Dynamika morza FALE Wykład 1

Transkrypt

1 Dynamika morza FALE Wykład 1 Stanisław Massel 1,2 Gabriela Grusza 2 1 Instytut Oceanologii PAN Zakład Dynamiki Morza 2 Instytut Oceanografii UG Zakład Oceanografii Fizycznej 11 października 2005 roku

2 Plan wykładów Zalecana literatura Główne zagadnienia - plan wykładów Natura ruchu falowego Typy fal Charakterystyki pola falowego Matematyczny opis ruchu falowego (teoria liniowa, Stokesa, knoidalna) Generacja fal wiatrowych Spektralne właściwości fal Statystyczne właściwości fal Transformacja fal w strefie brzegowej morza Pomiary i symulacje falowania

3 Plan wykładów Zalecana literatura Zalecana literatura 1 Massel, S. R. (1996): Ocean Surface Waves; their Physics and Prediction. Volume 11, Advanced Series on Ocean Engineering. Singapore New Jersey London Hong Kong: World Scientific, Massel, S. R. (1999): Fluid Mechanics for Marine Ecologists. Berlin: Springer Verlag, Massel, S. R. (1989): Hydrodynamics of Coastal Zones. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, Druet, Cz. (2000): Dynamika morza. Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańskie Towarzystwo Naukowe, Massel, S. R., editor (1992): Poradnik hydrotechnika. Gdańsk: Wydawnictwo Morskie, 338

4 Plan wykładów Zalecana literatura

9 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Definicja fali wodnej Fala stanowi odkształcenie powierzchni swobodnej przemieszczające się z jednego punktu ośrodka (akwenu, basenu) w inny. Na przykład po wrzuceniu do wody kamienia odkształcenie rozchodzi się wokół punktu, w którym kamień uderzył o powierzchnię (fala kołowa).

10 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Definicja fali wodnej Fala stanowi odkształcenie powierzchni swobodnej przemieszczające się z jednego punktu ośrodka (akwenu, basenu) w inny. Na przykład po wrzuceniu do wody kamienia odkształcenie rozchodzi się wokół punktu, w którym kamień uderzył o powierzchnię (fala kołowa). Istotą ruchu falowego jest fakt, iż przemieszcza się odkształcenie, natomiast nie przemieszcza się masa wody. Przykład: korek wrzucony do wody przemieszcza się w płaszczyźnie pionowej (góra dół), a nie w kierunku propagacji fali (w przybliżeniu).

11 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Podstawowe pojęcia Poziom spokoju poziom powierzchni morza w warunkach braku falowania. Poziom falowania miejsce geometryczne środków orbit elementów powierzchniowych przy ruchu falowym. Grzbiet (szczyt) fali najwyższy punkt profilu fali względem poziomu spokoju. Dolina (dno) fali najniższy punkt profilu fali względem poziomu spokoju. Linia grzbietów linia utworzona przez grzbiety fali. Promień fali kierunek prostopadły do linii grzbietu w każdym punkcie. Wyznacza on linię, do której jest styczny wektor propagacji (w każdym punkcie).

12 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych

13 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Długość fali, L odległość między sąsiednimi grzbietami fali. Okres fali, T czas, jaki upływa pomiędzy przejściami przez wybrany profil dwóch kolejnych grzbietów fali. Wysokość fali, H pionowa odległość między grzbietem a doliną. Amplituda fali, a pionowa odległość między grzbietem lub doliną a poziomem spokoju; dla fal sinusoidalnych jest to połowa wysokości fali. Wychylenie powierzchni swobodnej, ζ (η, ξ) funkcja wychylenia powierzchni swobodnej. h, (d) funkcja powierzchni dna.

15 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Częstotliwość, f f = 1 [Hz] (1) T Częstotliwość kołowa, (częstość kołowa, pulsacja), ω Liczba falowa, k ω = 2π [rad/s] (2) T k = 2π L [m 1 ] (3)

16 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Prędkość fazowa, C prędkość ruchu powierzchni falowej w kierunku promienia fali. C = L T = ω k (4) Stromość fali, δ stosunek wysokości fali do jej długości. δ = H L (5)

18 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Typ fali Mechanizm generacji Okres Kapilarne Napięcie powierzchniowe < 10 1 s Wiatrowe Naprężenia wiatrowe, grawitacja s (30s) (Swell) (Fale wiatrowe) (15 30s) Podgrawitacyjne Grupy fal 25s 5min Sejsze Zmienność wiatru 2 40min Tsunami Trzęsienia Ziemi, 10min 2h wybuchy wulkanów Pływy Oddziaływanie Ziemi, 12 24h Księżyca i Słońca Wezbrania Zmienność ciśnienia 1 3dni sztormowe

19 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Fala długa (płytkowodna) Fala średnich głębokości L > 10 ( lub 20) h 2 < L h < 10 ( lub 20) Fala krótka (głębokowodna) L h < 2

20 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Fale grawitacyjne 1 krótki okres s (30s), 2 na głębokiej wodzie wpływ falowania powierzchniowego zaznacza się tylko w niewielkiej warstwie, 3 ruch w kierunku poziomym i pionowym jest tego samego rzędu, 4 przyspieszenia w pionie są znaczne, rzędu g, 5 przyspieszenie Coriolissa jest pomijalnie małe ze względu na krótki okres, 6 ruch jest niestacjonarny ( t 0), 7 Masa nie przemieszcza się razem z kształtem!!! (teoria liniowa).

21 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Teoria liniowa brak transportu masy

23 Definicja fali wodnej Podstawowe pojęcia Podział fal wodnych Obraz rzeczywisty

24 Linearyzacja Warunek Cauchy-Poissona Zagadnienie falowe jest szczególnym przypadkiem zagadnienia brzegowego dla równań różniczkowych cząstkowych. Definiuje się warunki brzegowe na powierzchni swobodnej: warunek kinematyczny, warunek dynamiczny; oraz na dnie: warunek kinematyczny. Dodatkowo można definiować boczne warunki brzegowe oraz warunek wytłumienia.

25 Linearyzacja Warunek Cauchy-Poissona Zakłada się, że ciecz jest nieściśliwa i ruch jest bezwirowy. Z bezwirowości wynika potencjalność ruchu. { rotu = u = 0 divu = u = 0 = u = gradφ divgradφ = 0 (6) Zakłada się, że jest spełnione równanie Eulera (płyn nieściśliwy i nielepki): d u dt = 1 p + g (7) ρ Wewnątrz obszaru spełnione jest równanie Laplace a dla potencjału prędkości: φ = 0 (8)

26 Linearyzacja Warunek Cauchy-Poissona Warunek kinematyczny Funkcja powierzchni w przestrzeni (funkcja powierzchni swobodnej), zależna od czasu: F ( r, t) = F (x, y, z, t) (9) Powierzchnia jest utworzona przez jedne i te same elementy, dzięki czemu można zapisać: df dt = F t + u F = 0 (10) Warunki brzegowe często zapisuje się za pomocą potencjału prędkości φ ( u = gradφ).

27 Linearyzacja Warunek Cauchy-Poissona Warunek kinematyczny na dnie, z = h(x, y) Powierzchnia dna: F (x, y, z, t) = z + h(x, y) (11) df dt = u h x + v h y + w = 0 (12) Stosując definicję: u = (u, v, w) = ( φ zapisać: φ z = φ h x x φ h y y x, φ y, φ z ), można (13)

28 Linearyzacja Warunek Cauchy-Poissona Warunek kinematyczny na powierzchni swobodnej, z = ζ(x, y, t) Powierzchnia swobodna morza: F (x, y, z, t) = z ζ(x, y, z, t) (14) df dt = ζ t u ζ x + v ζ y + w = 0 (15) Stosując definicję potencjału prędkości φ otrzymujemy: φ z = ζ t + φ x ζ x + φ ζ y y = 0 (16) φ z = ζ t + ( hφ) ( h ζ) (17)

29 Linearyzacja Warunek Cauchy-Poissona Warunek dynamiczny na powierzchni swobodnej, z = ζ(x, y, t) Warunek definiuje się w oparciu o równanie Bernoulliego: φ t ( φ)2 + p + gz = 0 (18) ρ Warunek dynamiczny otrzymuje się zakładając, że z = ζ oraz p = 0 (ciśnienie atmosferyczne w punkcie P(x, y, z, t) na powierzchni musi być równe ciśnieniu wody w tym punkcie): φ t [ ( φ ) 2 + x ( ) φ 2 + y ( ) ] φ 2 + gζ = 0 (19) z

30 Linearyzacja Warunek Cauchy-Poissona Linearyzacja warunków brzegowych W celu rozwiązania zagadnienia brzegowego często wykorzystuje się tzw. zlinearyzowane warunki brzegowe. Założenia linearyzacji: 1 amplituda fali dużo mniejsza od jej długości a L, 2 pochodne przestrzenne wzniesień powierzchni swobodnej są pomijalnie małe, 3 człony nieliniowe są pomijalnie małe, 4 dno jest płaskie h(x, y) = const,

31 Linearyzacja Warunek Cauchy-Poissona 5 ψ(z) z=ζ = ψ(0) + ζ ψ(0) + ζ2 2 ψ(0) z 2! z } {{ } pomijalnie małe Stąd zamiast wyznaczać warunki na z = ζ(x, y, z), wyznacza się je na z = 0. (20)

32 Linearyzacja Warunek Cauchy-Poissona Zlinearyzowane warunki brzegowe Kinematyczny na dnie φ = 0 z z = h (21) Kinematyczny na powierzchni Dynamiczny na powierzchni φ z = ζ t z = 0 (22) φ t = gζ z = 0 (23)

33 Linearyzacja Warunek Cauchy-Poissona Warunek Cauchy-Poissona na z = 0 Wyznaczenie ζ z warunku dynamicznego (23): ζ = 1 g φ t (24) Podstawienie ζ do warunku kinematycznego na powierzchni (22): φ z = 1 2 φ g t 2 (25) g φ z + 2 φ t 2 = 0 z = 0 (26)

34 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym Zakładamy, że równanie Laplace a da się rozwiązać metodą rozdzielenia zmiennych. Szukamy rozwiązania w postaci: Poszukuje się rozwiązania równania: φ = U(x, y)p(z)f (t) (27) ( ) 2 x y z 2 U(x, y)p(z)f (t) = 0 (28)

35 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym Rozwiązanie zależność potencjału od głębokości Funkcja zależna od zmiennej z: P(z) = D cosh k(z + h) (29) gdzie: D = iag ω 1 cosh kh

36 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym FUNKCJE HIPERBOLICZNE sinh x = ex e x, cosh x = ex + e x 2 2 tgh x = ex e x e x + e x, ctgh x = ex + e x e x e x 1 Dzięki temu, ze funkcje hiperboliczne zostały zdefiniowane za pomocą funkcji wykładniczej, w prosty sposób można je rozszerzyć na liczby zespolone. 2 Funkcje hiperboliczne posiadają funkcje odwrotne są to funkcje polowe.

37 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym Granice funkcji hiperbolicznych x = sinh x cosh x tgh x 1 x 0 = e x = 1 + x e x = 1 x = sinh x x cosh x 1 tgh x x

38 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym

39 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym Rozwiązanie zależność potencjału od czasu Funkcja zależna od czasu: f (t) = βe iωt (30) β stała.

40 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym Ogólny wzór potencjału przy znajomości funkcji P(z) i f (t): θ stałe. φ = ia ω k Wychylenie powierzchni swobodnej: cosh k(z + h) U(x, y)e i(ωt θ) (31) cosh kh ζ(x, y, t) = au(x, y)e i(ωt θ) (32)

41 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym Funkcja U zależny od zmiennych przestrzennych. Wyznacza się ją przy założeniu nieskończonego kanału falowego (U = U(x)): U(x) = Ae ikx + Be ikx (33) A, B stałe. Nie potrafimy znaleźć ogólnego wzoru na U(x), ponieważ nie jesteśmy w stanie określić stałych A i B. Możemy jednak rozważyć przypadki szczególne.

42 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym A = 1, B = 0 = U(x) = e ikx φ = ia ω k Część rzeczywista potencjału: φ = a ω k cosh k(z + h) e i(kx ωt θ) (34) sinh kh cosh k(z + h) sinh kh sin (kx ωt θ) (35) Część rzeczywista wychylenia powierzchni swobodnej: ζ = a cos (kx ωt θ) (36) Fala biegnąca w kierunku rosnących wartości x

43 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym A = 0, B = 1 = U(x) = e ikx φ = ia ω k Część rzeczywista potencjału: φ = a ω k cosh k(z + h) e i( kx ωt θ) (37) sinh kh cosh k(z + h) sinh kh sin ( kx ωt θ) (38) Część rzeczywista wychylenia powierzchni swobodnej: ζ = a cos ( kx ωt θ) (39) Fala biegnąca w kierunku malejących wartości x

44 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym A = B = 1 2 = U(x) = 1 2 φ = ia ω k ( e ikx + e ikx) = cos kx cosh k(z + h) sinh kh Część rzeczywista potencjału: φ = a ω k cosh k(z + h) sinh kh cos kxe i(ωt θ) (40) cos kx sin (ωt θ) (41) Część rzeczywista wychylenia powierzchni swobodnej: Fala stojąca ζ = a cos kx cos (ωt θ) (42)

45 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym A = B = 1 2i = U(x) = 1 2 φ = ia ω k cosh k(z + h) sinh kh Część rzeczywista potencjału: φ = a ω k cosh k(z + h) sinh kh ( e ikx e ikx) = sin kx sin kxe i(ωt θ) (43) sin kx sin (ωt θ) (44) Część rzeczywista wychylenia powierzchni swobodnej: Fala stojąca ζ = a sin kx cos (ωt θ) (45)

46 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym Znając potencjał prędkości można wyznaczyć: Wychylenie powierzchni swobodnej (ze zlinearyzowanego warunku dynamicznego na powierzchni): ζ = 1 g φ t z=0 (46) Składowe prędkości ruchu orbitalnego elementów płynu: u = φ x w = φ z = aω cosh k(z + h) sinh kh = aω sinh k(z + h) sinh kh cos (kx ωt θ) (47) sin (kx ωt θ) (48)

49 Funkcje hiperboliczne Funkcja potencjału Prędkości i przyspieszenia w ruchu falowym Przyspieszenia: a x = u t a z = w t = aω2 cosh k(z + h) sinh kh = aω2 sinh k(z + h) sinh kh sin (kx ωt θ) (49) cos (kx ωt θ) (50) Tory ruchu elementów płynu: ξ = udt, η = vdt (51)