x, + V( x, Ψ( x, W jednm wmiarze ( ) ( ) gd V x, t = V x m x Ψ = i t Gd V(x,=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, ( x, = Aexp[ i( kx ω ] = A[ cox( kx ω + i sin( kx ω ] Związek międz częstością kątową ω a liczbą falową k wraża związek międz energią E=ħω i pędem p=ħk Rozdzielenie zależności od czasu i od położenia Ψ p m k m + ( x, = ψ( x) φ( = ψ( x) exp( iω Równanie Scrödingera niezależne od czasu d ψ( x) + V( x) ψ( x) = E ψ( x) m dx Funkcje falowe są rozwiązaniami równania Scrödingera. Funkcje własne: -skończone -unormowane -jednoznaczne -ciągłe F x + V V = E i =- jednostka urojona V = = x = ω Erwin Scrödinger w 933 nagroda Nobla za odkrcie nowc sformułowań teorii atomowej w 96 roku. Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości Funkcje falowe stanów związanc elektronu i odpowiadające im poziom energii dla prostokątnc studni potencjału o tej samej szerokości a= - m ale o różnc głębokościac od,5 ev do ev. Liczba stanów związanc rośnie z głębokością studni. Fala wnika w ścian studni potencjału o skończonej głębokości, długość fali jest większa (a energia mniejsza) niż w studni nieskończenie głębokiej.

5 Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości Funkcje falowe stanów związanc elektronu i odpowiadające im poziom energii dla studni potencjału o tej samej głębokości V = ev ale o różnc szerokościac od a=.7 - m do a= - m. Liczba stanów związanc rośnie z szerokością studni. Elektron w studni potencjału o skończonej głębokości - graficzne rozwiązanie rozwiązanie równania: tg( )=pierwiastek( równania Scrödingera - ) =, L L -wewnątrz studni potencjału x =,5 d ψ m me = Eψ, k = d x 3 ψ ( x) = Asin( kx) + B cos( kx) 3 =3,595 na zewnątrz studni potencjału tg() d ψ m m( V E) pierwiastek(o*o-*) = ( V E) ψ, κ = d x ψ x = C exp κx + D exp κx ( ) ( ) ( ) Rozwiązanie parzste ψ ( x) =ψ ( x) ψ ( x) = B cos ( kx), ψ ( x) = C exp( κx) Zszcie funkcji i pocodnej w x=l/ B cos( kl ) = C exp( κl ) kbsin( kl ) = κc exp( κl ) k tg kl = Równanie przestępne ( ) κ Zmienna bezwmiarowa Bezwmiarow parametr = kl L mv = Na wkresie tg = ϕ ϕ tg( ),,,8,6,,, 3 L = nm V =,55 ev E =,5 ev E 3 =,3 ev, psi*psi psi3*psi3 E E3 V - - x [nm],8,6,,,,8,6,,, V, E, E3 [ev] 5