14.1. Ce ćwicenia Ćwicenie 14 WYZNACZENIE REAKCJI DYNAICZNYCH W RUCHU KUISTY Ceem ćwicenia jest doświadcane okeśenie eakcji dnamicnch wstępującch w uchu kuistm modeu gniotownika oa poównanie wników pomiaów eutatami otmanmi w obiceniach teoetcnch. 14.. pis jawiska Zjawisko wstępowania dnamicnch eakcji więów pousającch się ciał jest jednm ważniejsch pobemów p konstuowaniu masn. Reakcje takie wstępują m.in. wówcas, gd mam do cnienia uchem obotowm ciała wokół osi, któa nie jest jego osią geometcną (ciało nie jest wównoważone) oa w innm ppadku gd oś obotu ciała jest wpawdie jego osią geometcną, ae oś ta nie jest nieuchoma, ec wkonuje ównież uch obotow. Z taką stuacją mam do cnienia w uchu kuistm ciała stwnego. Właściwość ta wstępowania dnamicnch eakcji więów, któe więksają nacisk międ pousającm się ciałem a podłożem wkostwana jest w konstukcji tak wanch gniotowników, młnów służącch do odabniania niektóch substancji, na pkład ceuo, ked. Jest to jeden nieicnch ppadków, kied eakcje dnamicne wstępują jako jawisko pożądane w pacującej masnie. Badan mode doświadcan ma budowę podobną do stosowanch w pemśe gniotowników. Jego kążki pousają się uchem kuistm o pionowej osi pecesji, co powoduje wstąpienie międ nimi a podłożem dodatkowego, dnamicnego nacisku. Konstukcja stanowiska badawcego powaa pomieć wiekość tego nacisku. Dięki najomości mas, wmiaów i pędkości modeu można obicć teoetcną watość nacisku. Zmieone watości nacisku są poównwane watościami nacisku okeśonmi teoetcnie. ateia ddaktcne 14.3. pis stanowiska badawcego 14.3.1. Badan obiekt Badan mode gniotownika pokaan na s. 14.1. Kateda Dnamiki asn Rs. 14.1. ode gniotownika Auto ćwicenia A. Poka, sunki B. ianowski, edakcja: K. Januskiewic, J. Gabski
Wnacanie eakcji dnamicnch w uchu kuistm Składa się on dwóch asadnicch espołów. 1. Nieuchomej pionowej osi (5), podwiesonej a pośednictwem dnamometu (7) do obudow stoiska. Do donego końca osi amocowana jest poioma taca (3), po któej mogą pousać się kążki (1 i ). Ten układ tech eementów - dona taca jako podłoże, pionowa oś i w góe dnamomet pałąkow - stanowi odaj wagi, na któej można mieć siłę nacisku kążków na podłoże.. botowej uchomej tuei (4) nałożonej na nieuchomą oś, dwoma smetcnmi kążkami (1 i ), połąconmi tueją pegubami. Tueja wa kążkami może obacać się wokół osi pionowej dięki układowi napędowemu, łożonemu sinika (6) i dwóch pekładni: śimakowej i paskowej. Układ napędan jest sinikiem pądu stałego, któego pędkość obotowa aeż od watości napięcia asiającego ( akesu - 1 V). Użcie autotansfomatoa powaa mieniać w sposób ciągł napięcie, a tm samm pędkość obotową sinika i wescie sbkość tocenia się kążków po bieżni. 14.3.. Pąd pomiaowe i sposób wkonwania pomiaów Apaatua pomiaowa stanowiska do badań umożiwia pomia dwu wiekości: watość pędkości kątowej pecesji (ω ) układu oa ugięcie dnamometu pałąkowego (u). Pomia watości wektoa pędkości kątowej pecesji ω możiw jest dięki tac pefoowanej (9), obacającej się wa tueją wokół osi pionowej. Taca (9) ma 1 ównomienie omiesconch na obwodie otwoów. Nad tacą, nad otwoami amocowan jest cujnik optcn (1), podłącon do cęstotiwościomiea. bacająca się taca geneuje w układie pomiaowm impus, wwołane pecinaniem inii optcnej cujnika pe koejne otwo. Układ pomiaow ica i wświeta icbę impusów aejestowanch pe mienik w okeśonm casie (np. 1 sekund), p cm jeden impus odpowiada 1/1 obotu tac. Znajomość cęstotiwości, jaką otwo tac pecinają inię pomiaową cujnika, powaa na poste obicenie icb obotów tac w wbanm casie oa co a tm idie pędkości kątowej tuei w chwii pomiau. Ugięcie dnamometu u pokauje cujnik egaow (8), amocowan międ donm a gónm pałąkiem dnamometu. Cujnik mie pemiescenie spężn w osi smetii, to nac w miejscu, w któm do dnamometu podwiesona jest nieuchoma, pionowa oś stoiska doną tacą. Pomia ugięcia dokonan jako odct wskaania cujnika powaa obicć siłę obciążającą spężnę, ponieważ wceśniej układ ten ostał wcechowan i nana jest jego chaaktestka, pokaana na s. 14.. ateia ddaktcne Rs. 14.. Chaaktestka dnamometu pałąkowego Chaaktestka ta pokauje iniową aeżność międ aejestowanm pe cujnik ugięciem spężn u (na osi poiomej), a siłą w spężnie R pom (na osi pionowej). P pomiae sił diałającej na tacę, będącą podstawą wagi, naeż mieć świadomość, że pomia dotc nie całkowitej sił obciążającej tacę, a jednie jej postu międ momentem odctu i momentem, w któm weowano cujnik egaow. Jeżei eowanie cujnika odbwało się ped wpowadeniem układu w uch, wted ist- Kateda Dnamiki asn
Ćwicenie n 14 nieje możiwość pomiau włącnie postu sił pod wpłwem uchu, a więc wiekość dnamicnej eakcji nacisku. Stan pocątkowej ównowagi statcnej układu jest więc da nasego pomiau stanem eo. 14.4. Podstawowe aeżności teoetcne 14.4.1. Kinematka układu ożna auważć, że mam do cnienia e scegónm ppadkiem uchu kuistego kążków. Jeden tch kążków jest pokaan na s. 14.3. Rs. 14.3. Podstawowe onacenia i wmia Na powżsm sunku widać, że oś obotu własnego kążków jest awse poioma i obaca się w płascźnie poiomej wokół pionowej osi pecesji pędkością kątową pecesji ω. Znac to, że kąt nutacji awat międ osią pecesji a osią obotu własnego jest kątem postm (ϑ =π/) i ma watość stałą, a więc jego pochodna wgędem casu, ci pędkość kątowa nutacji jest ówna eo. Wnika tego, że wekto chwiowej pędkości kątowej ciała ω ówn jest sumie geometcnej tko dwóch wektoów: poiomego - pędkości obotu własnego ω 1 i pionowego - pędkości pecesji ω ω = ω 1 + ω. (14.1) ateia ddaktcne Kążki tocą się po nieuchomm podłożu be pośigu, atem punkt stku kążka powiechnią tac jest da kążka chwiowm śodkiem obotu, a więc punktem, pe któ pechodi chwiowa oś obotu, wchodąca e śodka uchu kuistego, punktu. Powaa to, na podstawie nanej geometii układu, okeśić kąt nachenia (α) chwiowej osi obotu do poiomu aeżności tg α =, (14.) gdie: pomień kążka, odegłość śodka kążka od osi pecesji. Ponieważ osie pecesji i obotu własnego twoą e sobą kąt post, oba wekto pędkości kątowch i ich wpadkowa, chwiowa pędkość kątowa ω (14.1), eżąca na nanm kieunku chwiowej osi obotu - twoą tójkąt postokątn. ożna łatwo obicć pędkości układu ω 1 = ω ctgα = ω, ω ω =. (14.3) sin α Wnika tego, że w uchu ustaonm pędkości układu nie aeżą od casu. Chwiowa pędkość kątowa ω ma więc stałą watość bewgędną i jest nachona do obu osi pod stałmi kątami. Jest to ppadek tw. pecesji eguanej, intepetowan ównież jako tocenie się be pośigu stożka uchomego w tm ppadku o osi poio- Kateda Dnamiki asn 3
Wnacanie eakcji dnamicnch w uchu kuistm mej i kącie wiechołkowm α po stożku nieuchomm o osi pionowej i nanm kącie wiechołkowm, w tm ppadku ównm (π-α). 14.4.. Anaia dnamiki układu Będiem posukiwać watości sił dnamicnch w casie uchu modeu kostając ównań dnamiki da ciała stwnego: ównania opisującego uch śodka mas ciała m = P, (14.4) p C twiedenia o pochodnej wektoa kętu ciała okeśonego wgędem nieuchomego bieguna d K =. (14.5) d t Posukiwane eakcje dnamicne podłoża są da modeu siłami ewnętnmi, najdą się więc po pawej stonie ównań (14.4) i (14.5). Da ich obicenia naeż okeśić ewe ston ównań pspiesenie śodka mas kążka i sbkość mian wektoa kętu kążka. Ropatwan jest uch podespołu (s. 14.4-a) łożonego kążków pousającch się uchem kuistm oa tuei napędającej wa opawą łożsk i osiami kążków pousającch się uchem obotowm wokół osi. ateia ddaktcne Rs. 14.4. Anaiowan podespół łożon kążków, osi i tuei napędającej oa bieżnia Równania dnamiki musą bć napisane oddienie da każdego ciał ub podukładów. Będą one sfomułowane w układie uchomm o wesoach i, j, k (obaca się on pędkością ω ). Jeśi posukiwanmi wiekościami są watości obu składowch eakcji podłoża N i F (N 1 i F 1 ), to koniecne jest owiąanie ównań dnamiki da: kążka, osi kążka, podukładu łożonego tuei napędającej wa opawą łożsk (e wgędu na smetię układu opatwan będie tko jeden kążków i jedna osi, wokół któej obaca się kążek). Bieżnia (s. 14.4-b), po któej tocą się kążki jest unieuchomiona (eakcja R p onaca oddiałwanie bokad obotu), a R onaca siłę oddiałwania dnamometu. Watość sił R jest sumą sił N, N 1 i G (gdie G onaca cięża bieżni). 14.4.3. Równania dnamiki da kążka Na s. 14.5 jest pedstawion jeden kążków. Zanacon jest wekto kętu i eakcje diałające na kążek w punktach (kontakt osią) i E (kontakt bieżnią). Kateda Dnamiki asn 4
Rs. 14.5. Kęt kążka (wekto K ) i jego pochodna oa obciążenia diałające na kążek Ćwicenie n 14 Pspiesenie śodka mas kążka w ppadku uchu układu e stałą pędkością kątową wnosi p = i ω + j + k. W wiąku tm ewą stona ównania (14.4) można pedstawić w fomie mpc = mp = i mω + j + k. (14.6) bciążenia ewnętne diałające na kążek są anacone na s. 14.5-b, a mianowicie: siła ciężkości G = k mg płożona w śodku ciężkości kążka (), eakcja podłoża R E = jf + k N oa eakcja w punkcie połącenia kążka osią (pjęto, że punktem, w któm ciała są połącone jest śodek mas kążka) R = ir + jr + k R i moment pa sił = i + j + k. Wekto P wstępując po pawej stonie ównania (14.4) jest okeśon jako P = G + R + R = ir + j F + R ) + k( mg + N + R ). (14.7) Z pównania (14.6) i (14.7) wnika, że: E ( ateia ddaktcne R = mω, R = F, R = mg N. (14.8) Da okeśenie ewej ston ównania (14.5) naeż wnacć kęt kążka ( K ), a następnie jego pochodną wgędem casu. Kęt kążka icon wgędem śodka uchu kuistego (punktu ) można okeśić pe t składowe K = K + K + K = ik + jk + kk, (14.9) któe w ppadku ogónm wnaca się aeżności: K K K = J ω J ω J ω, = J ω J ω J ω, = J ω J ω J ω. (14.1) Da osiowosmetcnego kążka moment dewiacjne są ówne eo (J = J = J =... = ). Z aeżności kinematcnch (14.3) wnika, że: Zatem kęt kążka okeśają wiekości: ω = ω 1 = ω, ω =, ω = ω. (14.11) K = J ω, K =, K = J ω. (14.1) Kateda Dnamiki asn 5
Wnacanie eakcji dnamicnch w uchu kuistm Kęt kążka jest wektoem eżącm w płascźnie (s. 14.5-a), któa obaca się pędkością kątową ω wokół osi. Pochodną wektoa kętu można więc wnacć aeżności i j k d K = ω K = ω = i + jωk + k = j J ω. (14.13) d t K K oment wsstkich sił ewnętnch wgędem punktu ( ) wstępując w (14.5) jest ówn = + ρ G + ρ R + ρe R E, (14.14) p cm wekto ρ i ρ E są ówne odpowiednio: ρ = i + j + k, ρ = i j f k, (14.15) gdie f jest miaą opou tocenia kążka. Stąd = i = i( + j + k + + F Nf ) + j( i j k + E mg R R R mg + R + N) + k( i j k + i f F R F). j k = N (14.16) Po podstawieniu eutatów (14.8) mam atem = i ( + F Nf ) + j + k. (14.17) Poównując ównania (14.17) i (14.13) otmuje się: + F Nf =, ateia ddaktcne 14.4.4. Równania dnamiki da osi kążka = J ω, =. (14.18) Na s.14.6 jest pokaan wekto kętu da osi kążka oa obciążenia diałające na tę oś. Z uwagi na połącenie tuei osią kążka p użciu pegubu wacowego (w punkcie D) na sunku ostała pominięta składowa momentu D ( D = ). Rs. 14.6. Pspiesenie śodka mas (wekto p K ) i kęt osi kążka ( K ) oa obciążenia diałające na oś ś kążka pousa się jednostajnm uchem obotowm wokół osi. Pspiesenie śodka osi kążka (punktu K) oa kęt i jego pochodna są odpowiednio ówne: Kateda Dnamiki asn 6
Ćwicenie n 14 d K pk = i ω b + j + k, K = i + j + k J 1ω, =, (14.19) d t gdie J 1 moment bewładności osi kążka wgędem, a b onaca współędną śodka mas pęta, p cm a + a b = =. (14.) oa Równania dnamiki da osi kążka otmane na podstawie ównań (14.4 i 14.5) mają postać: gdie m onaca masę osi kążka. m ω b = R D R, (14.1) = R D R, (14.) D 14.4.5. Równania dnamiki da tuei napędającej = R R m g (14.3) = D, (14.4) D = + R a R m gb, (14.5) D D + = R a R, (14.6) Na s. 14.7 są pedstawione obciążenia diałające na tueję napędającą połąconą opawą łożsk. Pochodą one od oddiałwania osi kążków (w punktach D i D ) oa układu napędowego (moment n ) i eakcji łożska opoowego tuei R T. Ze wgędu na smetię układu pjmuje się, że eakcje po obu stonach osi (w punktach D i D ) mają jednakowe watości (R D =R D, R D =R D, R D =R D, D = D, D = D,). Ponadto, uwagi na pegubowe połącenie tuei osią kążka ostał pominięte składowe momentu D i D ( D =, D = ). ateia ddaktcne Rs. 14.7. bciążenia diałające na układ: tueja napędająca opawa łożsk Tueja wa pmocowanmi do niej opawami łożsk osi obaca się wokół pionowej osi. Śodek mas tuei jest nieuchom (eż na osi obotu). Równania dnamiki da układu tueja napędająca opawa łożsk można napisać, podobnie jak da popednich ciał, na podstawie ównań (14.4) i (14.5). Pspiesenie śodka mas takiego układu jest ówne eo ( p = ). Kateda Dnamiki asn 7
Wnacanie eakcji dnamicnch w uchu kuistm Wstępując w ównaniu (14.4) wekto P ma w tm ppadku postać P = i + j + k ( R R G ), (14.7) T D 1 gdie G 1 = m 1 g onaca cięża tuei wa pmocowanmi do niej opawami łożsk. Stąd otmuje się ównanie = RT RD G 1. (14.8) Kęt układu tueja napędająca opawa łożsk może bć pedstawion w sposób podan woami (14.1). Z uwagi na smetię tego układu i uch, jakiego donaje (uch obotow wokół osi ) jego kęt jest wektoem o kieunku osi. W uchu ustaonm e stałą pędkością ω ( ω = const ) kęt tego układu nie uega mianie, atem d K =. (14.9) d t oment wsstkich sił ewnętnch wgędem punktu ( ) wstępując w (14.5) jest, w tm ppadku, ówn Z poównania (14.9) i (14.3) otmuje się ównanie 14.4.6. Rowiąanie ównań dnamiki n = i + j + k ( R a). (14.3) D n D D D = R a. (14.31) Wpowadone w popednich punktach ównania dnamiki da poscegónch podukładów stanowią układ 14 ównań (są to układ ównań: (14.8), (14.18), (14.1) (14.6) oa ównania (14.8) i (14.31)). Zawieają one 15 niewiadomch wiekości (R, R, R,,,, F, N, R D, R D, R D, D, D, R T, n ). Rowiąanie układu ównań będie możiwe wówcas, gd uupełnim go dodatkowm ównaniem. Zakładając, że =, (14.3) ateia ddaktcne t to jest pjmując, że nan jest moment pochodąc od sił tacia w łożsku kążka ( t ) otmuje się 15 ównań i 15 wiekości niewiadomch. Po owiąaniu ównań otmuje się siłę nacisku kążka na bieżnię (N) 1 = J ω + mg + m g, (14.33) ( a) N a także wsstkie poostałe niewiadome wiekości. Ze wgędu na dużą icbę tch wiekości ostaną pedstawione jednie niektóe nich. I tak na pkład: siła tacia pomięd kążkiem a bieżnią m f t F = J ω m + + g + a, (14.34) ( ) moment napędając układ kążków (moment obotow pochodąc od sinika pomniejson o ewentuan opó ułożskowania tuei) n m = J ω m g + + f + t. (14.35) ( a) Kateda Dnamiki asn 8
Ćwicenie n 14 Reakcja nomana N, okeśona woem (14.33), składa się dwóch cłonów, eakcji statcnej 1 G N stat = mg + m g = G +, pochodącej od sił ciężkości i eakcji dnamicnej N = dn ( a) J ω, wwołanej uchem układu i o watości popocjonanej do kwadatu pędkości kątowej pecesji. Jak wjaśniono wceśniej, w doświadceniu mieone jest obciążenie dnamometu (sił R) wwołane eakcjami wstępującmi podcas uchu modeu i dotc ono sum biźniacch eakcji (N=N 1 ), wstępującch smetcnie pod dwoma kążkami oa ciężau bieżni (sił G ) Statcne obciążenie dnamometu jest ówne R R = N + N +. (14.36) 1 + G = N G stat N stat + G = G + G + G =. (14.37) Watość teoetcna sił dnamicnej obciążającej dnamomet, atem jest ówna R ( ) ω teo = R R stat = N dn = J. a (14.38) Jak wnika aeżności (14.34) i (14.35) watości sił stcnej (F) i momentu napędającego tueję ( n ) są aeżne od opoów w łożskach kążków ( t ) oa opou tocenia (któego miaą jest f). Jednie w układie ideanm, w któm pomijam opo uchu (wted t = i f = ), aówno moment napędając jak i eakcja stcna podłoża są ówne eo ( n =, F = ). 14.5. Pebieg pomiaów Ceem ukaania udiału eakcji dnamicnej w całkowitej eakcji w piewsej koejności dokonwan jest pomia eakcji statcnej, a następnie pomia eakcji dnamicnej da kiku sbkości wiowania układu. 14.5.1. Wnacanie eakcji statcnej P wnacaniu eakcji statcnej (obdwu kążków łącnie) naeż wkonać następujące cnności: ateia ddaktcne 1. Unieść nienacnie jednoceśnie obdwa kążki i weować cujnik egaow (pe obót tac e skaą) opukując p tm ekko stoisko da skasowania uów.. puścić deikatnie kążki na tacę (wócić uwagę na kieunek obotu wskaówki cujnika egaowego). 3. dctać wskaanie cujnika i apisać ugięcie dnamometu w koumnie 8 tabei 14.1. Kateda Dnamiki asn 9
Wnacanie eakcji dnamicnch w uchu kuistm Tabea 14.1. Zestawienie pomiaów i obiceń Nume pomiau wskaanie cęstotiwościomiea Pędkość pecesji sbkość obotowa pędkość kątowa Reakcja dnamicna (łącna obdwu kążków) ekspement teoia Reakcja statcna (łącna obdwu kążków) Różnica wgędna eakcji R pom i R teo siła ugięcie ugięcie wó wó (odct dnamometu siła dnamometu (14.38) (14.39) diagamu) i f n ω u R pom R teo u R stat δ [-] [H] [ob/s] [ad/s] [1 - mm] [N] [N] [1 - mm] [N] [%] 1 3 4 5a 5b 6 7 8 9 1 1 7 6 3 5 4 14.5.. Wnacanie eakcji dnamicnej Naeż dokonać pomiaów da kiku sbkości pecesji akesu 1,5 -,5 ob/s (da obotów naastającch i maejącch). Koejność cnności jest następująca: 1. Ustaić watości sbkości obotowej, da któch będą dokonwane pomia (podieić ównomienie wspomnian wżej akes) i apisać je w koumnie 3 tabei 14.1. ateia ddaktcne. Weować cujnik egaow. 3. Spawdić c pokętło autotansfomatoa najduje się w skajnm ewm położeniu, a następnie włącć asianie autotansfomatoa, asiaca cujnika obotów i cęstotiwościomiea. 4. Da skasowania uów w układie wpowadić na chwię mode w uch (opędić do około 1 ob/s) - w tm ceu naeż obacać pokętłem autotansfomatoa w pawo, a następnie atmać układ i weować cujnik egaow. Uwaga: Zmniejsanie sbkości wiowania musi bć a każdm aem dokonwane stopniowo, ab uniknąć uskodenia pekładni śimakowej (e wgędu na jej samohamowność). 5. bacając pokętłem autotansfomatoa dopowadić mode do żądanej (apisanej wceśniej w tabei) sbkości wiowania. Naeż obsewować pe chwię wświetac cęstotiwościomiea ceem upewnienia się, że układ obaca się już e stałą sbkością (powtaane wskaania mienika). 6. Zanotować kieunek obotów pecesji (ew, paw). 7. dctać wskaanie cujnika egaowego i apisać ugięcie dnamometu w koumnie 5a (pomia p więksaniu sbkości) abo 5b (pomia p mniejsaniu sbkości) tabei 14.1. 8. Cnności opisane w punktach: 5, 6 i 7 powtóć da koejnch sbkości pecesji. Po akońceniu pomiaów włącć apaatuę oa upoądkować stoisko pomiaowe. Kateda Dnamiki asn 1
14.6. pacowanie wników i spawodanie 14.6.1. bicenia pomocnice Ćwicenie n 14 Na podstawie uskanch pomiaów ugięcia dnamometu naeż odctać diagamu mieone sił. Następnie obicć watości teoetcne eakcji oa eacje wgędne watości ekspementanch i teoetcnch. Do obiceń pjmowane są następujące dane icbowe: pomień ewnętn kążka = 56 mm (aaem odegłość punktu E stku kążka podłożem od osi waca D), odegłości pegubu wacowego D od osi pecesji a = 37,5 mm, odegłość śodka kążka od osi pecesji = 145 mm, pomieon moment bewładności kążka J = 4,35 1-3 kg m wgędem osi obotu własnego (osi geometcnej). Różnica wgędna wników pomiau i obiceń teoetcnch obicana jest następująco: 14.6.. Spawodanie W spawodaniu naeż podać: a) temat i ce ćwicenia, b) estawienie wników pomiaów i obiceń w tabei 14.1, c) pkładowe obicenia da najniżsej watości pędkości pecesji, d) obsewacje i wnioski. 14.7. Ptania spawdające Rteo Rpom δ = 1%. (14.39) R 1. Wjaśnić pochodenie teminu uch kuist ciała stwnego.. Kinematka uchu kuistego o pecesji eguanej osie uchów składowch i okład wektoa pędkości kątowej. 3. Kęt ciała stwnego wgędem bieguna ppadek ogón i możiwe uposcenia uasadnić wo 14.1. 4. Twiedenie o pochodnej wgędem casu wektoa kętu układu wgędem nieuchomego bieguna intepetacja geometcna i kinematcna. teo ateia ddaktcne Kateda Dnamiki asn 11