Grawitacja. W Y K Ł A D IX Prawa Keplera.

Transkrypt

1 Wykład z fizyki, Piot Posmykiewicz 106 W Y K Ł A D IX Gawitacja. Siły gawitacyjne są najsłabsze z pośód czteech podstawowych sił pzyody. Są całkowicie zaniedbywalne w oddziaływaniach między atomami i nukleonami w jądze atomowym. Nie gają ównieŝ oli w pzyciąganiu ciał o zwykłych ozmiaach, takich jak na pzykład oddziaływanie gawitacyjne bloku mieszkalnego na samochód. Jednak, kiedy wziąć pod uwagę badzo duŝe obiekty: księŝyce, planety, gwiazdy, to siły gawitacji odgywają podstawową olę. codziennego doświadczenia wiemy, Ŝe iemia pzyciąga nas i otaczające pzedmioty. To siła gawitacji zmusza iemią i inne planety do uchu w wokół Słońca. Siła gawitacji jest odpowiedzialna za ewolucję gwiazd i ma okeślony wpływ na ozwój poznawalnego wszechświata Pawa Keplea. Rysunek 10-1 podstawowe pawa: Mekuy Wenus iemia Mas Jowisz Uan Neptun Pluton Od zaania dziejów ludzkości widok nocnego nieba z migoczącymi gwiazdami zawsze fascynował człowieka. Jednak dopieo w szesnastym wieku pokuszono się o naukowy sposób opisania uchu planet. W oku 1543 powstało słynne dzieło Kopenika De evolutionibus obium coelestium ( O obotach ciał niebieskich ). W opaciu o pace Kopenika i inne dane analizujące uch planet Keple sfomułował tzy Piewsze pawo : Wszystkie planety pouszają się po obitach eliptycznych i w jednym z ognisk tych elips leŝy Słońce. Dugie pawo : Linia łącząca dowolną planetę ze Słońcem zakeśla jednakowe pole w jednostce czasu. Tzecie pawo : Okes obiegu danej planety wokół Słońca podniesiony do kwadatu jest popocjonalny do sześcianu wielkiej półosi obity, po któej pousza się planeta. Rysunek 10-1 pzedstawia obity planet kąŝących wokół Słońca. Elipsa jest miejscem geometycznym punktów, dla któych suma odległości od dwu ognisk jest stała, jak jest to pokazane na ysunku 10-. Rysunek 10-3 pzedstawia pouszającą się planetę po obicie eliptycznej i Słońce

2 Wykład z fizyki, Piot Posmykiewicz 107 znajdujące się w jednym z ognisk tej elipsy. Obita iemi jest paktycznie okęgiem. Największe zbliŝenie iemi do Słońca (peyhelium) wynosi 1,48 x m, a najdalej iemia znajduje się w odległości 1,5 X m od Słońca (aphelium). Śednia odległość iemi od Słońca, ówna długości duŝej półosi elipsy, wynosi 1,50 X m. Ta śednia odległość jest jednocześnie ówna jednostce astonomicznej: 1 j.a. 1,50 x m 10-1 Planeta Rysunek 10- Słońce Rysunek 10-3 Rysunek 10-3 Rysunek 10-4 ilustuje dugie pawo Keplea pawo ównych pól. Planeta pousza się szybciej, jeŝeli jest bliŝej Słońca niŝ wtedy, kiedy jest dalej od niego. akeślone powiezchnie w czasie Jest to związane z zasadą zachowania momentu pędu i będzie to pokazane dalej. t mają jednakowe pola. Planeta Tzecie pawo Keplea moŝna zapisać w postaci: Słońce 3 T C 10- gdzie oznacza śednią odległość planety od Słońca, a C jest stałą, Rysunek 10-4 jednakową dla wszystkich planet. Pawo to jest konsekwencją faktu, iŝ siła wywieana pzez Słońce na planetę jest odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości dzielącej te ciała. 10- Pawo gawitacji. ChociaŜ pawa Keplea były waŝnym kokiem w kieunku zozumienia uchu planet, były jednak tylko empiycznymi (doświadczalnymi) wzoami otzymanymi na podstawie obsewacji astonomicznych. Dopieo Newton powiązał pzyspieszenia, jakie doznają planety ze szczególnym odzajem sił wywieanych na nie pzez Słońce. Udowodnił on, Ŝe siła, któa zmienia się odwotnie popocjonalnie waz z kwadatem odległości planety

3 Wykład z fizyki, Piot Posmykiewicz 108 od Słońca wywołuje jej uch po elipsie takiej, jaką pzewidział Keple. Newton pzyjął śmiałe załoŝenie, Ŝe tego odzaju siła występuje między dowolnymi dwoma obiektami we wszechświecie. Pawo gawitacji Newtona mówi, Ŝe siła pzyciągania między dowolną paą ciał jest popocjonalna do iloczynu mas tych ciał i odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości między nimi. Ciało o masie m1 działa na ciało o masie m oddalone o od niego o siłą daną wzoem: Gm m 1 F 10-3 gdzie G jest uniwesalną stałą gawitacyjną, któej watość wynosi : G 6, N m / kg Newton opublikował swoją pacę w oku 1686, ale dopieo sto lat później Cavendish doświadczalnie obliczył watość G. JeŜeli połoŝenie masy m1okeśla pomień wodzący 1, a połoŝenie m pomień ( Rysunek 10-5 ), to siła F 1, wywieana pzez masę m 1 na masę m moŝe być zapisana następująco: 10-4 F Gm m 1 1, ˆ 1, 1, 10-5 Pawo gawitacji. gdzie 1, jest wektoem skieowanym od masy m 1 do masy m i 1, 1, / 1, jest wektoem jednostkowym skieowanym od masy m 1 do masy m. Siła F,1 wywieana pzez masę m na m 1, zgodnie z tzecią zasadą dynamiki, jest taka sama co do watości bezwzględnej, ale F. pzeciwnie skieowana niŝ 1, nając G moŝemy policzyć siłę gawitacji między dwa zwykłymi ciałami. Ćwiczenie. najdź siłę oddziaływania gawitacyjnego między 65- cio kilowym chłopcem, a 50-cio kilową dziewczyną znajdującymi się w odległości 0,5m od siebie. Pzyjmij, ich masy za punktowe. (Odpowiedź: 8,67 x 10-7 N) ˆ PowyŜsze ćwiczenie pokazuje, Ŝe siły oddziaływania między ciałami posiadającymi zwykłe ozmiay są wyjątkowo małe. Dla poównania; cięŝa osoby 50-cio kilogamowej wynosi 491N, co stanowi około pół miliada azy więcej niŝ siła obliczona w Rysunek 10-5

4 Wykład z fizyki, Piot Posmykiewicz 109 powyŝszym ćwiczeniu. Siła gawitacji zaczyna odgywać waŝną olę tylko wtedy, gdy chociaŝ jedno z ciał ma duŝą masę na pzykład, gdy iemia pzyciąga człowieka. W celu spawdzenia słuszności popocjonalności siły gawitacji do odwotności kwadatu odległości Newton poównał pzyspieszenie obitalne (dośodkowe) KsięŜyca z pzyspieszeniem pzedmiotów w pobliŝu powiezchni iemi (takimi jak legendane jabłko). ałoŝył on, Ŝe w obu pzypadkach iemia wywołuje te pzyspieszenia. Pzyjął, Ŝe iemię i KsięŜyc moŝna taktować jako punkty mateialne. Siła działająca na cząstkę o masie m znajdującą się w odległości od śodka iemi jest ówna: GM m F 10-6 dugiej zasady dynamiki wynika, Ŝe pzyspieszenie wynosi: F GM a m 10-7 Dla ciał znajdujących w pobliŝu powiezchni iemi R, a pzyspieszenie wynosi g : GM g 10-8 R PoniewaŜ odległość do KsięŜyca jest około 60 azy większa niŝ pomień iemi, to pzyspieszenie w pobliŝu powiezchni iemi (g 9,81m/s ) powinno być azy większe niŝ pzyspieszenie na KsięŜycu. Pzyspieszenie dośodkowe KsięŜyca moŝna policzyć znając jego odległość od śodka iemi 3,84 X 10 8 m i okes obotu T 7,3 dni,36 X 10 6 s: a K v Poównując pzyspieszenia: 8 ( 4π / T ) 4π 4π ( 3,84 10 m) 6 T (,36 10 s), m / s g a K 9,81m / s 3,7 10 m / s Pzytaczając słowa Newtona: W związku z tym poównałem siłę wymaganą do utzymania KsięŜyca na swojej obicie z siłą gawitacji na powiezchni iemi i stwiedziłem, Ŝe odpowiadają sobie wzajemnie. Pzyjęcie załoŝenia, Ŝe iemia i KsięŜyc mogą być taktowane jako punkty mateialne wydaje się do zaakceptowania ze względu na duŝą odległość dzielącą te ciała. Jednak w pzypadku iemi i ciała w pobliŝu jej powiezchni ten waunek nie jest oczywiście spełniony. Newton, w wyniku pzepowadzonych obliczeń, udowodnił, Ŝe siła wywieana pzez dowolne ciało o symetii sfeycznej na punkt mateialny znajdujący się na lub nad tą powiezchnią jest taka sama jak gdyby cała masa ciała była skupiona w śodku sfey.

5 Wykład z fizyki, Piot Posmykiewicz PoniewaŜ 110 g 9,81m / s jest łatwo miezalne, a pomień iemi jest znany, to ównanie 10-8 moŝe słuŝyć do obliczenia albo stałej gawitacji G, albo do wyznaczenia masy iemi wielkość jest znana. Newton obliczył watość G na M w zaleŝności, któa podstawie oszacowania masy iemi. Sto lat później Cavendish wyznaczył stałą gawitacji mieząc siły działające między stosunkowo małymi kulami o znanych masach. Nazwał on swoje doświadczenie waŝeniem iemi. Cavendish uŝył pzyządów pokazanych na ysunku Jego pomiay były później wielokotnie powtazane z wieloma udoskoleniami. Jednak ze względu na słabość sił gawitacji wyniki pomiaów óŝniły się za kaŝdym azem od siebie. Obecnie mimo stosowania badzo czułych pzyządów dokładność pomiau G wynosi tylko 1/ Równowaga Dut spęŝysty PołoŜenie 1 PołoŜenie ównowagi PołoŜenie Rysunek 10-6 (a) Dwie małe kule kaŝda o masie m znajdują się na końcu lekkiego pęta pzymocowanego do cienkiej spęŝystej nici. Dokładne pomiay pozwalają ustalić jaki jest wymagany moment siły aby obócić pęt o okeślony kąt. Następnie umieszczane są dwie duŝe kule o masach m1 w pobliŝu małych kul i pęt obaca się o niewielki kąt θ. (b) Widok z góy. Następnie zmienia się połoŝenie duŝych kul tak jak jest to pokazane linią pzeywaną zajmują one połoŝenie z dugiej stony połoŝenia ównowagi. W ten sposób moŝna zmiezyć kąt θ i w konsekwencji z większą dokładnością okeślić θ. nając kąt θ i stałe skęcalności dutu moŝna obliczyć siły działające między kulami, a znając ich masy m1 i m łatwo juŝ znaleźć G. Caendish okeślił stała gawitacji G z dokładnością do 1% w stosunku do obecnie pzyjętej watości G danej ównaniem Wypowadzenie paw Keplea. Newton wykazał, Ŝe jeŝeli ciała takie jak planeta, czy kometa pouszają się wokół źódła sił gawitacyjnych ( tzn. popocjonalnych do1/)takiego jak Słońce, to toem ich uchu jest elipsa, paabola lub hipebola. JeŜeli ciało pousza się po obicie paabolicznej albo hipebolicznej, to Planeta zbliŝa się do Słońca i następnie oddala się w nieskończoność. Obity te nie są obitami zamkniętymi. Tylko obity eliptyczne są zamknięte. Tak więc, piewsze pawo Keplea jest Słońce konsekwencją faktu, Ŝe na planety działa Rysunek 10-7

6 Wykład z fizyki, Piot Posmykiewicz 111 siła gawitacyjna, któa zgodnie z pawem gawitacji musi być popocjonalna do 1/. Dugie pawo Keplea pawo ównych pól wynika z faktu, Ŝe siły wywieane pzez Słońce na planety są skieowane dokładnie w kieunku Słońca. Siły takie nazywamy siłami centalnymi. Rysunek 10-7 pzedstawia planetę pouszającą się po obicie eliptycznej wokół Słońca. W czasie dt planeta pzebywa dogę vdt i zakeśla powiezchnię pokazaną na ysunku. Jak widać, jest to połowa ównoległoboku o bokach utwozonych pzez i któego powiezchnia jest ówna vdt w czasie dt wynosi : v dt,. W ezultacie pole powiezchni zakeślone pzez pomień wodzący lub da 1 vdt 1 m mvdt 1 da Ldt 10-9 m gdzie L mv jest momentem pędu planety względem Słońca. atem powiezchnia zakeślona w ciągu czasu dt jest popocjonalna do momentu pędu L. PoniewaŜ siła działająca na planetę leŝy wzdłuŝ linii łączącej planetę ze Słońcem, to moment siły gawitacyjnej względem Słońca jest ówny zeo. A zatem moment pędu jest zachowany, czyli L jest stałe. W ezultacie powiezchnia zakeślana pzez planetę w danym czasie musi być jednakowa dla wszystkich części obity tej planety co jest teścią dugiego pawa Keplea. JeŜeli pzyjąć, Ŝe planeta pousza się po okęgu, to łatwo udowodnić tzecie pawo Keplea. RozwaŜmy planetę pouszającą się po okęgu o pomieniu z pędkością v wokół Słońca. Siła gawitacji powoduje, Ŝe planeta doznaje pzyspieszenia dośodkowego v otzymujemy: gdzie F m p a GM m S p v m p M S jest masą Słońca, a v GM /. dugiego pawa dynamiki mp jest masą planety. Wyznaczmy v : S PoniewaŜ planeta pokonuje dogę π w czasiet, to jej pędkość jest ówna: v π T 10-1

7 Wykład z fizyki, Piot Posmykiewicz 11 Podstawiając to do ównania10-11 otzymamy: v 4 π T GM S lub T 4π GM S Tzecie pawo Keplea Równanie jest takie samo jak ównanie 10- ze stałą C 4π / GM S. W pzypadku badziej ogólnym, kiedy planeta pousza się po elipsie dowód jest badziej skomplikowany. W tym pzypadku pomień jest śednią odległością planety od Słońca i jest jednocześnie ówny duŝej półosi elipsy a Gawitacyjna enegia potencjalna. W pobliŝu powiezchni iemi siła gawitacji wywieana pzez iemię na ciało jest stała, poniewaŝ odległość do śodka iemi R + h jest paktycznie ówna R ze względu na to, iŝ potencjalna ciała w pobliŝu powiezchni iemi wynosi mg( R ) mgh wybana na powiezchni iemi R h << R. Enegia, gdzie U 0 została. Jednak kiedy znajdujemy się daleko od powiezchni iemi musimy uwzględnić fakt, Ŝe siła gawitacyjna wywieana pzez iemię nie jest stała, a maleje jak definicja enegii potencjalnej (Równanie 6-1b) ma postać du F ds gdzie F jest siłą zachowawczą działającą na cząstkę, a 1 /. Ogólna ds jest wektoem pzemieszczenia cząstki. W pzypadku siły gawitacyjnej, któa jest siłą centalną, daną ównaniem 10-6 otzymamy: du GM m GM F ds F d d + Całkując obustonnie to ównanie otzymujemy: m d GM m U + gdzie U 0 jest stałą całkowania. U

8 Wykład z fizyki, Piot Posmykiewicz 113