Bryła sztywna Zadanie domowe

Transkrypt

1 Bryła sztywna Zadanie domowe 1. Podczas ruszania samochodu, w pewnej chwili prędkość środka przedniego koła wynosiła. Sprawdź, czy pomiędzy kołem a podłożem występował poślizg, jeżeli średnica tego koła wynosiła a jego prędkość kątowa. [1 pkt.] 2. Koło zamachowe o momencie bezwładności, obraca się w wokół poziomej osi przechodzącej przez jego środek. W pewnej chwili zaczęto je hamować (ruchem jednostajnie opóźnionym, wskutek czego zatrzymało się po upływie 20 sekund. Oblicz wartość momentu siły hamującej, jeżeli w chwili rozpoczęcia hamowania koło wykonywało [2 pkt.] 3. Oblicz współrzędne środka masy zgiętego, jednorodnego pręta o stałym przekroju, przedstawionego na poniższym rysunku. Każda z dwóch części pręta ma masę grubości pręta. [2 pkt.] i długość. Nie uwzględniaj Y X 4. Oblicz długość zewnętrznego promienia koła zamachowego, jeżeli podczas jego ruchu obrotowego ze stałą prędkością kątową, wartość prędkości liniowej dowolnego punktu na jego obwodzie wynosi, natomiast dowolnego punktu, który znajduje się o bliżej jego osi obrotu wynosi. [2 pkt.] 5. Jednorodna belka o stałym przekroju, ma długość i masę. Belka ta podparta w punktach A i B znajduje się w równowadze. Wyprowadź wzór na wartość sił reakcji w miejscach podparcia. Wskazówka: muszą się równoważyć zarówno siły działające na belkę, jak i ich momenty liczone względem dowolnego punktu belki. [2,5 pkt.] A B Zadanie domowe - Bryła sztywna Strona 1

2 6. Bryła sztywna składa się z jednorodnej kuli i czterech jednorodnych prętów o takim samym i stałym polu przekroju (patrz rysunek). Masa kuli wynosi a jej promień. Masa każdego z prętów wynosi, ich długość a promień przekroju. Wyprowadź wzór na moment bezwładności bryły względem: 2 a. osi przechodzącej przez środek kuli i prostopadłej do płaszczyzny, w której znajdują się pręty (oś 1), [2 pkt.] 1 b. osi przechodzącej przez środek kuli i biegnącej przez środki masy prętów ustawionych na rysunku pionowo (oś 2). [2 pkt.] 7. Na wygiętym pręcie (składającym się z dwóch prętów o długościach ) podwieszono obciążnik o masie (patrz rysunek). Ten układ ciał może się obracać wokół osi przechodzącej przez punkt i prostopadłej do płaszczyzny rysunku. Wyprowadź wzór na wartość siły, jaką trzeba przyłożyć prostopadle do końca pręta, aby układ był w równowadze Wskazówka: muszą się równoważyć momenty odpowiednich sił liczone względem punktu O. [2 pkt.] Zadanie domowe - Bryła sztywna Strona 2

3 8. Drabina o długości i masie, stoi oparta o gładką ścianę (brak sił tarcia w miejscu styku drabiny ze ścianą). Maksymalny kąt jaki może tworzyć drabina ze ścianą, aby nie upaść, wynosi. Wyprowadź wzór na wartość współczynnika tarcia między drabiną a podłogą. Wskazówka: muszą się równoważyć zarówno siły działające na belkę, jak i ich momenty liczone względem dowolnego punktu belki. [3 pkt.] 9. Cienką żyłkę (nierozciągliwą i o pomijalnie małej masie) nawinięto na rurę o masie M. Grubość ścianki rury jest wielokrotnie mniejsza od jej promienia zewnętrznego. Oznacza to, że można ją potraktować jako obręcz cienkościenną. Koniec żyłki zamocowano do sufitu, po czym (przy napiętej żyłce) rurę puszczono swobodnie. Wyprowadź wzór na przyspieszenie, z jakim opadać będzie w dół rura oraz na wartość siły naciągu żyłki. [4 pkt.] M 10. W przypadku, gdy siła tarcia (statycznego), jest odpowiednio duża, walec stacza się z równi pochyłej bez poślizgu, natomiast w przypadku, gdy nie ma żadnych sił tarcia ześlizguje się z niej swobodnie. Wyprowadź wzór na wartość szybkości w obu przypadkach, jeżeli w chwili początkowej walec był nieruchomy i podczas ruchu jego środek ciężkości przebył w pionie odległość h. Która z szybkości była większa i ile razy? Wskazówka: najszybciej rozwiążesz zadania korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej. [4 pkt.] Zadanie domowe - Bryła sztywna Strona 3

4 11. Jednorodna bryła o obrotowa (kula, walec, obręcz cienkościenna) ma masę m i promień r. Moment bezwładności tej bryły względem jej środka masy wynosi. Bryłę tę położono w tej samej odległości od podstawy równi pochyłej o kącie nachylenia i puszczono swobodnie, wskutek czego zaczęły się toczyć bez poślizgu. Wyprowadź wzór na wartość prędkości liniowej środka ciężkości tej bryły na dole równi pochyłej. Która z wymienionych powyżej brył miała prędkość o największej wartości - w wyprowadzonym wzorze uwzględnij zależności określające momenty bezwładności tych brył. Wskazówka: najszybciej rozwiążesz zadania korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej. [4 pkt.] 12. W pewnej chwili na jednorodnej tarczy (o pewnym promieniu) wirującej swobodnie w płaszczyźnie poziomej ze stałą prędkością kątową usiadł żuczek (na osi obrotu tej tarczy). Po pewnym czasie żuczek przeszedł na skraj tarczy i tam się zatrzymał. Oblicz zmianę prędkości kątowej tarczy, jeżeli masa tarczy wynosiła M, masa żuczka m. Wskazówka: skorzystaj z zasady zachowania momentu pędu. [5 pkt.] 13. Uczeń siedzi (z wyprostowanymi w bok rękoma) na krześle obrotowym, które może się obracać swobodnie wokół osi pionowej. W tej sytuacji całkowity moment bezwładności układu krzesło-uczeń wynosi Uczniowi dano do trzymania do każdej dłoni obciążnik o masie, po czym wprawiono go ruchu obrotowy, tak że częstotliwość jego obrotów wynosiła. W tej sytuacji każdy z obciążników znajdował się w odległości od osi obrotu. Ile wynosić będzie częstotliwość obrotów, jeżeli uczeń zginając ręce spowoduje, że obciążniki znajdą się w odległości od osi obrotu. Potraktuj obciążniki jako masy punktowe oraz przyjmij, że po zgięciu rąk całkowity moment bezwładności układu uczeń-krzesło (bez obciążników!) zmalał do momentu pędu. [4 pkt.] Wskazówka: skorzystaj z zasady zachowania Zadanie domowe - Bryła sztywna Strona 4

5 14. Na jednorodnym walcu o masie M i pewnym promieniu, nawinięto długi cienki sznurek, na końcu którego zamocowano obciążnik o masie m. Walec może się obracać swobodnie wokół osi przechodzącej przez jego oś wzdłużną. W chwili początkowej obciążnik był nieruchomy i znajdował się na wysokości h nad powierzchnią Ziemi. Wyprowadź wzór na czas, po upływie którego obciążnik uderzy o powierzchnię Ziemi. Pomiń masę sznurka i siły tarcia. [5 pkt.] Chwila początkowa 15. Drewniany, jednorodny pręt o stałym przekroju ustawiony jest poziomo i może się obracać wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek masy. Masa tego pręta wynosi M. W pewnej chwili w jednym z końców tego pręta ugrzęzła kula karabinowa o masie m lecąca z prędkością na kierunku prostopadłym do osi obrotu i do pręta. W chwili uderzenia kuli pręt był nieruchomy. Wyprowadź wzór na wartość zmiany energii kinetycznej układu pocisk-pręt. Wskazówka: skorzystaj z zasady zachowania momentu pędu. [6 pkt.] "Widok z góry" m M SM Zadanie domowe - Bryła sztywna Strona 5