Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )

Transkrypt

1 Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz stałą A. Jakie jest średnie położenie i pęd cząstki w chwili t =? Odpowiedź: A = 15, x =, p = 16a 5 Zadanie MK Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: Ψ(x, t) = Ae λ x iωt gdzie λ +, ω +. Wyznacz stałą A. Jakie jest średnie położenie i średni kwadrat położenia cząstki? Odpowiedź: A = λ, x =, x = 1 λ Zadanie MK3 a Wyznacz unormowane stany stacjonarne i dozwolone wartości energii dla cząstki znajdującej się w nieskończonej studni potencjału o szerokości a (patrz rysunek) przy założeniu, że energia cząstki E >. Odpowiedź: Ψ n (x, t) = a sin nπ a x e i nπ ma t, E n = n π ma Skompilowane z wielu źródeł. Tylko do użytku na zajęciach. 1

2 Zadanie MK4 Iloczyn skalarny dwóch funkcji falowych Ψ 1 i Ψ może zostać zdefiniowany w następujący sposób: (Ψ 1,Ψ ) = Ψ Ψ 1 dx przy czym granica tej całki zależy od kontekstu (na przykład dziedziny lub okresu funkcji Ψ 1 i Ψ ). Wykaż, że tak zdefiniowany iloczyn skalarny jest odwzorowaniem addytywnym względem obu parametrów: (Ψ 1,Ψ + Ψ 3 ) = (Ψ 1,Ψ ) + (Ψ 1,Ψ 3 ) (Ψ 1 + Ψ 3,Ψ ) = (Ψ 1,Ψ ) + (Ψ 3,Ψ ) Wykaż również, że zachodzą następujące równości: (Ψ 1, cψ ) = c (Ψ 1,Ψ ) dla dowolnego c. (cψ 1,Ψ ) = c (Ψ 1,Ψ ) Zadanie MK5 Dyskretną bazą ortonormalną nazywamy zbiór funkcji {u n (x)} (u n :, n ), pomiędzy którymi zachodzi, między innymi, następująca zależność (ortonormalność): un, u m = δn,m Wykaż, że rozwiązania niezależnego od czasu równania Schrödingera dla cząstki w nieskończonej studni potencjału (zadanie MK3) spełniają ten warunek. Zadanie MK6 Załóżmy, że funkcje falowe Ψ 1 (x, t) i Ψ (x, t) są rozwiązaniami równania Schrödingera. Udowodnij, że funkcja falowa Ψ 3 (x, t) będąca ich liniową kombinacją: Ψ 3 (x, t) = c 1 Ψ 1 (x, t) + c Ψ (x, t) gdzie c 1 i c to dowolne stałe, jest również rozwiązaniem równania Schrödingera. Ile będą wynosiły iloczyny skalarne (Ψ 1,Ψ 3 ), (Ψ,Ψ 3 ) i (Ψ 3,Ψ 3 ), jeżeli funkcje falowe Ψ 1 i Ψ są ortonormalne (zadanie MK5)? Odpowiedź: (Ψ 1,Ψ 3 ) = c 1, (Ψ,Ψ 3 ) = c, (Ψ 3,Ψ 3 ) = c 1 + c (tu warto zauważyć, że jest to z definicji całka kwadratu modułu Ψ 3 )

3 Zadanie MK7 Najbardziej ogólne rozwiązanie równania Schrödingera, z uwagi na jego liniowość, dla cząstki w nieskończonej studni potencjału (zadanie MK3) może zostać przedstawione jako superpozycja wielu stanów stacjonarnych (zadanie MK6): Ψ(x, t) = n c n Ψ n (x, t) gdzie Ψ n (x, t) to n-ty stan stacjonarny, a c n to pewna stała (waga). Załóżmy, że dla pewnej cząstki w nieskończonej studni potencjału o szerokości a (V = gdy x [,a], V = gdy x / [,a]) kształt funkcji falowej w chwili t = dany jest w następujący sposób: Ψ(x,) = Ax(a x) Wyznacz dla tej cząstki stałą A i poszczególne wartości współczynników c n. Podpowiedź: przy wyznaczaniu c n należy skorzystać z ortogonalności stanów stacjonarnych (patrz zadania MK5, MK6) - problem ten jest analogiczny do wyznaczania współczynników wektora w pewnej ortonormalnej bazie (gdyż, w istocie, jest to dokładnie wyznaczanie współczynników wektora w pewnej ortonormalnej bazie - naszym wektorem jest funkcja falowa a bazą poszczególne stany stacjonarne). Odpowiedź: A = 3, c a 5 n = 8 15 (nπ) 3 gdy n jest nieparzyste gdy gdy n jest parzyste Zadanie MK8 Po jakim czasie cząstka w nieskończonej studni potencjału znajdzie się znowu w stanie początkowym: Ψ(x,T ) = Ψ(x,) jeżeli w chwili początkowej znajdowała się w dowolnym stanie Ψ(x, ) (niekoniecznie stacjonarnym)? Odpowiedź: T = 4ma π Zadanie MK9 Wyznacz wzór na prąd prawdopodobieństwa j (x, t): j (x, t) = Ψ Ψ mi x Ψ x Ψ różniczkując gęstość prawdopodobieństwa Ψ po czasie i używając równania Schrödingera do zamiany pochodnych na pochodne po położeniu. 3

4 Zadanie MK1 Wyznacz prąd prawdopodobieństwa (zadanie MK9) dla funkcji falowej: ±i k x iωt Ψ(x, t) = Ae Odpowiedź: j (x, t) = ± k m A Zadanie MK11 Wyznacz prąd prawdopodobieństwa (zadanie MK9) dla cząstki w nieskończonej studni potencjału o szerokości a (zadanie MK3), jeżeli cząstka znajduje się w n-tym stanie stacjonarnym: nπ Ψ n (x, t) = a sin a x e ie n t gdzie E n = n π ma Jaki będzie prąd prawdopodobieństwa w przypadku cząstki znajdującej się w stanie będącym następującą liniową kombinacją n-tego i m-tego stanu stacjonarnego: Ψ n,m (x, t) = 1 Ψn (x, t) + Ψ m (x, t) Odpowiedź: j n (x, t) =, j n,m (x, t) = π (n + m)sin (n m)πx (n m)sin (n+m)πx sin (E n E m )t ma a a Zadanie MK1 V Wyznacz, korzystając z prądu prawdopodobieństwa, współczynnik odbicia R i transmisji T dla stopnia potencjału o wysokości V w przypadku kiedy energia E > V i E [,V [. Odpowiedź: dla E > V : R = ( k ), T = 4 k, k ( +k ) ( +k ) 1 = E [,V [: R = 1, T = me, k = m(e V ) ; dla 4

5 Zadanie MK13 Wyznacz współczynnik odbicia R i transmisji T dla odwróconego stopnia potencjału o głębokości V w przypadku, kiedy energia E >. Odpowiedź: R = ( k ), T = 4 k m(e+v ), k ( +k ) ( +k ) 1 =, k = me -V Zadanie MK14 -a a Wyznacz parzyste i nieparzyste unormowane rozwiązania niezależnego od czasu równania Schrödingera dla cząstki o energii E ] V,[ znajdującej się w skończonej studni potencjału o głębokości V i szerokości a. Znajdź, w obu przypadkach, równania na dopuszczalne wartości energii (uwaga: równań tych nie daje się analitycznie rozwikłać). Dla energii E > znajdź współczynnik transmisji. Dla jakich wartości energii fala całkowicie przejdzie przez barierę (studnię)? Odpowiedź: Rozwiązania parzyste: ψ(x) = -V e a cos k a e x gdy x ], a[ cos k x gdy x [ a, a] e a cos k a e x gdy x ]a, [ Warunek dla energii stanów parzystych: = k tg k a e a sin k a e x gdy x ], a[ sin k x Rozwiązania nieparzyste: ψ(x) = e a sin k a e x gdy x [ a, a] gdy x ]a, [ Warunek dla energii stanów nieparzystych: = k ctg k a T = 1 + V 4E(E+V ) sin a m(e + V ) 1 E n + V = n π 8ma 5

6 Zadanie MK15 V a Wyznacz współczynnik transmisji dla prostokątnej bariery potencjału o szerokości a i wysokości V w przypadku, kiedy energia cząstki E > V, E = V i < E < V. Odpowiedź: k 1 1 E > V : T = 1 + k k sin k a, = E = V : T = 1 + ka 1, k = me < E < V : T = 1 + k 1 +k k sinh k a 1, = me m(e V ), k = me m(v E), k = Zadanie MK16 Cząstka o masie m porusza się w potencjale: gdy x ],[ V (x) = 3 gdy x [,a] ma gdy x ]a, [ W ilu stanach o energii E [ 3 ma,] może znaleźć się cząstka. Podpowiedź: końcówkę zadania należy rozwiązać graficznie. Odpowiedź: Istnieją 3 stany stacjonarne o energii E [ 3 ma,]. Zadanie MK17 Dla operatora pędu ˆp = i rozwiąż zagadnienie własne: x ˆpu p (x) = pu p (x) to znaczy znajdź taki zbiór funkcji (funkcji własnych) {u p : } dla których, w wyniku działania operatora pędu na jedną z nich, dostaniemy tę samą funkcję pomnożoną przez pewną stałą p (wartość własną; choć wcale nie musimy, to dla spokoju ducha ograniczymy się do rzeczywistych wartości własnych). Odpowiedź: u p (x) = C e i p x 6

7 Zadanie MK18 Delta Diraca δ(x) to funkcja uogólniona (dystrybucja) zdefiniowana w następujący sposób (tu następuje drobne kłamstwo): dla której δ = + gdy x = gdy x +ɛ ɛ δ(x) = 1 dla dowolnego ɛ > (w tym dla ɛ = ; czy potraficie po tym warunku stwierdzić dlaczego δ nie jest funkcją?). Delta Diraca jest więc unormowana. Delta Diraca jest również parzysta: δ( x) = δ(x) Bardzo użyteczną cechą δ jest wycinanie wartości funkcji pod całką: + f (x) δ(x x ) dx = f (x ) Warto również pamiętać o następującej równości: 1 π + e i k x dk = δ(x) Korzystając z powyższych zależności wyznacz wartość całki + π I 1 = cos T x δ(x nt ) dx dla dowolnego n, oraz I = Odpowiedź: I 1 = 1, I = πδ(x x ) + e i z(x x ) dz Zadanie MK19 Ciągłą bazą ortonormalną nazywamy zbiór funkcji {u p (x)} (u p :, p ), pomiędzy którymi zachodzi, między innymi, następująca zależność (ortonormalność w sensie Diraca): u p, u p = δ( p p ) Wykaż, że funkcje własne operatora pędu (zadanie MK17) spełniają ten warunek przy odpowiednim doborze stałej C. Wyznacz tę stałą. Odpowiedź: C = 1 π 7

8 Zadanie MK Każda przyzwoicie zachowująca się funkcja (w naszym przypadku całkowalna z kwadratem modułu) daje się wyrazić w bazie funkcji własnych operatora pędu (zadanie MK17) Ψ(x) = + dp c( p) u p (x) Równanie to jest analogiczne do tego w zadaniu MK7, gdzie przedstawialiśmy funkcje falową w bazie stanów stacjonarnych cząstki w nieskończonej studni potencjału. Różnica polega na tym, że teraz mamy do czynienia z bazą ciągłą i musimy całkować po ciągłym indeksie p, numerującym poszczególne funkcje własne. Funkcja c( p) pełni analogiczną rolę do stałych c n w MK7. Dla funkcji Ψ(x) zdefiniowanej jako A gdy x [ a,a] Ψ(x) = gdy x / [ a,a] wyznacz stałą A tak, aby Ψ(x) była unormowana. Następnie wyznacz dla niej funkcję c( p). Podpowiedź: należy skorzystać z ortogonalności funkcji u p (zadanie MK19) i z własności delty Diraca (zadanie MK18). Odpowiedź: A = 1 a, c( p) = πa sin pa p Zadanie MK1 Załóżmy, że rozwiązanie niezależnego od czasu równania Schrödingera ma następującą postać ψl (x) gdy x ], x ψ(x) = [ ψ r (x) gdy x [x,+ [ Udowodnij, że dla dowolnego potencjału będącego funkcją V : ( V (x) < ), pierwsza pochodna ψ(x) musi być ciągła. Wykaż również, że możemy dokładnie określić jak zachowuje się nieciągłość pochodnej ψ(x) w przypadku deltoidalnego potencjału V (x) = cδ(x x ). Podpowiedź: w obu przypadkach należy obustronnie scałkować niezależne od czasu równanie Schrödingera w najbliższym otoczeniu punktu x. Odpowiedź: dψ r dψ l gdy V (x) zachowuje się przyzwoicie = dx x=x dx mc ψ(x x=x ) nieciągłość dla potencjału deltoidalnego 8

9 Zadanie MK Wyznacz stany stacjonarne i dopuszczalne wartości energii dla cząstki w potencjale deltoidalnym V (x) = cδ(x), której energia E <. Dla energii E > wyznacz współczynnik transmisji i odbicia. Pamiętaj, że w punkcie x = pierwsza pochodna funkcji falowej nie będzie ciągła z uwagi na deltoidalny potencjał (zadanie MK1). Odpowiedź: Ψ(x, y) = mc e mc x ie t, E = mc (istnieje tylko jeden stan stacjonarny!) R = 1 + E 1, mc T = 1 + mc 1 E 9