Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki

Transkrypt

1 Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki I. Zasada bezwładności Gdy działające siły równoważą się ciało fizyczne pozostaje w spoczynku lubporusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością. II. Zasada działających niezrównoważonych sił Gdy działające siły nie równoważą się ciało fizyczne porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do siły wypadkowej. III. Zasada akcji - reakcji Oddziaływanie pomiędzy dwoma układami jest zawsze wzajemne. Jeśli ciało A oddziałuje na ciało B pewną siłą to ciało B oddziałuje na A taką samą siłą przeciwnie skierowaną.

2 I. Zasada bezwładności Gdy działające siły równoważą się ciało fizyczne pozostaje w spoczynku lubporusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością.

3 II. Zasada działających niezrównoważonych sił Gdy działające siły nie równoważą się ciało fizyczne porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do siły wypadkowej. W F W = P W F W = m a F W = m dv/dt F W F W = m d r/dt P

4 Równanie ruchu F W = m d r/dt Warunki początkowe: r(t=t 0 ) = r 0 r 0 v 0 v(t=t 0 ) = v 0

5 III. Zasada akcji - reakcji Oddziaływanie pomiędzy dwoma układami jest zawsze wzajemne. Jeśli ciało A oddziałuje na ciało B pewną siłą to ciało B oddziałuje na A taką samą siłą przeciwnie skierowaną. v = v 1 v = v 0 v = 0 F - F v = v

6 Pęd i energia kinetyczna punktu materialnego p m v E 1 m 1 m ( v v) v

7 Inna postać równania ruchu F W = m d r/dt = m dv/dt =d(mv)/dt F W = dp/dt Warunki początkowe: r(t=t 0 ) = r 0 p(t=t 0 ) = p 0 Zasada zachowania pędu F W = 0 => dp/dt = 0 => p = const Zasada zachowania energii kinetycznej v = const => E K = const

8 Ruch punktu materialnego po okręgu r v F Moment pędu K = r p Moment bezwładności I = m r Moment siły M = r F

9 Ruch punktu materialnego po okręgu r Moment pędu K = I Energia kinetyczna E K 1 I s - przemieszczenie kątowe d - nieskończenie małe przemieszczenie kątowe d/dt = - prędkość kątowa d/dt = α przyspieszenie kątowe dr = r d v = r a = r α

10 Równanie ruchu obrotowego M W = I d α/dt M W = I d/dt = d(i )/dt M W = dk/dt Zasada zachowania momentu pędu M W = 0 => dk/dt = 0 => K = const => I = const

11 Układ punktów materialnych m m 3 r r 3 r C Środek masy układu m1 r1 m r m3 r3 m4 r m m m m m 1 r C m 4 Pęd całkowity układu r 1 r 4 p C = p 1 + p + p 3 + p 4 Energia kinetyczna układu E całk = E 1 + E + E 3 + E 4 Zasada zachowania pędu F zewn = 0 => dp C /dt = 0 => p C = const

12 Ruch obrotowy układu punktów materialnych Moment bezwładności I = m 1 r 1 + m r r 1 r m1 m Całkowity moment pędu układu K całk = K 1 + K Zasada zachowania momentu pędu M zewn = 0 => dk C /dt = 0 => K C = const M zewn = 0 => K C = const => I 1 1 = I I 1 < I => 1 > 1 I 1 I

13 Bryła sztywna Definicja bryły sztywnej: Ciało fizyczne w którym dowolne dwa punkty nie zmieniają wzajemnego położenia nawet pod działaniem nieskończenie dużych sił zewnętrznych.

14 Środek masy bryły sztywnej y dm r z x r C V V r dm dm r C N i1 N i1 r i dm dm i i

15 Środek masy bryły sztywnej dm = dv

16 Położenie bryły sztywnej z z 3 z x y r C x 1 y y x

17 Ruch bryły sztywnej z y x Dowolny ruch bryły sztywnej można rozłożyć na ruch postępowy jej środka masy i ruch obrotowy względem chwilowej osi obrotu

18 Dynamika ruchu bryły sztywnej 1 F 1 F Momenty sił działających są względem środka masy równe zero. Można przyjąć, że ich wypadkowa zaczepiona jest w środku masy. Wpływają one na ruch postępowy bryły sztywnej lecz nie wpływają na jej ruch obrotowy. F W F r Siłę działającą można rozłożyć na składową z zerowym momentem względem środka masy (F r ) i składową z momentem maksymalnym (F t ). Wpływają one zarówno na ruch postępowy jak i obrotowy bryły sztywnej. F t

19 Dynamika ruchu bryły sztywnej F 1 3 Siły działające się równoważą równoważą się lecz ich momenty względem środka masy są różne od zera i sumują się. Wpływają one na ruch obrotowy bryły sztywnej lecz nie wpływają na jej ruch postępowy. - F 1 4 F 1 F 1 = F Wypadkowy moment sił działających jest względem środka masy równy zero lecz ich wypadkowa jest różna od zera. Nie wpływają one na ruch obrotowy bryły sztywnej lecz wpływają na jej ruch postępowy. F

20 Dynamika ruchu bryły sztywnej 5 F 1 = F Siły działające się sięrównoważą i suma lecz ich momenty momentów względemśrodka środka masy masy są różne jest od równa zerazero. i sumują Nie wpływają się. Wpływają one one ani na ruch obrotowy bryły sztywnejlecz ani nie na wpływają jej ruch na postępowy. jej ruch postępowy F 1 F - F 1 - F Warunki równowagi bryły sztywnej a) Wypadkowa sił działających jest równa zero. b) Wypadkowy moment sił względem środka masy jest równy zero.

21 Ruch postępowy bryły sztywnej z z x y x y z Pęd bryły sztywnej x y z p C = M całk V C Energia kinetyczna ruchu postępowego E całk = ½ M całk V c x y Zasada zachowania pędu F wyp = 0 => dp C /dt = 0 => p C = const

22 Ruch obrotowy bryły sztywnej Moment bezwładności względem osi obrotu I A L dm I I di L dm V N i1 L dm L dv L dv L i dm i V N i1 L i i dv i I B I C

23 Moment bezwładności względem różnych osi obrotu M R I = ½ M R M R 1 R I = ½ M (R 1 + R ) M R I = M R

24 Moment bezwładności względem różnych osi obrotu M R h I = ½ M R h M R I = ½ M R + 1/1 Mh

25 Moment bezwładności względem różnych osi obrotu M L I = + 1/1 ML M R I = ½ M R

26 Moment bezwładności względem różnych osi obrotu M R I M R 5 M R I M R 3

27 Moment bezwładności względem różnych osi obrotu b b a a I = 1/1 M (a + b ) I = 1/1 M b

28 Twierdenie Steinera I C M I d I I M d d C R C d Przykład I C = ½ MR d = R I d = ½ MR + MR I d = 3/ MR

29 Główne momenty bezwładności Tensor bezwładności I 1 = I max I I I 3 I 3 = I min I = I pos

30 Moment pędu bryły sztywnej K = I Zasada zachowania momentu pędu M zewn = 0 => dk C /dt = 0 => K C = const Energia kinetyczna ruchu obrotowego E = ½ I Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej E całk = ½ Mv C + ½ I

31 Bąk symetryczny I 1 = I max R 1 R 3 R 3

32 Bąk symetryczny I 3 = I min R 3 R 1 R 1

33 Równowaga trwała I = I min I = I max Równowaga nietrwała

34 x z y - F K Ruch rotacyjny w trzech wymiarach z y x K F M z x y K W K z y K x K = M t 1

35 Ruch precesyjny z x z y K x y K PR K

36 Ruch nutacyjny K z y x,, z y x I I I K 1 3,, K K z I K 1 0,0, NUT, z 0,0 K I

37 x z y Efekt żyroskopowy x z y

38 E K = 0 = 0 Koło zamachowe = MAX E K = E MAX E K = 0 = 0

39 Efekt wirówki R = 0 0 R R c R R a Spłaszczenie biegunowe c R a R R a c