Ruch kulisty bryły. Kąty Eulera. Precesja regularna

Transkrypt

1 Ruch kulist brł. Kąt Eulera. Precesja regularna Ruchem kulistm nawam ruch, w casie którego jeden punktów brł jest stale nieruchom. Ruch kulist jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta mienia swoje położenie w casie). a) b) A A B B O O Smetralne, leżące na kołach dużch O1 OAB=OA B Chwilowa oś obrotu Ruch kulist brł: a) obrót wokół punktu, b) obrót dookoła chwilowej osi obrotu

2 Prkład brł w ruchu kulistm

3 Położenie. Brła, której jeden punkt jest unieruchomion ma 3 stopnie swobod. Jej położenie jest opisane w sposób jednonacn jednie a pomocą kątów, wanch kątami Eulera. Dla określenia tch kątów wprowadam układ współrędnch wiąanch brłą,,. O linia węłów w Opis ruchu kulistego brł a pomocą kątów Eulera Wobraźm sobie, że pocątkowo osie układu nieruchomego,, pokrwają się osiami układu,,. Następnie brła wkonuje obrot: wokół osi nieruchomej o kąt (kąt precesji), po wkonaniu tego obrotu oś najdie się na linii wanej linią węłów w, wokół osi o kąt (kąt nutacji), ściśle wokół linii węłów w, wokół osi o kąt (kąt obrotu własnego).

4 Kolejność wkonwania powżsch obrotów jest dowolna i nie ma ona wpłwu na położenie końcowe brł. Gdbśm chcieli a współrędne brł prjąć kąt będące obrotami wokół osi układu nieruchomego,,, wówcas kolejność wkonwania obrotów decdowałab o położeniu końcowm brł. Kąt,, nie opisują więc jednonacnie położenia brł (można je prjąć tlko dla małch obrotów). a) 2 1 Wpłw kolejności wkonwania obrotów brł na położenie końcowe: a) obrot w kolejności wokół osi potem, b) obrot w kolejności wokół osi potem b) 2 1 Zatem kąt: = (t), = (t), () t są współrędnmi brł w ruchu kulistm.

5 Prędkość brł. Ponieważ ruch kulist jest obrotem wokół chwilowej osi obrotu, wektor prędkości kątowej leż na tej osi. ω Chwilowa oś obrotu brł w ruchu kulistm Wektor prędkości kątowej możem podać arówno w nieruchomm układie osi,, i j k, jak i w układie wiąanm brłą e e e.

6 Znając prędkości: obrotu własnego, precesji ora nutacji, Wektor prędkości kątowch: obrotu własnego, precesji i nutacji Składowe wektora, w układie nieruchomm,, ora ruchomm,, oblicam ależności: 1 cos cos cos. cos 1 cos cos natomiast:,, - prędkości mian kątów Eulera. Możem też wektor prędkości kątowej brł w ruchu kulistm predstawić w postaci w e k e O

7 W celu naleienia składowch prędkości kątowej w układie,, oblicam poscególne jej składowe sumując algebraicnie odpowiednie składowe wektorów prędkości kątowch, e 2 ζ cos ω 1 k cos η 2 ω 2 3 ew w

8 Transformacja do układu nieruchomego:,, k e e w cos cos cos

9 W celu naleienia składowch prędkości kątowej w układie ξ,η,ζ oblicam poscególne jej składowe sumując algebraicnie odpowiednie składowe wektorów prędkości kątowch, Kolejność wkonwania obrotów (podana dla ułatwienia lepsego roumienia transformacji): 1) obrót wokół osi o kąt precesji ψ (kolor pomarańcow, osie układu ruchomego ξ,η,ζ pocji onaconej indeksem dolnm ajmują pocję onaconą indeksem górnm ) 2) obrót wokół linii węłów w o kąt nutacji θ (kolor niebieski, osie układu ruchomego ξ,η,ζ pocji onaconej indeksem górnm ajmują pocję onaconą indeksem górnm ) 3) obrót wokół osi ζ o kąt obrotu własnego φ (kolor cerwon, osie układu ruchomego ξ,η,ζ pocji onaconej indeksem górnm ajmują pocję końcową, be indeksów)

10 Transformacja do układu ruchomego:,, k e e w cos cos cos

11 Prspiesenie. Wektor prspiesenia kątowego brł w ruchu kulistm leż na chwilowej osi prspiesenia. ζ Chwilowa oś prśpiesenia brł w ruchu kulistm Wektor prspiesenia kątowego możem podać tak w nieruchomm układie osi,, i j k, jak i w ruchomm układie osi,, e e e.

12 W casie ruchu kulistego brł stwnej chwilowa oś obrotu mienia swoje położenie wględem nieruchomego układu odniesienia U ora wględem porusającej się brł. Prechodi ona jednak awse pre środek O ruchu kulistego. Z tego wględu chwilowe osie obrotu musą leżeć na pewnej powierchni stożkowej o wierchołku w punkcie O. Podobnie, miejscem geometrcnm chwilowch osi obrotu w układie ruchomm U jest powierchnia innego stożka, o wierchołku w punkcie O. Powierchnie te nawają się aksoidami (aksioida ruchoma i aksioida nieruchoma). O aksioida nieruchoma aksioida ruchoma Precesja regularna (scególn prpadek ruchu kulistego)

13 Precesja regularna ma miejsce, gd spełnione są warunki: const, stąd const const Dla precesji regularnej ruch obrotow precesji i obrotu własnego są jednostajnmi ruchami wokół osi ora. Precesję regularną można interpretować jako sumę dwóch obrotowch ruchów jednostajnch: ruchu wokół osi wiąanej brłą, nachlonej stale pod kątem, prędkością kątową const ora ruchu wokół osi, prędkością kątową precesji const. Wektor prędkości kątowej leż w płascźnie,, a jego długość wnosi (tw. cousów) cos gdie: const, const

14 W ależności od wartości kąta pomięd wektorami prędkości kątowej precesji precesją prostą (współbieżną), gd i obrotu własnego (kąt ostr), lub precesją odwrotną (preciwbieżną), gd 9, mam do cnienia (kąt rowart) 9