Ruch jednostajny po okęgu W uchu jednostajnym po okęgu pędkość punktu mateialnego jest stała co do watości ale zmienia się jej kieunek. Kieunek pędkości jest zawsze styczny do okęgu będącego toem. Watość pędkości jest stosunkiem dogi do czasu potzebnego na pokonanie tej dogi. Położenie punktu wygodnie jest okeślać popzez zakeślony pzez niego kąt ϕ. Wpowadza się też pojęcie pędkości kątowej ω jako stosunek kąta zakeślonego w jednostce czasu. Jednostką pędkości kątowej jest adian na sekundę. Gdy pędkość kątowa jest stała to można wyazić ją popzez tzw. okes obotu T, czyli czas potzebny na wykonanie pełnego obotu, któemu odpowiada doga π. Liczbę obotów wykonanych w ciągu jednostki czasu nazywamy częstotliwością. Jest ona odwotnością okesu T. Jednostką częstotliwości jest hec czyli odwotność sekundy. y R ϕ v ϕ ω = t ω = π T 1 ν = T ω = πν x
Była sztywna Opis uchu ciała jako uchu punktu mateialnego, w któym pomija się ozmiay ciał, może być zbytnim uposzczeniem. Pzykładem jest uch obotowy Ziemi, bądź odkształcenie ciała wykonanego z elastycznego mateiału. Ziemię w uchu dookoła Słońca można w pzybliżeniu taktować jak punkt mateialny, ale ozważając obót Ziemi dookoła jej osi takie podejście taci sens. Wpowadza się pojęcie były sztywnej. Byłą sztywną nazywamy takie ciało, któego części pozostają w niezmiennej wzajemnej odległości, niezależnie od sił działających na to ciało. Jest to wciąż uposzczenie ale stosowane gdy można zaniedbać odkształcenia ciała. Była sztywna nie odkształca się ale może się obacać.
Równowaga były sztywnej Waunkiem ównowagi punktu mateialnego jest ównoważenie się sił działających na niego. ΣF i = 0 W pzypadku były sztywnej jest to waunek niewystaczający. Dwie ówne i pzeciwnie skieowane siły działające na byłę sztywną ównoważą się. Ale gdy zaczepione są w óżnych punktach ciała to może się ono pod ich wpływem obacać. F -F Wpowadza się więc dodatkowe pojęcie: moment siły.
Moment siły Momentem sił nazywamy iloczyn wektoowy amienia i wektoa siły. moment siły: M def = F M F Moment siły okeśla się względem wybanego punktu. Ramieniem siły względem okeślonego punktu nazywamy wekto o początku w tym punkcie i końcu w punkcie pzyłożenia siły. Wymiaem momentu siły jest Nm (niuton azy met). W szczególnym pzypadku gdy siła jest postopadła do amienia to: M = F
Moment siły cd. Jeśli na byłę działa więcej niż jeden moment siły to wypadkowy moment jest wektoową sumą momentów składowych. Waunkiem ównowagi były sztywnej jest ównoważenie się sił oaz momentów sił. -F M 1 F W powyższym pzykładzie (tzw. paa sił) siły odejmują się mając pzeciwne kieunki i ciało nie pzemieszcza się w pzestzeni. Ale odpowiadające im momenty sił dodają się powodując obót ciała.
Pzykład dźwignia dwustonna F 1 F siła podpacia; nie wpływa na obót dźwigni F F 1 Waunek ównowagi ze względu na obót względem punktu podpacia dźwigni dwustonnej: = 1F1 F A ogólnie: Σ = 0 M i
Ruch były sztywnej uch postępowy (tanslacja) obotowy (otacja) 0' 0 np. toczenie bez poślizgu
Opis uchu były sztywnej Ruch były sztywnej względem dowolnego układu odniesienia może być; a. uchem postępowym (bez obotu) b. uchem obotowym względem ustalonej osi obotu c. w ogólności uch może być złożeniem uchu postępowego i obotowego, a oś obotu może w takcie uchu zmieniać się. Ruch postępowy opisujemy wykozystując pojęcia: wektoa wodzącego, pędkości chwilowej i pzyspieszenia. Natomiast uch obotowy opisujemy za pomocą pojęć: kąta obotu ϕ i pędkości kątowej ω. ω Zachodzi związek: v = ω R ω 0
Pzykład Opis uchu nie jest jednoznaczny, zależy od układu odniesienia względem któego go opisujemy. Również ozłożenie uchu były sztywnej na uch postępowy i obotowy może być óżne. Pzykładowo toczenie się walca po powiezchni bez poślizgu można ozpatzeć na tzy sposoby: a. W układzie związanym z osią obotu mamy do czynienia z jednostajnym (ω = const) uchem obotowym. b. W układzie związanym z podłożem mamy do czynienia z jednostajnym (ω = const) uchem obotowym oaz pzemieszczaniem się osi obotu ównolegle do podłoża z pędkością v = ωr (R pomień walca)
c. Względem układu związanego z podłożem można opisać powyższy uch ównież jako wyłącznie obotowy. Mamy wówczas obót dookoła chwilowej osi pokywającej się z aktualnym odcinkiem styczności walca z podłożem:
Enegia kinetyczna ciała sztywnego W uchu postępowym były enegia kinetyczna wyaża się podobnie jak enegia kinetyczna punktu mateialnego. E = 1 k mv c Gdzie m to masa były a v c to pędkość uchu postępowego (pędkość śodka masy). W pzypadku uchu obotowego óżne punkty były pouszają się z óżnymi pędkościami. Do okeślenia enegii kinetycznej w tym uchu wpowadza się wielkość zwaną momentem bezwładności.
Moment bezwładności Tak jak w uchu postępowym bezwładność były można schaakteyzować masą, tak w uchu obotowym względem okeślonej osi byłę chaakteyzuje się wielkością zwaną momentem bezwładności (względem okeślonej osi obotu). I def = mii i gdzie i to odległość m i od osi obotu. Im większy moment bezwładności tym tudniej zmienić uch obotowy były (zmienić jej pędkość kątową). Moment bezwładności jest tym większy, im dalej od osi jest ozłożona masa ciała.
Momenty bezwładności kula: I = mr 5 tacza: I = mr tacza: pęt: mr I = 4 ml I = 1
Twiedzenie Steinea I = Ic + mr Jeżeli znany jest moment bezwładności I c względem osi pzechodzącej pzez śodek masy były sztywnej to można znaleźć moment bezwładności tej były względem dowolnej, ównoległej osi leżącej w odległości R.
Enegia kinetyczna ciała sztywnego Enegię kinetyczną uchu obotowego można okeślić jako: E k = 1 Iω W ogólności enegia kinetyczna były jest sumą enegii związanej z uchem postępowym i uchem obotowym, 1 E k Ic + = ω 1 mv c v c to pędkość śodka masy a I c to moment bezwładności względem osi obotu.
Moment pędu W dynamice punktu mateialnego ważną olę odgywa zasada zachowania pędu. W opisie uchu obotowego można zdefiniować podobną wielkość zwaną momentem pędu, któa wiążę się z ównie ważną zasadą zachowania. Momentem pędu punktu mateialnego względem okeślonego punktu w pzestzeni nazywamy wekto: M J def = Momentem pędu były sztywnej nazwiemy sumę momentów pędu poszczególnych punktów składających się na byłę. Zasada zachowania momentu pędu: jeśli na ciało nie działają z zewnątz żadne momenty sił, lub gdy się one ównoważą, to moment pędu ciała jest niezmienny w czasie. p = 0 = const = zewn M J i i
pzykłady J d J J = = p = mv sinαα mvd J R p p α J = mvr
Moment pędu cd Jeżeli mamy do czynienia z obotem dookoła ustalonej osi to moment pędu były wyaża się: J = I ω Wynika to z tego, że mimo, że choć óżne punkty były sztywnej mają óżną pędkością to wszystkie one chaakteyzują się tą samą pędkością kątową. Zasadę zachowania momentu pędu można więc wyazić jako: Iω = const Pzykładowo jeśli zmniejszy się moment bezwładności obiektu to musi on obacać się z większą pędkością kątową. Ponieważ jest to pawo wektoowe, to jeśli suma momentów sił jest ówna zeo, oś obotu ma niezmienną oientację w pzestzeni.
Zadanie 1. Pzekładnia oweowa połączona jest z tybem tylnego koła za pomocą łańcucha. Koło zębate pzekładni ma 54 zęby a koło tybu tylnego koła 9 zębów. Pomień koła wynosi = 36 cm a pzekładnia obaca się z częstotliwością ν = 5 1/s. Z jaką pędkością jedzie owe. Dane: = 36 cm 1 ν = 0,5 s n1 = 54 n = 18 Szukane: v =?
Rozwiązanie: Częstotliwość obotu tybu tylnego koła wynosi: ν = n n 1 ν Okes obotu tybu waz z tylnym kołem wynosi : Pędkość oweu: π v = T T = 1 ν = πν = π n n 1 ν Odpowiedź: v = 3,4 m/s = 1, km/h
Zadanie Oblicz pzyspieszenie, z jakim stacza się po ówni pochyłej o kącie nachylenia α pieścień o pomieniu i masie m. Pzyjmij, że gubość pieścienia jest mała w poównaniu z. Pzyjmij też, że nie ma poślizgu ani ozpaszania enegii. Rozwiązanie Z zasady zachowania enegii początkowa enegia potencjalna mgh zamienia się podczas staczania na enegię kinetyczną uchu postępowego oaz enegię kinetyczną uchu obotowego wokół osi pzechodzącej pzez śodek masy. mv Iω mgh = + Moment bezwładności pieścienia względem osi pzechodzącej pzez śodek i postopadłej do płaszczyzny pieścienia wynosi: I = m
Mamy też związki: ω = v h = l sinα Stąd: W uchu jednostajnie pzyspieszonym: gl sinα = v = at at s = v = as v Ostatecznie: a = g sinα Jest to dwa azy mniej niż w pzypadku ześlizgiwania się bez tacia. Wówczas zeuje się bowiem enegia kinetyczna uchu obotowego.
Zadania do samodzielnego ozwiązania Zad.1 Pzyjmując, że obitą Ziemi w jej uchu dookoła Słońca jest okąg o pomieniu R = 1,5 10 11 m oblicz liniową pędkość Ziemi. Zad. Oblicz pędkość liniową punktu na ówniku ziemskim podczas dobowego uchu obotowego wokół własnej osi. Pomień Ziemi pzyjmij jako R = 6370 km. Zad. 3 Oblicz moment bezwładności hantli składającej się z cienkiego pęta o długości l i z dwóch kul o masach m i pomieniach względem obu osi symetii układu. Zad. 4 Jednoodna kula o masie m i momencie bezwładności I toczy się bez poślizgu z pędkością v. Oblicz moment pędu kuli względem jej śodka. Zad. 5 Dwa kążki o momentach bezwładności I 1 i I obacają się wokół wspólnej osi z pędkościami kątowymi ω 1 i ω. W pewnej chwili góny kążek spada na dolny i pzylepia się do niego. Z jaką pędkością kątową obaca się powstały układ? O ile zmalała enegia kinetyczna układu?
Zad. 6 Jaki musi być współczynnik tacia, aby klocek pod działaniem siły mógł się pzesuwać bez pzewacania. Zad.7 Jednoodny pęt o długości a i masie m zawieszono za końce poziomo na dwóch pionowych sznukach. Do pęta pzyczepiono cięża m w jednej czwatej długości pęta. Znaleźć siłę naciągu każdego ze sznuków. Zad. 8 Oblicz czas staczania się kuli i walca z ówni pochyłej o długości l i kącie nachylenia α jeśli oba ciała puszczono z ówni z zeową pędkością początkową.