Statyka płynów - zadania

Transkrypt

1 Zadanie 1 Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości. Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej siły masowej będą miały wartość: X = 0, Y = 0, Z = g Równanie różniczkowe opisujące rozkład ciśnienia będzie miało następującą postać: dp = ρ g dz, stąd p = ρ g z + c Stałą c wyznaczamy z warunku brzegowego p = 0 dla z = z zatem: p = p + ρ g (z z ) = p + ρ g h

2 Zadanie 2 Obliczyć wysokość nadciśnienia w zbiorniku zawierającym wodę o gęstości ρ w = 1000 kg/m 3. Manometr wypełniony cieczą o gęstości ρ m = kg/m 3 wskazuje wychylenie z = 0, m. Poziom zerowy manometru znajduje się H = 2 m poniżej zwierciadła cieczy w zbiorniku. p n ρ w I A B I Jeżeli skorzystamy z prawa naczyń powiązanych dla przekroju I-I: i obliczymy ciśnienie w punktach A i B p = p p = p + p + H z ρ g otrzymujemy: p = p + z ρ g p = z ρ 1 2 ρ g H ρ g h = p ρ g = z ρ 1 H ρ 2 h = 0, = 3,2 m 2

3 Zadanie 3 Obliczyć ciśnienie względne w punktach 1, 2, 3,, 5 zbiornika mając dane: h 1 = 1 m, h 2 = 0,7 m, h 3 = 0, m, h = 1 m, z = 0,8 m, ρ w = 1000 kg/m 3 (gęstość powietrza ρ p pominąć). ρ p ρ p z h1 h2 h3 ρ w h ρ w 5 Ciśnienie w poszczególnych punktach obliczamy na podstawie prawa naczyń połączonych p = z ρ g = 0, ,81 = 7850 Pa p = p + (h h ) ρ g = (1 0,7) ,81 = Pa p = p (h h ) ρ g = 7850 (1 0,7) ,81 = 910 Pa p = p = 910 Pa p = h ρ g p = , = 900 Pa

4 Zadanie Obliczyć nadciśnienie nad zwierciadłem cieczy o gęstości ρ w = 1000 kg/m 3 wypełniającej walczak. Wychylenie manometrów z 1 = z 2 = 0,5 m, gęstość płynu manometrycznego ρ m =13600 kg/m 3 (gęstość powietrza pominąć). Poziom zerowy manometrów znajduje się H = 2 m poniżej zwierciadła zbiornika. p n ρ w 0 0 ρ m ρ m Prawo naczyń połączonych dla płaszczyzny poziomej, stycznej do zwierciadła w lewych ramionach manometrów, oznaczając symbolem p ciśnienie panujące w przewodzie łączącym oba manometry różnicowe: p + p + H ρ g z ρ g = p + z ρ g Stąd, p = z ρ g + p p = ( z z ) ρ g H z ρ g Po podstawieniu wartości otrzymujemy p = 1,11 10 Pa

5 Zadanie 5 Trzy niemieszające się ciecze o gęstościach ρ 1 = 700 kg/m 3, ρ 2 = 100 kg/m 3, ρ 3 = 2000 kg/m 3 nalane do naczynia tworzą warstwy o grubościach H 1 = H 2 = H 3 = 2 m. Obliczyć ciśnienie hydrostatyczne na poziomie dna oraz wzniesienia h 1, h 2, h 3 poziomów w rurkach piezometrycznych. ρ 1 ρ 2 ρ 3 Ciśnienie hydrostatyczne na dnie naczynia wynosi: p = H ρ g + H ρ g + H ρ g = 2 9,81 ( ) = 0,80 10 Pa Wysokości h 1, h 2, h 3 obliczamy na podstawie prawa naczyń połączonych: h = H + H + H = 6 m h = H + H + H ρ ρ = = 5 m h = H + H ρ + H ρ ρ = ρ =,1 m 2000

6 Zadanie 6 Obliczyć zmniejszenie h wskazania mikromanometru mierzącego ciśnienie w zbiorniku, gdy poziom cieczy został obniżony o H = 0,5 m. Gęstość cieczy w zbiorniku ρ = 1000 kg/m 3, w mikromanometrze natomiast ρ m = kg/m 3, stosunek średnic d/d = 0,1. Równanie wyrażające prawo naczyń połączonych w płaszczyźnie I-I dla naczynia wypełnionego do wysokości H i H- H będą miały postać: H ρ g = h ρ g (H H h ) ρ g + h ρ g = (h h) ρ g Wartość h można obliczyć z porównania objętości cieczy manometrycznej, która wpłynęła z rurki do zbiornika mikromanometru: π D h = π d h h = h d D Po podstawieniach otrzymujemy: h = H d D 1 ρ ρ 1 0,5 h = [(0,1) + 1] = 0,039 m Zadanie 7

7 Obliczyć wartość siły P niezbędną do uzyskania nacisku P 2 = N. Średnice tłoków wynoszą d = 50 mm, D = 500 mm. Gęstość cieczy w cylindrach i ciężar tłoków pominąć. Nadciśnienie w cylindrze I wynosi: Natomiast siła działająca na tłok w cylindrze I : p = P π d Nadciśnienie w cylindrze II: A siła działająca na tłok II: Zatem, P = π D p = P D d p = P π d = P D d P = π D π d p = P D d P = P d D P = = 100 N Zadanie 8

8 Obliczyć współrzędną z Ʃ i moduł naporu N na pionową ścianę, której kontury tworzy parabola o wymiarach b = 0,5 m, h = 0,8m i oś x układu współrzędnych. h dz Z ZΣ W celu rozwiązania zadania, należy znaleźć równanie krzywej ograniczającej rozpatrywaną powierzchnię. W tym wypadku szukamy równania paraboli określonej wymiarami b i h. Wychodząc z kanonicznego równania paraboli: x = 2 p z O wierzchołku leżącym w początku układu osi x, z, można napisać: x = 2 p (h z) Dla paraboli spełniony jest warunek: b 2 = 2 p h Stąd otrzymujemy równanie paraboli: Napór na rozpatrywaną powierzchnię: z = h h x b

9 N = ρ g Po zróżniczkowaniu paraboli otrzymujemy: z da = ρ g z 2 x dz dz = 8 x h b dx Po podstawieniu z oraz bezwzględnej wartości dz, otrzymujemy: / N = ρ g h h b 2 x 8 x h b dx = 16 ρ g h x x dx N = 15 ρ g b h = ,81 0,5 0,8h = 837 N Współrzędną środka naporu z Ʃ obliczamy z równania równowagi momentów: b / b Z poprzednich rozważań: Nz = z dn Po podstawieniu otrzymujemy: z = / / 16 ρ g h dn = z = 60 h 3 x 8 x b b x x b dx 16 ρ g h b x x h b dx h b x ρ g b h x b dx = 7 h = 0,8 = 0,57 m 7

10 Zadanie 9 Obliczyć wartość siły F niezbędnej do utrzymania obrotowo zamocowanej klapy kwadratowej o boku a = 0,5m pod kątem α = 60. Zbiornik jest wypełniony wodą o gęstości ρ w = 1000 kg/m 3. Siła F jest przyłożona w środku geometrycznym klapy zanurzonym na głębokości h = 2 m. Ciężar klapy pominąć. rσ rf h zσ Rozwiązanie Klapa będzie utrzymana w stanie równowagi, gdy spełniony będzie warunek: Zgodnie z rysunkiem do zadania: r F r N r = a sin (α) 2 Wartość naporu hydrostatycznego określa wzór: Jego składowa pozioma: Głębokość zanurzenia środka naporu: Zatem, J z = z + z A sin (α) = h + r = h + a 2 sin(α) z N = z A ρ g = a h ρ g N = N sin(α) = a h ρ g sin(α) a a r = h + a 2 sin(α) h 12 h sin (α) = a 2 Równanie równowagi momentów przybiera postać: Stąd: Po podstawieniu wartości: 12 h a sin (α) = h + a 12 h sin (α) sin(α) a 12 h sin (α) a 2 sin(α) F a a sin(α) 2 12 h sin (α) a h ρ g sin(α) F 1 a 6 h sin(α) a h ρ g sin(α) F 1 0,5 6 2 sin(60 ) 0, ,81 sin(60 ) = 09, N

11 Zadanie 10. Otwór o średnicy d = 0,15 m w dnie zbiornika jest zamknięty kulą o średnicy D = 0,2 m i gęstości ρ 1 = 7800 kg/m 3. Z jaką siłą P kula jest przyciskana do krawędzi otworu, jeżeli wysokość wody w zbiorniku wynosi h = 0,6 m, a jej gęstość ρ 2 = 1000 kg/m 3. D ρ 1 Rozwiązanie d Na kulę działa napór hydrostatyczny oraz ciężar kuli. Kulę przyciska składowa pionowa naporu, której wartość to: V 1 objętość zakreskowana ukośnie V 2 objętość zakreskowana poziomo N = ρ g V ρ g V = ρ g V V = π D (h z ) 1 π D 2 6 V = π D (h z ) + 1 π D π d 2 6 h 1 6 z 3 d 2 + z Wyrażenia po prawej stronie równania określają: - objętość walca o wysokości h-z 1 ; - objętość połowy kuli; - objętość walca o wysokości h; - objętość czaszy o wysokości z 2 ; Po podstawieniu i redukcji otrzymujemy: Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć: V = V V = π d h π 6 z 3 d 2 π + z D 6 z = D 2 d 2 Po podstawieniu wartości otrzymujemy: z = D 2 z Ciężar kuli: N = 66 N Kula jest przyciskana z siłą: π D π 0,2 G = ρ g = ,81 = 320 N 6 6 P = G + N = = 386 N