Ruch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe

Transkrypt

1 Ruch obrotowy bryły sztywnej Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe

2 Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ

3 Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ sr t 1 t 1 t d dt

4 Ruch obrotowy ruch po okręgu d dt P, t P 1, t 1 1 d dt d dt θ 1 θ Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe są takie same dla wszystkich punktów bryły sztywnej Ale prędkość liniowa i przyspieszenie liniowe w różnych punktach bryły sztywnej będą różne

5 Ruch obrotowy d d d dt dt dt P, t 1 v s ds dt r r d d dt r dt r θ 1 θ P 1, t 1

6 Ruch obrotowy r a r r ε ω α l v T r f 1 π π ω v 1 θ 1 θ P, t P 1, t 1 dt d d d dt d t

7 Ruch obrotowy ruch po okręgu d d d d t t α ω dt dα ω r a r r ε ω α l v T r f 1 π π ω v

8 Moment bezwładności Moment bezwładności masy punktowej m poruszającej się po okręgu o promieniu r zależy od tej masy oraz kwadratu odległości od osi obrotu: I m i r i i I mr moment bezwładności bryły sztywnej jest równy sumie momentów bezwładności mas punktowych składających się na tę bryłę: I M 0 r dm

9 Moment bezwładności I m i r i i moment bezwładności bryły sztywnej jest równy sumie momentów bezwładności mas punktowych składających się na tę bryłę: I M 0 r dm

10 Momenty bezwładności wybranych brył

11 Twierdzenie Steinera Moment bezwładności I bryły względem osi obrotu równoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d równy jest: I I 0 md I 0 - moment bezwładności bryły o masie m względem osi przechodzącej przez środek jej masy.

12 Twierdzenie Steinera I 0 - moment bezwładności bryły o masie m względem osi przechodzącej przez środek jej masy. Moment bezwładności I tej bryły względem osi obrotu równoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d równy jest: I I 0 md xayb Irdm dm ab a xdm b Ixy ydmdm

13 Twierdzenie Steinera I 0 - moment bezwładności bryły o masie m względem osi przechodzącej przez środek jej masy. Moment bezwładności I tej bryły względem osi obrotu równoległej do osi przechodzącej przez środek masy i przesuniętej o d równy jest: I I 0 md I 0 mr I I mr 3 0 mr mr mr

14 Środek masy Środek masy jeżeli układ ciał, lub bryłę sztywną, zastąpimy masą punktową; zgromadzimy całkowitą masę układu w jednym punkcie geometrycznym Swobodna oś obrotu bryły sztywnej lub układu ciał przechodzi przez ich środek masy. r SM i i mr i m i i x SM i i mx i m i i

15 Moment siły M r F M rfsin α Fr r r sin α

16 Moment siły

17 Równowaga 0 F 0 M

18 Ruch obrotowy: moment siły, moment pędu M r F M rf sin α F r L dl M d t r p L r p rm v rm rω mr ω Iω M dl dt I d di dt dt M dl dt I

19 Ruch obrotowy: II zasada dynamiki dl M I dt M dl d di I dt dt dt

20 Moment pędu L r p Jeżeli na układ ciał nie działają momenty sił zewnętrznych (układ jest odosobniony) to moment pędu tego układu jest stały. L c L i const. L I ω const. i

21 Zasada zachowania momentu pędu L c L i i const.

22 Zasada zachowania momentu pędu

23 Zasada zachowania momentu pędu

24 Ruch bryły sztywnej - energia kinetyczna I Mv E SM K Energia kinetyczna jest sumą energii ruchu postępowego i obrotowego d d d d d d d d d I t I t I M W d Iω ω ω I W E ω 0 o k p M W d Frd Md Fds dw

25 Ruch obrotowy: energia kinetyczna

26 Ruch obrotowy a postępowy Analogies Between Translational and Rotational Motion Translational Motion 0 x v Rotational Motion 0 0 at t x xo v0t 00t v v a x x o a v v at K F ma F P Fv t mv I K m I I P 0 0

27 Moment bezwładności

28 Moment bezwładności

29 Ruch obrotowy: toczenie się ciał

30 Ruch obrotowy: toczenie się ciał

31 Ruch obrotowy ω dα dt dω dt d α dt l v a α r ωr ε r

32 Ruch obrotowy

33 Ruch obrotowy

34 Ruch obrotowy

35 Ruch obrotowy biegun = 9,8333 m/s równik = 9,78030 m/s

36 Środek masy W jednorodnym polu grawitacyjnym środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości Swobodna oś obrotu bryły sztywnej pokrywa się ze środkiem masy.

37 * Środek masy: układy dwu i wielu ciał

38 Ruch obrotowy

39 Ruch obrotowy planet Siły odśrodkowe m r M R mr MR Siła odśrodkowa i grawitacji m r G Mm R r M m GM r R r 4 3 GM r T 3 T 4 GM r III prawo Keplera 3

40 Ruch obrotowy planet T 4 GM r 3 III prawo Keplera Kwadrat okresu obiegu dowolnej planety jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od Słońca (prawo okresów). Odcinek łączący jakąkolwiek planetę ze Słońcem zakreśla w równych odstępach czasu równe pola (prawo pól). r L r a m v a r Moment pędu jakiejkolwiek planety obracającej się wokół Słońca jest wielkością stałą. p p m v p

41 Ruch obrotowy planet T 4 GM r 3 III prawo Keplera Kwadrat okresu obiegu dowolnej planety jest proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od Słońca (prawo okresów). Odcinek łączący jakąkolwiek planetę ze Słońcem zakreśla w równych odstępach czasu równe pola (prawo pól). Wszystkie planety poruszają sic po orbitach eliptycznych, w których w jednym z ognisk znajduje sic Słońce (prawo orbit)

42 Ruch roweru Utrzymanie stałej prędkości ok.15 km/h wymaga pokonania siły równej 8N, tzn.: 4N = tarcie łożysk + tarcie opon 4N = opór powietrza czyli praca wykonana na odcinku 1km wynosi: W = 1000m * 8N = 8000J Ta sama wielkość w przypadku biegu wynosi: J Przymocowanie drugiego koła do przedniego widelca efekty żyroskopowe się znosiły ale rower nie stracił stabilności, Zupełnie inny wynik przyniosła próba z samym tylko rowerem swobodnie pchnięty rower, pozbawiony efektu żyroskopowego, natychmiast się przewracał. WNIOSEK Efekt ten jest istotny dla lekkiego, nieobciążonego roweru, podczas gdy dla roweru obciążonego rowerzystą można go w pierwszym przybliżeniu zaniedbać.

43 Ruch roweru Utrzymanie stałej prędkości ok.15 km/h wymaga pokonania siły równej 8N, tzn.: 4N = tarcie łożysk + tarcie opon 4N = opór powietrza czyli praca wykonana na odcinku 1km wynosi: W = 1000m * 8N = 8000J Ta sama wielkość w przypadku biegu wynosi: J