KOOF Szczecin: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej. Andrzej Wysmołek Komitet Główny Olimpiady Fizycznej, IFD UW.

Transkrypt

1 LVII OLIMPIADA FIZYCZNA (007/008). Stopień III, zadanie doświadczalne D Źódło: Auto: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej. Andzej Wysmołek Komitet Główny Olimpiady Fizycznej, IFD UW. Wyznaczanie współczynnika lepkości miodu. Mechanika siła, lepkość, tacie, współczynnik, moment, uch, obót, okes, pędkość, kątowa, ciecz, ciężaek, soczewka Zadanie doświadczalne D, zawody III stopnia, LVII OF. Masz do dyspozycji: soczewkę dwuwypukłą o identycznych pomieniach kzywizny wynoszących R = 65 mm, płaską szklaną płytkę, kawałek uki plastikowej, nitkę, 3 ciężaki o masie (4,6 ± 0,) g każdy, stope, dwustonną taśmę klejącą, plastelinę, dwie szklane pobówki, papie milimetowy, linijkę, płynny miód z łyżeczką do nabieania go z naczynia. Wyznacz współczynnik lepkości miodu. Uwaga: Współczynnik lepkości cieczy η można zdefiniować popzez wzó wiążący siłę F potzebną do podtzymania jednostajnego uchu płytki nakywającej wastwę cieczy o niewielkiej (w poównaniu z ozmiaami płytki) gubości. Jeśli pędkość płytki jest niewielka, to można uznać, że pędkość v(x) cieczy maleje liniowo ze wzostem odległości x od płytki (patz ysunek) i zachodzi związek: F v = η 0 S d gdzie S powiezchnia płytki, v 0 pędkość płytki, d gubość wastwy cieczy. v 0 F x v(x) ciecz d /7

2 Rozwiązanie Część teoetyczna Rozwiązanie zadania wymaga zbudowania układu ekspeymentalnego, w któym można byłoby badać jednostajny uch jakiegoś pzedmiotu pzylegającego do wastewki miodu. Taki waunek spełnia układ pzedstawiony schematycznie na ys.. Układ zestawić można w następujący sposób. Używając dwustonnej taśmy klejącej do soczewki mocujemy centycznie ukę plastikową. Na ukę nawijamy nitkę, z pzymocowanymi na dwóch końcach ciężakami. Płytkę szklaną kładziemy na stole tak, aby jej część o długości kilku centymetów wystawała poza kawędź stołu. Następnie na śodek wystającej poza kawędź stołu części płytki nakładamy niewielką ilość miodu i umieszczamy w nim centalnie soczewkę. Dociskamy soczewkę do powiezchni płytki. Na bzegach płytki mocujemy pzy użyciu plasteliny plastikowe kołki i pzeciągamy pzez nie końce nitki z ciężakami. Zwisające ciężaki naciągają końce nitki i powodują, że soczewka zaczyna się obacać. W chwili, gdy ustali się ównowaga pomiędzy momentem siły ciężkości i momentem siły lepkości oaz opoami uchu wynikającymi z tacia nitki o powiezchnie pobówek, ciężaki zaczynają pouszać się uchem jednostajnym. Najtudniejszy element ozwiązania zadania polega na znalezieniu związku pomiędzy pędkością obotową soczewki a watością współczynnika lepkości miodu. plastikowy walec pobówka soczewka płytka szklana nitka ciężaek ciężaek Rys. Załóżmy, że potafimy tak ufomować miód pod soczewką, że zajmie on wnętze koła o pomieniu m. Pędkość kątowa soczewki ω ustala się w waunkach, gdy moment sił lepkości miodu jest ówny momentowi siły ciężkości pomniejszonej o siłę tacia nitek o powiezchnię pobówek: M c = mgr k F T, () gdzie R k pomień uki pzyklejonej do soczewki, m masa obciążnika, g pzyspieszenie ziemskie, F T siła tacia nitki o pobówkę. Żeby znaleźć wyażenie na moment sił lepkości działający na soczewkę, podzielmy w myśli obsza miodu na pieścienie o pomieniu i niewielkiej szeokości Δ. /7

3 R R k d Δ m Rys. Gubość wastwy miodu d w odległości od osi obotu jest okeślona związkiem (patz ys. ): ( R d) + = R, co można zapisać w postaci (R + d) d =. Ponieważ w ozważanej sytuacji spełniony jest waunek R >> d, to po lewej stonie ównania (3) możemy pominąć d w nawiasie i otzymujemy: () (3) d = (4) R Pzyczynek ΔF do siły opou tacia lepkiego pomiędzy miodem i soczewką dla ozważanego pieścienia wyniesie więc: v 0 ω RΔSω ΔF = ηδs = ηδs R = η, (5) d zaś moment siły lepkości względem osi obotu: RΔSω ΔM = ΔF = = η R ΔSω (6) Wato zauważyć, że pzyczynek do momentu siły lepkości pochodzący od pieścienia nie zależy od jego śednicy! Zatem sumayczny moment sił lepkości zależy tylko od całkowitej powiezchni wastwy miodu S = π i wyniesie: M = η RS ω = η R π mω. (7) Z poównania wyażeń () oaz (7) wynika, że w sytuacji gdy mamy do czynienia z jednostajnym obotem soczewki zachodzi związek: η R π mω = ( mg F ) R T k. (8) 3/7

4 Pędkość kątową soczewki ω = π/t można wyznaczyć mieząc okes jej obotu T. Rozważmy najpiew sytuację, gdy siły tacia nitki o powiezchnie pobówek są znikomo małe. Wtedy związek (8) można pzedstawić w postaci: 4π η R T = m. (9) mgr Zatem okes obotu soczewki powinien być liniową funkcją kwadatu pomienia obszau miodu stykającego się z soczewką: T = α m, (0) π R gdzie α = η. mgr k Po wykonaniu pomiaów czasu obotu soczewki dla kilku óżnych ilości miodu pod soczewką wystaczy więc spoządzić wykes zależności T ( m ) i następnie po dopasowaniu postej wyznaczyć współczynnik lepkości η. Dyskusją wpływu sił tacia na uzyskane wyniki zajmiemy w części doświadczalnej. Część doświadczalna Pomiay wykonano w układzie pzedstawionym na ys.. Okes obotu soczewki, dla kilku dla óżnych wielkości powiezchni zajmowanych pzez miód pod soczewką, wyznaczono mieząc stopeem czas pełnego obotu soczewki. Pomień uki oaz ozmiay obszau zajmowanego pzez miód można zmiezyć pzy użyciu linijki. Wielkość plamy miodu można wyznaczyć patząc na miód z boku. Uzyskane, wyniki pomiaów zostały pzedstawione na ys k α=(0,33±0,05) s/mm T(s) Rys. 3 (mm ) Z dopasowania postej do danych doświadczalnych uzyskano watość współczynnika α = (33 ± 5) 0-3 s/mm -. Bioąc pod uwagę, że pomień kzywizny soczewki wynosił R = 65 mm, masa ciężaka m = (4,6 ± 0,) g, pomień kążka R k = (4,0 ± 0,5) mm otzymujemy: η = k mgr α = (3 ± 7) Pa s. Jak to już podkeślano w części teoetycznej w pzedstawionym ozwiązaniu pzyjęto, że siła tacia nitki o powiezchnię pobówki jest π R niewielka 4/7

5 i pominięto ją w achunkach. Tak uczyniła większość ozwiązujących zadanie. Założenie to powadzi jednak do istotnego zawyżenia uzyskanej watości lepkości. Wielkość siły tacia można oszacować badając uch ciężaków pzewieszonych na pobówkach (ys. 4). Do jednego z końców nitki dowiązujemy dodatkowy ciężaek i miezymy stopeem czas w jakim ciężaki pokonują odległość h (można odmiezyć ją nitką, a następnie zmiezyć długość kawałka nitki linijką). Dla odległości h = (60 ± ) cm, uzyskano czas (3,5 ± 0,5) s. Co daje watość pzyspieszenia a = h/t = (0,3 ± 0,04) m/s. Tak małe pzyspieszenie uzyskiwane pzez ciężaki sugeuje, że watość całkowitej siły tacia w układzie jest badzo bliska ciężaowi jednego obciążnika. Można to spawdzić dokładniej. N N F T F T N N 3 N h mg mg Równania opisujące uch układu mają postać: ma = mg N N = N FT N3 = N FT ma = N3 mg Rys. 4 Stąd po wyeliminowaniu naciągu nitek dostajemy: co można zapisać w postaci 3ma = mg (F T + F T ), () 3a F T. + FT = mg () g Po podstawieniu watości pzyspieszenia a uzyskanego w doświadczeniu uzyskujemy watość siły tacia (0,950 ± 0,006) mg (czyli zgodnie z wnioskiem jakościowym). Jeśli pzyjąć, że watość siły tacia nitki o pobówkę jest zbliżona do uzyskanej powyżej, to efektywny moment siły powodującej obót soczewki wyniesie ( mg F ) R k mgr. Oznacza to, że watość T k 5/7

6 współczynnika lepkości miodu będzie o połowę mniejsza od watości uzyskanej na podstawie wzou (9). Takie uposzczone ozumowanie nie uwzględnia jednak tego, że watość siła tacia nitki o pobówkę pzy obciążeniu dwoma ciężakami óżni od siły działającej podczas pomiau okesu obotu soczewki umieszczonej w miodzie. Żeby uwzględnić wpływ siły tacia na uzyskaną watość współczynnika lepkości należy wyznaczyć współczynnik tacia nitki o pobówkę (lub jego funkcję). Najpościej można to zobić wykozystując fakt, że siła tacia nitki o pobówkę jest popocjonalna do siły napięcia nici, tzn. że F T = β N, F T = β N. (3) (Było to pzedmiotem zadań olimpijskich.) Kozystając ze związków (3) naciągi nici możemy wyazić jako funkcję siły naciągu N : N = N F T = N ( β ), (4) N 3 = N F T = N β N = N ( β ) = N ( β ). (5) Stąd: N ( N Z ównań Newtona dla ciężaków otzymujemy wyażenia na siły naciągu nitki: Zatem 3 β ) =. (6) N = mg ma oaz N 3 = mg + ma. (7) N3 mg + ma ( β ) = = N ( mg ma), (8) + a / g β =. (9) ( a / g) Znając watość pzyspieszenia ciężaków a = (0,3 ± 0,04) m/s wyznaczoną w doświadczeniu otzymujemy współczynnik β = (0,8 ± 0,003). (W sytuacji, gdy pzyspieszenie jest niewielkie w poównaniu z pzyspieszeniem ziemskim g, współczynnik β / ). Znając watość współczynnika β możemy znaleźć watość siły naciągu nitki powodującej obót soczewki: N = mg F T = mg β mg = mg( β ), co daje liczbowo N = (0,78 ± 0,00) mg. Tak więc pawidłowe uwzględnienie siły tacia powoduje, że wyznaczony w doświadczeniu współczynnik lepkości miodu uzyskuje watość η = (6,5 ± 5,0) Pa s. Jeśli w doświadczeniu uwzględniony został wpływ siły tacia nitki o pobówkę, to głównym czynnikiem wpływającymi niepewność pomiaową współczynnika lepkości, jest niepewność wyznaczenia pomienia obszau zajmowanego pzez miód pod soczewką. Poponowana punktacja. Pomysł doświadczenia umożliwiającego wyznaczenie współczynnika lepkości miodu.. Wypowadzenie związku pomiędzy czasem obotu soczewki i współczynnikiem lepkości (wzoy 0, za uwzględnienie siły tacia pkt.) 3. Zestawienie układu pomiaowego i wykonanie pomiaów umożliwiających wyznaczenie współczynnika lepkości miodu do 5pkt. do 5pkt. do 5pkt. 6/7

7 4. Podanie popawnego wyniku końcowego waz z oszacowaniem niepewności pomiaowej i dyskusją podstawowych źódeł niepewności pomiaowej wyniku końcowego do pkt. 5. Dyskusja wpływu siły tacia na uzyskany wynik do 3 pkt. 7/7