,..., u x n. , 2 u x 2 1

Transkrypt

1 . Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać rrc dla funkcji n - miennch u(x,..., x n ) jest następująca: () F (x, x 2,..., x n, u, u x,..., u x n, 2 u x 2,..., 2 u,... ) = 0. x 2 n Definicja.2 Rędem rrc nawam najwięks rąd pochodnej funkcji niewiadomej w danm równaniu. Definicja.3 Funkcję u(x,..., x n ) spełniającą równanie () nawam rowiąaniem lub całką rrc. Definicja.4 Jeżeli funkcja F jest liniowa wględem funkcji u i jej pochodnch cąstkowch, a jej współcnniki ależą tlko od miennch nieależnch x,..., x n, to rrc nawam liniowm. Definicja.5 Jeżeli funkcja F jest liniowa wględem pochodnch rędu n, a jej współcnniki ależą nie tlko od miennch nieależnch x,... x n, ale od u i jej pochodnch rędu n, to równanie nawam quasi-liniowm. Z teorii równań różnickowch wcajnch wiadomo, że rowiąanie ależ od stałch dowolnch, jeśli nie są podane warunki na funkcję niewiadomą. Rowiąanie ogólne równania cąstkowego ależ od dowolnch funkcji miennch nieależnch. Prkład. u = 0 dla funkcji u(x, ). Rowiąanie - u(x, ) = v(x) gdie v onaca dowolną funkcję miennej x. Prkład.2 u x = 0 dla funkcji u(x, ). Rowiąanie - u(x, ) = v(x) + ϕ() gdie v, ϕ są dowolnmi funkcjami miennch x i - odpowiednio. Definicja.6 Niech dan będie układ równań różnickowch wcajnch u niewiadommi funkcjami (x),..., n (x) : d = f (x,,..., n )... d n = f n(x,,..., n ).

2 Niech = (x),..., = (x) będą jakimś scególnm rowiąaniem tego układu. Całką pierwsą układu równań nawam każdą funkcję F (x,,..., n ) o tej własności, że funkcja łożona jest stała. x F (x, (x),..., n (x)) Weźm pod uwagę równanie liniowe jednorodne rędu pierwsego funkcją niewiadomą u(x, ) postaci (2) a(x, ) u + b(x, ) u + c(x, )u = 0 x gdie a(x, ), b(x, ) są funkcjamu ciągłmi miennch x, o ciągłch pochodnch w pewnm obsare. Prawdiwe jest następujące: Twierdenie. Jeżeli funkcja u = F (x, ) jest jakimkolwiek rowiąaniem równania (2), wówcas funkcja F (x, ) jest całką pierwsą równania a(x, ) = b(x, ) = du c(x, )u Prawdiwe jest również twierdenie odwrotne: Twierdenie.2 Jeżeli F (x, ) jest całką pierwsą równania fraca(x, ) = b(x, ) = du c(x, )u wówcas funkcja u = F (x, ) jest rowiąaniem równania cąstkowego (2)) Na podstawie powżsch twierdeń możem naleźć rowiąanie scególne równania (2) Twierdenie.3 scególnego F jest całką ogólną równania (2) Dowolna funkcja różnickowalna Φ rowiąania u = Φ(F ) Twierdenia - 3 można uogólnić na prpadek rrc liniowgo jednorodnego funkcją niewiadomą n miennch nieależnch x,..., x n ; tj. 2

3 na prpadek równania (3) a (x,..., x n ) u x + + a n (x,..., x n ) u x n = 0 Ab naleźć rowiąanie ogólne rrc rędu pierwsego liniowego jednorodnego należ () Zbudować układ charakterstk: a (x, x 2,..., x n ) = 2 a 2 (x, x 2,..., x n ) = = (2) Dla układu charakterstk naleźć całki pierwse: ϕ i (x,..., x n ) = C i, i =, 2,..., n. (3) Rowiąanie ogólne równania (3) jest postaci Prkład.3 u x x u = 0. Φ(ϕ,..., ϕ n ) = 0. n a n (x, x 2,..., x n ) Rowiąanie: Znajdujem i rowi aujem układ charakterstk: = d x x = d 2 x2 = C x = C Zatem u = x jest rowiąaniem scególnm równania, a tm samm u = Φ(x ) jest rowiąaniem odólnm, gdie Φ - dowolna funkcja jednej miennej. Prkład.4 x u u + x (x2 + 2 ) u = 0. Rowiąanie: Znajdujem i rowi aujem układ charakterstk: x = d = d (x ) { = d x d d = (x ) 3

4 Z pierwsego : = d, cli ln x = ln + ln C x, skąd = C x. Podstawiając do drugiego mam : d = d ( 2 C ) = d = ( + C 2 )d = d 2 ( + C2 ) 2 = C 2, ( + C) = C 2, ( ) + x = C 2 2, x = C 2, u(x,, ) = Φ( x, x ). d ( + C 2 ) 2 Zupełnie analogicnie posukujem rowiąania rrc rędu pierwsego, liniowego niejednorodnego, tn. równania (4) a (x,..., x n ) u x + +a n (x,..., x n ) u x n = b(x,..., x n )u+c(x,..., x n ). Budujem wówcas układ charakterstk postaci a (x,..., x n ) = = n a n (x,..., x n ) = du b(x,..., x n )u + c(x,..., x n ). Dalej analogicnie jak pr równaniu jednorodnm. Podobnie, jak dla równań różnickowch wcajnch, można mówić o agadnieniu Cauch ego dla równań cąstkowch. Zagadnieniem Cauch ego nawam problem wnacenia powierchni całkowej danego równania, która prechodi pre daną gór linię w prestreni. Prkład.5 Znależć powierchnię całkową równania x u x + u = prechodącą pre linię o równaniach x = t 2, = t, u = 0. 4

5 Rowiąanie: Budujem układ charakterstk: { x = d d = du { x = C ln = u + C 2 = C 2 = ln u Φ( x, ln u) = 0 row. ogólne ln u = Ψ( x ) Korstając war. nałożonch na pow. całkową mam C = x = t2 t = t, C 2 = ln t 0 = ln t. skąd C 2 = ln C, ln u = ln x, ln ln x = u, cli u = 2 ln ln x, u = 2 ln ln x. Prkład.6 x x + =. Rowiąanie. x = d = d { = d x d = d { ln x = ln + A ln = ln + B A, B R. { x = C = C 2 C, C 2 R. { x = C = C 2 C, C 2 R. Zatem rowiąanie ogólne: gdie Φ - dowolna funkcja. Φ( x, ) = 0, 5

6 Rowiążm powżse r ownanie pr warunku = 2 dla x = : x = C = C 2 = 2 x = = 2 = C = = { = C = C 2 ( C2 C C { = C = C 2 ) 2 = C = C 2 2. Zatem ( ) x 2 = = x = 2. Uwaga, ponieważ x 2 = 0 a Φ( x, ) = 0, więc 2 Φ(x, ) = x 2. Rowiążm jesce ra nase r ownanie pr warunku x = t + = t 2 t R. = t 3 Podobnie jak poprednio: x = C = C 2 x = t + = t 2 = t 3 Stąd cli t = C 2, Ponieważ mam x = t 2 + t 3 = C C C 3 2 = C, ( ) 2 ( ) 3 x + = = x 2, x = 0, { t+ t 3 = C t 2 t 3 = C 2 = 0 a Φ( x, ) = 0, więc u nas Φ(x, ) = x