Część 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 2. PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH Wstęp

Transkrypt

1 Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1.. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH.1. Wstęp Na wstępie prpomnijm, że gd premiescenie danego eementu jest funkcją diałającej nań sił Δ = f(p), to praca sił na tm premiesceniu jest równa: L= 1 P (.1) W prekroju pręta obciążonego siłami ewnętrnmi wstępują naprężenia normane σ, o rokładie jak na poniżsch wkresach. σ1 σn σg x hg = + x hd σ σn σd (σ) (σn) naprężenia stałe (σm) naprężenia mienne na wsokości prekroju Rs..1. Naprężenia normane w prekroju pręta obciążonego siłami ewnętrnmi Pocniono ałożenia dotcące pręta: materiał pręta jest jednorodn, iotropow, pręt jest prmatcn (prostoiniow o stałm prekroju), rokład materiału w pręcie jest ciągł. Zgodnie asadą superpocji skutków możem stwierdić, że wkres naprężeń normanch σ jest sumą dwóch składowch: σ N naprężenia normanego od sił podłużnej i σ M naprężenia normanego od momentów ginającch. Układam proporcje: h g g = d d = h g g 1 = N g = N d

2 Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 1 = d g 1 = h g g = g g 1 h g którch otrmujem wor: g =h g 1 h g d = 1 h g N = 1 d = 1 h g 1 h g = 1 h g h g.. Praca sił normanch Siła normana (podłużna) N, to agebraicna suma rutów wsstkich sił diałającch po jednej stronie prekroju na kierunek osi pręta. Znakowanie sił normanej siłę normaną prjmujem jako dodatnią (N>0), wted gd powoduje ona rociąganie pręta. N > 0 N < 0 rociąganie ściskanie Rs... Zasada nakowania sił normanch Diałanie sił podłużnej w pręcie powoduje powstanie w dowonm prekroju prostopadłm do osi pręta, dostatecnie odegłm od punktu prłożenia sił (asada de Saint-Venanta) naprężeń normanch. Tak więc siła normana N, to inacej suma naprężeń normanch na powierchni całego prekroju: N = N d (.)

3 Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 3 N σn - naprężenia równomiernie rołożone Rs..3. Rokład naprężeń w pręcie rociąganm Ponieważ σ N jest stałe na powierchni całego prekroju, to: N = N d= N (.3) N = N (.4) Skutkiem diałania sił normanej jest odkstałcenie pręta, prejawiające się w premiesceniu prekrojów wdłuż kierunku diałania sił. Prekroje pręta po odkstałceniu poostają płaskie i prostopadłe do jego osi. Jeżei wtniem mśowo odcinek pręta o długości (dx), to pod wpłwem diałania sił N wdłuż się on o odcinek Δ. Zaeżność ficną pomięd odkstałceniem ε i naprężeniem σ ostała sformułowana pre Hooke'a odkstałcenie jest wprost proporcjonane do naprężenia, które je spowodowało: = 1 (.5) E gdie E to moduł Younga. Poa tm odkstałcenie pręta jest równe wdłużeniu wgędnemu (prrost długości Δ do długości ): = (.6) Korstając aeżności (.4) i (.6) ora prawa Hooke'a można apisać: N = N =E N N =E

4 Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 4 N =E = N (.7) E Praca sił normanej w prekroju (cęść prac wkonanej na odcinku ): dl N = 1 N = 1 N N E =1 N (.8) E Całkowita praca L N sił normanej w pręcie o długości : L N = 1 0 N (.9) E pr dowonm rokładie sił normanch, gd N jest funkcją długości: L N = 1 0 N x dx (.10) E.3. Praca momentów ginającch Moment ginając w dowonm prekroju pręta jest równ sumie momentów od wsstkich sił diałającch na cęść pręta oddieoną tm prekrojem, poiconch wgędem środka tego prekroju. M = M d (.11) Moment ginające nakuje się umownie: moment prjmujem jako dodatni, gd rociąga done włókna. M > 0 M < 0 Rs..5. Zasada nakowania momentów ginającch

5 Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 5 M d x σm Rs..6. Moment ginając i naprężenia w prekroju pręta Mówim, że pręt jest poddawan cstemu ginaniu, gd prekroje donają tko obrotów (prawo płaskich prekrojów), a włókna pręta eżące na osi ciężkości nie uegają wdłużeniu. Naprężenia powstałe od momentu ginającego powodują ściskanie cęści włókien i rociąganie poostałch. σg - ściskanie h hg hd σ M x σd - rociąganie Rs..7. Naprężenia w pręcie ginanm Korstając aeżności geometrcnch (twierdenie Taesa) otrmujem: d = = d (.1) atem możem apisać: M = d d (.13) daej po włąceniu stałch pred nak całkowania:

6 Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 6 M = d d, (.14) gdie d to moment bewładności wgędem osi, któr onacam smboem J. Wobec tego: M = d J = J = M J, (.15) Wcinek pręta o długości podega cstemu ginaniu. biegun chwiowego obrotu dφ ρ promień krwin ρ = dφ dφ Δ d Δ d Rs..8. Cste ginanie wcinka pręta Zgodnie rs..8 układam proporcje: d = d d = d = (.16) naogicnie jak w prpadku diałania sił normanej aeżność pomięd odkstałceniem, a wdłużeniem jest następująca: M = = M (.17) Potawiając powżse równanie do aeżności (.16) i korstając prawa Hooke'a M = / E otrmujem wór na mianę kąta pr cstm ginaniu:

7 Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 7 d = M = E d = M E J (.18) Eement prac (wkonan na odcinku ) momentu ginającego diałającego na obrocie wnosi: dl M = 1 1 M d = M (.19) EJ Całkowita praca momentu ginającego w pręcie o długości : L M = 1 0 M EJ (.0) gd moment jest funkcją długości: L M = 1 0 M x EJ dx (.1) Jeżei ρ to promień krwin, a d = M EJ, to na potawie aeżności (.16) otrmuje się: d = 1 = = M EJ (.) gdie χ to odwrotność promienia krwin..4. Praca sił poprecnch Siła poprecna (tnąca) T, to agebraicna suma rutów wsstkich sił diałającch po jednej stronie prekroju, na kierunek prostopadł do osi pręta. Zasada nakowania siłę poprecną prjmujem jako dodatnią, gd obraca ona odciętą pre prekrój ceść pręta w prawo (godnie ruchem wskaówek egara). Innmi słow siła poprecna T x to suma wsstkich naprężeń stcnch τ x na powierchni całego prekroju.

8 Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 8 T x = x d x = T x S J b (.3) b() - serokość prekroju w odegłości od osi obojętnej, J - moment bewładności wgędem osi da całego prekroju, S () - moment statcn cęści prekroju poa współrędną wgędem osi obojętnej, Indeks pierws onaca płascnę, na której diała siła T, natomiast drugi, kierunek jej diałania. x τ x γx dh = ΔT d b() kąt odkstałcenia γx postaciowego Rs..9. Odkstałcenia spowodowane diałaniem sił poprecnej Ropatrujem eementarną (nieskońcenie małą) pracę wkonaną na powierchni sprowadonej do punktu (poe d) i na długości wcinka (dx). Praca tak jak poprednio wkonana jest na długości eementu, jednak tm raem ropatrujem pracę ograniconą do powierchni d, stąd rąd różnicki rośnie. d 3 L T = 1 dt T (.4) uwgędniając = G : d 3 L T = 1 x d x = 1 dt = x d T x S J b T x S J b 1 G d d 3 L T = 1 T =T x T G J S b d po dwukrotnm scałkowaniu po pou :

9 Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 9 dl T = 1 T G S J b d = J S d (.5) b gdie κ to współcnnik ścinania. W nawiąaniu do poprednich rodiałów (praca sił: N i M), pre anaogię wrażenie dlt można interpretować jako pracę sił poprecnej na uśrednionm premiesceniu wwołanm odkstałceniem postaciowm. dl T = 1 T T G = 1 T śr T G = śr G = śr (.6) gdie śr to uśrednione odkstałcenie. Całkowita praca sił tnącch na długości pręta uwgędnieniem współcnnika ścinania: L T = 1 0 T (.7) G gd siła T mienia się na długości pręta: L T = 1 0 T x dx (.8) G.5. Poumowanie praca sił wewnętrnch Prrost prac wwołan pre sił wewnętrne na premiesceniach pre siebie wwołanca wcinka dx wnosi: dl T = 1 F dl T = 1 F dx (.9)

10 Cęść 1. PRC SIŁ WEWNĘTRZNYCH 10 F - siła uogóniona, Δ - premiescenie uogónione, gdie: δ uogónione odkstałcenie. Δ = δ dx F x = { N x M x T x = dx={ N = N dx M =d = dx T = śr dx (.30) Odkstałcenia: - iniowe = N E - kątowe = M EJ - postaciowe śr = T G Da pręta całkowita praca sił wewnętrnch jest sumą prac wsstkich sił w pręcie: L W = 1 0 M x dx 1 EJ 0 N x E dx 1 0 T x dx (.31) G