5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu y = + y = 6 y = 6 y = Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu y = 4 + 7 + 4 + + y = 4 + + 8 + y = + 4 + 8 y = 4 + 4 y IV = 4 y V =
5.9 WKLĘSŁOŚĆ, WYPUKŁOŚĆ, PKT. PRZEGIĘCIA Do prawidłowego sporządzenia wykresu ważne jest stwierdzenie, czy w dany przedziale funkcja jest wklęsła czy wypukła. W zależności od tego jak zachowują się w przedziale <a;b> pierwsza pochodna f () i druga pochodna f () funkcja f() może być. wypukła - rosnąca coraz szybciej " f f a, b a b. wklęsłą - rosnąca coraz wolniej f f " a, b a b. wypukła - malejąca coraz wolniej f f " a, b a b 4. wklęsłą - malejąca coraz szybciej " f f a, b a b Punkt przegięcia (p.p.) jest w punkcie wtedy, gdy druga pochodna funkcji w punkcie równa się zero ( f ( ) = ), oraz druga pochodna zmienia wokół tego punktu znak.
Przykład y 8 4 Zbadajmy wklęsłość i wypukłość tej funkcji oraz przegięcia. punkt y y Pierwsza pochodna nie posiada pierwiastków, więc jest zawsze dodatnia " y pierwiastkiem drugiej pochodnej jest = (- ;-,88) -,88 (-,88; +) y + y - y p.p. y= Naszkicujmy wykres dla pochodnej f () i funkcji f() + + -,88 f () - - f() 9,7 -,88
Przykład Popyt na pewne dobro wyrażony jest wzorem P 4 >, gdzie p cena - sprzedaż Zbadajmy funkcję utargu U Utarg jest iloczynem funkcji popytu p i sprzedaży U p Utarg krańcowy 4 U U " (8 ( ) 4 ) 6 Dla > U > U < wraz ze wzrostem popytu utarg rośnie coraz wolniej 56 95 U U U 4
5. ASYMPTOTY Prostą o równaniu =c nazywamy asymptotą pionową krzywej o równaniu y = f(), jeżeli przynajmniej jedna z granic jednostronnych funkcji w punkcie jest niewłaściwa. Prostą o równaniu y = a + b nazywamy asymptotą ukośną krzywej o równaniu y = f(), jeżeli a f a b f a Przykład f ( ) 4 Zbadajmy asymptotę ukośną funkcji a (4 ) 4 [ 4 b ] 4 4 4 4 4 4 ponieważ dla - również a = - i b =, więc prosta o równaniu y = - jest asymptotą (obustronną) funkcji. 5
5. REGUŁA DE LHOSPITALA Twierdzenie, które obecnie sformułujemy, zwane jest także regułą de L Hospitala. Wykorzystujemy je przy obliczaniu granic funkcji. Jeżeli jednocześnie spełnione są założenia: f f. Funkcje i są określone w pewnym sąsiedztwie g g S,,. f g lub f i g, f. istnieje granica ( właściwa lub niewłaściwa), to istnieje g również granica f i zachodzi równość g f f g g Uwagi:. Twierdzenie de L Hospitala jest także prawdziwe w przypadku granic jednostronnych i granic przy lub.. Twierdzenie de L Hospitala stosujemy bezpośrednio tylko w przypadku, gdy mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym typu. lub. Dla danej granicy możemy wielokrotnie stosować regułę de L Hospitala. 6
7 Przykład 4. H. ln H. 7 5 8 H
5. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Schemat ogólny badania funkcji Ogólne badanie własności funkcji i sporządzanie ich wykresów można wygodnie przeprowadzić wg następującego schematu: I. Wyznaczamy dziedzinę funkcji. II. Badamy, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa. III. Znajdujemy punkty przecięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. IV. Obliczamy granice funkcji na krańcach dziedziny. V. Znajdujemy asymptoty funkcji. VI. Znajdujemy punkty ekstremalne funkcji oraz przedziały monotoniczności funkcji. VII. Znajdujemy punkty przecięcia funkcji oraz przedziały wklęsłości i wypukłości. VIII. Sporządzamy tabelkę Sporządzamy wykres funkcji, wykorzystując wyniki przeprowadzonych 8