WYZNACZENIE GĘSTOŚCI MATERIAŁU STRUNY

Transkrypt

1 ĆWICZENIE 103 WYZNACZENIE GĘSTOŚCI MATERIAŁU STRUNY Cel ćwiczenia: Wyznaczenie gęstości materiału, z którego jest wykonana badana struna. Zagadnienia: definicja fali, parametry opisujące falę (położenie równowagi, amplituda, okres drgań, częstość drgań), rodzaje fali, fala stojąca (interferencja, strzałki, węzły), częstość drgań własnych struny. 1. Wprowadzenie Powszechnie występującym ruchem w przyrodzie jest ruch drgający, do którego zaliczamy ruch struny gitary, ruch tłoków w silnikach spalinowych oraz bicie serca. Dobrym przykładem tego ruchu jest również wprawiony w ruch ciężarek zawieszony na umocowanej z jednej strony sprężynie. Opisując ruch drgający wprowadza się następujące pojęcia: położenie równowagi, które informuje o położeniu ciała zanim zostanie ono wprawione w ruch drgający; amplitudę A określającą ile wynosi maksymalne wychylenie ciała z położenia równowagi; wychylenie x ciała z położenia równowagi; okres drgań T opisujący czas, w którym nastąpi jedno pełne drganie; częstość drgań f określającą liczbę drgań danego ciała w jednostce czasu. W ruchu drgającym wyróżniamy ruch harmoniczny, czyli taki ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu. Fale występujące w przyrodzie dzielimy ze względu na kierunek rozchodzenia się fali oraz na kształt czoła fali. Do pierwszej kategorii zaliczamy fale podłużne, czyli fale, w których kierunek drgań cząsteczek ośrodka jest identyczny jak kierunek rozchodzenia się fali, np. fala akustyczna oraz fale poprzeczne, w których kierunek drgań cząsteczek ośrodka jest ortogonalny do kierunku, w którym ta fala się rozchodzi, np. fala powstająca na szarpniętym wężu ogrodowym. Natomiast ze względu na kształt czoła fali rozróżnia się fale płaskie, powstające na morzu, koliste, tworzące się po wrzuceniu kamienia do wody oraz kuliste, do których zaliczamy falę dźwiękową. Fale stojące powstają w wyniku interferencji dwóch fal mających takie same częstości i amplitudy lecz przeciwne kierunki propagacji. Przykładem takiej fali jest fala rozchodząca się na szarpniętej strunie, która została unieruchomiona na obu końcach. Powstała fala odbija się od przeszkody i następuje zmiana jej fazy na przeciwną. Zatem fala ta (odbita) rozchodzi się w przeciwnym kierunku do fali padającej. Powstałe w ten sposób fale interferują ze sobą tworząc falę stojącą. Równanie fali stojącej jest falą wypadkową powstałą na skutek superpozycji fali padającej i odbitej. ψ 1 = Acosω (t + x v ) (1.1) ψ = Acosω (t x v ) (1.) ψ = ψ 1 + ψ (1.3) 1

2 Dodając te funkcje korzystamy ze wzoru na sumę dwóch cosinusów (cos α + cosβ = cos α+β ψ = Acosω (t + x v ) + Acosω (t x v ) = Acos ω (t + x v ) + ω(t x v ) cos ω (t + x v ) ω(t x v ) cos α β ): = Acosωtcosω x v (1.4) Podstawiając ω = π T i v = λ do (1.4) otrzymujemy: T ψ = Acos ( π λ x) cos(ωt) (1.5) Powyższe równanie jest równaniem fali stojącej. Wynika z niego, że ruch każdej cząsteczki jest ruchem harmonicznym o tym samym okresie, co drgania składowe oraz że amplituda drgania wypadkowego jest zależna od współrzędnej przestrzennej. W pewnych miejscach amplituda drgań wynosi 0. Są to punkty, w których cząsteczki nie wykonują drgań. Dla punktów tych zachodzi następująca zależność: cos π λ x = 0 (1.6) W punktach tych powstają tzw. węzły fali stojącej i występują, gdy: π λ x = (n + 1 ) π dla nεn (1.7) x = (n + 1) λ 4 x = λ 4, 3λ 4, 5λ 4, Odległość między sąsiednimi punktami o minimalnej wartości amplitudy wynosi połowę długości fali λ. Punkty te są stale w spoczynku. Natomiast miejsca, w których cząsteczki wykonują drgania o maksymalnej wartości amplitudy wynoszącej A nazywamy strzałkami fali stojącej. Zależność opisująca drgania o maksymalnej amplitudzie ma następującą postać: cos π λ x = ±1 (1.8) Strzałki powstają, gdy: π x = nπ λ dla nεn (1.9) x = n λ x = 0, λ, λ, 3λ, Amplituda drgań cząsteczek w pozostałych miejscach mieszczą się w przedziale od 0 do A i są uzależnione od położenia danego punktu. Odległość między węzłem a strzałką jest równa λ 4 ; między dwiema strzałkami zawsze występuje węzeł. Zatem położenie strzałek i węzłów nie ulega zmianie. Warto dodać również, że jeżeli fala ulega odbiciu od ośrodka gęstszego, to w miejscu odbicia powstaje węzeł; natomiast jeżeli fala odbija się od ośrodka rzadszego, to na granicy tych ośrodków powstaje strzałka fali stojącej.

3 Rysunek graficznie przedstawia węzeł i strzałkę.. Drganie struny Rysunek 1. Graficzne przedstawienie węzła i strzałki. Z naszego punktu widzenia struna jest traktowana jako walec o bardzo małym przekroju poprzecznym, który nie wykazuje żadnego oporu podczas wyginania. Struny najczęściej są produkowane z metalu, ale wykonuje się je również z włókien naturalnych (np. jedwab), tworzywa sztucznego lub z jelit zwierząt (instrumenty smyczkowe). Gdy napięta struna zostanie szarpnięta, to zaobserwujemy rozchodzące się zaburzenie zwane drganiem poprzecznym. Z powodu tego, że struna jest unieruchomiona z obydwu stron fala padająca napotyka na inny ośrodek i ulega odbiciu. Powstanie wtedy wspomniana już wcześniej fala stojąca na skutek interferencji fali padającej z falą odbitą od ośrodka gęstszego (zamocowanie struny). Dla częstości podstawowej ν 0 na końcach struny powstaną węzły (w środku strzałka). Liczba węzłów informuje o liczbie wyższych harmonicznych o częstościach ν 0, 3ν 0, 4ν 0 itd. Rysunek. Fale stojące wzdłuż struny unieruchomionej na końcach Odwołując się do rys.3 wyprowadźmy teraz wzór na prędkość rozchodzenia się fali wzdłuż struny. Na strunę działa siła napinająca F. Popędem siły nazywamy iloczyn średniej wartości siły G oraz czasu t jej działania. Pod jego wpływem część struny zyskuje przyrost pędu ΔP w kierunku ortogonalnym do struny i przemieszczą się z prędkością u. Fala propaguje wzdłuż struny z prędkością v. Na podstawie podobieństwa trójkątów otrzymujemy: G F = ut (.1) vt Gt = F u t (.) v 3

4 Rysunek 3. Ilustracja do wyprowadzenia wzoru Wiedząc, że pęd jest iloczynem masy i prędkości danego punktu możemy zapisać: ΔP = mu = ρσvtu (.3) gdzie: ρ gęstość materiału, z którego została wykonana struna, σ przekrój poprzeczny struny. Podstawiając do powyższego równania Gt = ΔP otrzymujemy: F u t = ρσvtu (.4) v Dokonując przekształcenia otrzymujemy wzór opisujący prędkość rozchodzenia się fali wzdłuż struny: v = F ρσ = p ρ = σ λ (.5) gdzie p = F napięcie (naprężenie) struny, λ - gęstość liniowa drutu. σ Częstość podstawowa ν 0 jest falą harmoniczną charakteryzującą się najmniejszą częstością w szeregu harmonicznym (najniższy ton dźwięku) opisany przez następujący wzór: ν 0 = v λ 0 (.6) Długość fali λ 0 dla częstości podstawowej jest równa podwójnej długości l struny i dana jest wzorem: Zatem częstość podstawowa jest opisana następującym wzorem: λ 0 = l (.7) ν 0 = 1 l F σρ (.8) gdzie F odpowiada sile naciągu struny. Częstości wyższych harmonicznych określa wzór: ν n = 1 + n F l σρ = (1 + n)ν 0 dla n = 1,,3, (.9) gdzie n jest liczbą węzłów powstałych wzdłuż struny (nie licząc węzłów na końcach). 4

5 Drgania powstałe na strunie są drganiami tłumionymi, ponieważ energia układu drgającego maleje w czasie na skutek przejścia jednej formy energii w inną. Warto dodać również, że zgodnie z zasadą superpozycji dochodzi do nakładania się drgań i układ może wykonywać także drgania longitudinalne (podłużne). W tym przypadku rozmieszczenie węzłów jest analogiczne do drgań poprzecznych. Prędkość rozchodzenia się drgań podłużnych opisana jest przez wzór Newtona: v l = E ρ (.10) gdzie E jest modułem Younga, który opisuje sprężystość materiału struny. Zatem częstość drgania podstawowego struny dana jest następującym wzorem: ν 0 = 1 l E ρ (.11) Wyższe harmoniczne określa wzór: ν n = 1 + n E l ρ = (1 + n)ν 0dla n = 1,,3, (.1) Na podstawie (.9) oraz (.1) wnioskujemy, że dla drgań podłużnych częstość wyższych harmonicznych jest uzależniona tylko od własności struny. Natomiast dla drgań poprzecznych zależy od siły napinającej strunę. 3. Zasada pomiaru i układ pomiarowy A) Wykaz przyrządów 1) autotransformator 4) stelaż do zamocowania struny ) przewody elektryczne 5) komplet ciężarków 3) zestaw strun 5

6 B) Schemat układu pomiarowego Poniżej przedstawiono schemat układu (Rys. 4) 4. Zadania do wykonania A) Przebieg pomiarów Rysunek 4. Schemat układu pomiarowego 1) Sprawdzić zgodność zestawu pomiarowego z powyższą listą. ) Wyznaczyć masę ciężarka, a następnie zawiesić go, w przeznaczonym do tego miejscu, na końcu badanej struny. 3) Włączyć zasilanie autotransformatora i ustawić dostosowaną do danej struny wartość napięcia prądu 4) Znaleźć pojedynczy mod, poprzez zmianę położenia słupków, na których zawieszona jest struna. Zanotować ich położenie. Na podstawie różnicy tych wartości określić długość powstałego modu. 5) Analogiczne pomiary wykonać dla pozostałych ciężarków. Wykonać co najmniej trzy serie pomiarów. Uwagi: Należy znaleźć stabilny mod o maksymalnej wartości amplitudy. Jeżeli słychać obijanie się drutu o magnes należy zmniejszyć wartość napięcia na autotransformatorze. Unikać powstawania dodatkowych modów w obszarze ciężarek słupek oraz słupek mocowanie struny. Pamiętać o zapisaniu średnicy badanego drutu! B) Opracowanie wyników: 1) Obliczyć długości modów odpowiadające poszczególnym masą ciężarków. Obliczyć wartość średnią oraz niepewność pomiaru. Przy obliczaniu niepewności uwzględnić błąd liniału wynoszący 1[mm]. ) Wyznaczyć gęstość materiału badanej struny dla danego ciężarka, korzystając ze wzoru.8. Przyjąć, że siła naciągu struny wynosi F = mg, gdzie m masa ciężarka, g przyspieszenie ziemskie. Pole powierzchni przekroju poprzecznego obliczyć ze wzoru: σ = π ( d ), gdzie d średnica badanego drutu. Wyznaczyć niepewność pomiaru. 6

7 3) Wyznaczyć średnią wartość gęstości materiału badanej struny oraz jej niepewność pomiaru. 4) Narysować wykres zależności długości modu od pierwiastka masy ciężarka, uwzględnić niepewności pomiarowe oraz dopasować odpowiednią krzywą do otrzymanego wykresu. 5) We wnioskach skomentować otrzymane wyniki, porównać je z danymi literaturowymi oraz obliczyć wartość błędu względnego. 5. Pytania: 1) Wymienić i zdefiniować parametry opisujące fale. ) Podać definicje i równanie fali stojącej. 3) Podać zależność opisującą węzły oraz strzałki fali stojącej. 4) Wyjaśnić zasadę wyznaczania gęstości materiału struny. 6. Literatura 1) Jerzy Massalski, Michalina Massalska, Fizyka dla inżynierów, wyd. V, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1971, 005 Doświadczenie opracowali: Golletz Weronika Szmalenberg Anna Tuła Tymoteusz 7