MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Transkrypt

1 MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko

2 Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny Π, zwanej płaszczyzną kierującą (Rys. 1). Przez ciało sztywne prowadzimy prostą l prostopadłą do płaszczyzny Π.

3 Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej Własności: Podczas dowolnego ruchu ciała prosta l porusza się ruchem postępowym i jest stale prostopadła do Π. Podczas ruchu obrotowego ciała wokół prostej l punkty leżące na prostej równoległej do l mają te same prędkości i przyspieszenia. Rys.1 Wniosek! Ruch płaski jest określony, jeżeli znamy ruch przekroju bryły po płaszczyźnie kierującej.

4 Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej Bryła wykonuje ruch płaski. Przekrój bryły S porusza się po płaszczyźnie rysunku z położenia I do II. I sposób (linia czerwona): Ruch postępowy przekroju z położenia I do I A ; Obrót przekroju dookoła A 1 o kąt φ. II sposób (linia niebieska): Ruch postępowy przekroju z położenia I do I B ; Obrót przekroju dookoła B 1 o kąt φ. Rys. 2

5 Opis Ruchu Przekroju Bryły Po Płaszczyźnie Kierującej Twierdzenie W ruchu płaskim możemy przeprowadzić bryłę z położenia początkowego do położenia końcowego za pomocą ruchu postępowego oraz obrotowego dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny kierującej i przechodzącej przez obrany biegun.

6 Obieramy punkty A i B danego przekroju (w położeniu I). Punkty te po wykonaniu ruchu zajmą położenie A 1 i B 1. Znajdujemy punkt C przecięcia się symetralnych odcinków AA 1 i BB 1. Widzimy, że ruch przekroju dokonał się za pomocą obrotu dookoła punktu C. Środek Obrotu Zastępczego Taki punkt nazywamy środkiem obrotu zastępczego (Rys. 3). Rys. 3

7 Środek Obrotu Chwilowego Punkty AB i A 1 B 1 obieramy nieskończenie blisko siebie. Ruch w nieskończenie krótkim czasie nazywamy ruchem chwilowym. Rys. 4 Ruch chwilowy przekroju po płaszczyźnie kierującej jest obrotem chwilowym dookoła punktu S zwanego środkiem obrotu chwilowego.

8 Środek Obrotu Chwilowego Własność! Środek S obrotu chwilowego leży w punkcie przecięcia się normalnych do torów punktów A i B (rys. 4). Rys. 4

9 Oś Obrotu Chwilowego Osią obrotu chwilowego nazywamy prostą przechodzącą przez środek obrotu chwilowego S i prostopadłą do płaszczyzny kierującej. Wokół tej osi dokonuje się również ruch chwilowy. Rys. 4

10 Centroidy i Aksoidy Punkty A 1 i B 1 poruszają się w płaszczyźnie po torach odpowiednio 1 i 2 (Rys. 5). S 1, S 2, S 3, środki obrotów chwilowych odpowiednio w położeniach I, II, III, Centroidą stałą C s nazywamy miejsce geometryczne środków chwilowych S i na płaszczyźnie stałej. Rys. 5

11 Centroidy i Aksoidy Przenieśmy teraz odcinki A 2 B 2, A 3 B 3, A 4 B 4, do odcinka A 1 B 1 (Rys. 5). Wierzchołki S 2, S 3, S 4, trójkątów A 2 B 2 S 2, A 3 B 3 S 3, A 4 B 4 S 4 znajdą się w położeniach S 2, S 3, S 4, Rys. 5 Centroidą ruchomą C r nazywamy miejsce geometryczne środków chwilowych S i na płaszczyźnie ruchomej, związanej z poruszającym się układem.

12 Centroidy i Aksoidy Aksoidą stałą nazywamy miejsce geometryczne osi obrotów chwilowych w układzie stałym (związanym z płaszczyzną kierującą). Jest to powierzchnia walcowa. Aksoidą ruchomą nazywamy miejsce geometryczne osi obrotów chwilowych w układzie ruchomym (związanym z poruszającą się bryłą). Jest to również powierzchnia walcowa.

13 Przewodnie prędkości i przyspieszeń Przewodnią prędkości (przyspieszeń) punktów poruszającego się ciała nazywamy linię, na której leżą końce wektorów ich prędkości (przyspieszeń). Przewodnią jest prosta.

14 Przewodnie prędkości i przyspieszeń v ρ v ρ D Jak znaleźć mając dane v ρ i? Końce wektorów prędkości punktów A i B dzielą przewodnią na odcinki proporcjonalne do odległości między nimi. D A v ρ B

15 Równania Ruchu Płaskiego Przyjmijmy układ współrzędnych x, y, związany z płaszczyzną kierującą. Na ruchomym przekroju S obierzmy dowolny biegun A jako początek ruchomego układu współrzędnych ξ, χ, związanego z poruszającym się przekrojem. r ρ i wektor położenia dowolnego punktu P w układzie stałym x, y. ρ wektor położenia punktu P i w układzie ruchomym ξ, χ. Rys. 3 r ρ A wektor położenia bieguna A w układzie stałym. Uwaga! ρ ρ ρ ρ r i = r i (t) i = i ( t) ρ ρ r A = r A (t) ρ i = const.

16 Równania Ruchu Płaskiego ϕ = ϕ(t) kąt zawarty między osią x a osią ξ. Położenie układu ruchomego względem układu stałego: x = x (t) y = y (t) A A A A ϕ = ϕ(t)

17 Równania Ruchu Płaskiego Kinematyczne RÓWNANIA RUCHU PŁASKIEGO w postaci wektorowej Uwzględniając rzuty tych wektorów otrzymamy RÓWNANIA RUCHU PUNKTU P.

18 Prędkość w ruchu Płaskim Prędkość punktu P przekroju poruszającego się po płaszczyźnie kierującej: prędkość punktu P przekroju prędkość obranego bieguna A, jednakowa w danej chwili dla wszystkich punktów przekroju. Jest to prędkość ruchu postępowego. Prędkość końca wektora A: ρ ρ i wskutek obrotu przekroju wokół bieguna

19 Prędkość w ruchu Płaskim Wektor prędkości dowolnego punktu przekroju: Prędkość dowolnego punktu w ruchu płaskim jest więc sumą geometryczną prędkości ruchu postępowego i prędkości ruchu obrotowego dookoła obranego bieguna.

20 Przyspieszenie w Ruchu Płaskim Przyspieszenie jest równe pochodnej wektora prędkości względem czasu: czyli ρ ρ ρ ρ ρ ρ 2 ρ Iloczyn wektorowy ω ( ω ) = ω( ω ) ω i i i, lecz w przypadku ruchu płaskiego wektory ω ρ i ρ są stale do siebie i prostopadłe, a więc ( ω ρ ρ co upraszcza równanie do i ) = 0 postaci

21 Przyspieszenie w Ruchu Płaskim gdzie przyspieszenie punktu A w ruchu postępowym przyspieszenie styczne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A. przyspieszenie normalne punktu P pochodzące od obrotu ciała wokół punktu A.

22 Przykład 1 Pręt AB o długości l umocowany jest poziomo na kołach o promieniach r tak, jak na Rys. 7. Koło o środku O obraca się ze stałą prędkością kątową ω. Znaleźć prędkość oraz przyspieszenie punktu B.

23 Obieramy układ współrzędnych x i y oraz ξ i χ tak, jak na rysunku. Oxy układ nieruchomy; Aξχ układ ruchomy. Wtedy ROZWIĄZANIE

24 ROZWIĄZANIE r ρ B = V ρ B = V B = a ρ B = a B =

25 Przykład 2 Obliczyć prędkość kątową pręta AB oraz prędkość liniową punktu B mechanizmu korbowo-wodzikowego w chwili gdy φ 1 = 60. Walec toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie odległej od osi OB o promień walca 0,5 d. Dane: OA = d, AB = d 3, ω 1 = const. d d 3 ½d

26 Ponieważω 1 = const, więc ROZWIĄZANIE Równania ruchu punktu B: Należy znaleźć zależność pomiędzy kątami φ 1 i φ 2! d d 3 ½d

27 ROZWIĄZANIE Skorzystamy z twierdzenia sinusów: A zatem:

28 ROZWIĄZANIE Prędkość kątowa pręta AB jest równa: Równanie ruchu punktu B:

29 Prędkość liniowa punktu B: Dla φ 1 = 60 :

30 Przykład 3 Toczenie się walca po powierzchni v O v v v v v v + = v O ω v v 2 O v ω 2v v 2 r. postępowy + r. obrotowy = r. płaski ω = v/r

31 Przykład 3 Toczenie się walca po powierzchni v obr = v obr P r 1 v α O v obr prędkość punktu P w ruchu obrotowym

32 Przykład 3 Toczenie się walca po powierzchni

33 Przykład 4 Walec o promieniu r toczy się bez poślizgu po wewnętrznej stronie nieruchomej powierzchni walcowej o promieniu R, wprowadzony w ruch za pomocą korby OA. Prędkość kątowa korby wynosi ω 1. Znaleźć: Dane: r, R, ω 1. prędkości liniowe punktów A, B i D; prędkość i przyspieszenie liniowe walca.

34 ROZWIĄZANIE Korzystając z poprzedniego zadania: v D ω 2 v A

35 Przykład 5 Dla układu przedstawionego na rysunku obliczyć prędkości i przyspieszenia punktów A i B. Dane: OA = R, AB = L, H,ω 0,ε 0.

36 ROZWIĄZANIE

37 Wielkości pomocnicze: Ponieważ rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe, zatem:

38 Obliczmy najpierw przyspieszenie punktu A:

39 Przyjmujemy, że pręt AB porusza się ruchem postępowym oraz obrotowym wokół punktu A. a ρ Niech punktu A. BA przyspieszenie pręta AB w ruchu obrotowym wokół a ρ A przyspieszenie pręta AB w ruchu postępowym. Zatem:

40 Prędkość kątowa pręta AB (w ruchu obrotowym względem punktu A): Ponieważ nie znamy przyspie-szeniaε 1, nie obliczymy a tba. Zatem wykorzystamy fakt, iż punkt B porusza się po linii poziomej. Zatem a B ma również kierunek poziomy.

41 Suma rzutów na oś x: Suma rzutów na oś y:

42 Przykład 6 Oblicz prędkość punktów B i D płyty o kształcie trójkąta prostokątnego równoramiennego ABD mechanizmu pokazanego na rysunku. Dane: OA = AB = r,ω=const.

43 Współrzędne punktu B: ROZWIĄZANIE Współrzędne punktu D:

44 Prędkości punktów B i D obliczamy różniczkując odpowiednie współrzędne: Prędkość kątowa płyty ABD:

45 Przykład 7 Krążek o promieniu R toczy się bez poślizgu po płaszczyźnie poziomej z prędkością kątową ω(t). W punkcie A znajdującym się w odległości r od środka tarczy 0 zamocowano przegubowo sztywny pręt o długości 2R, którego drugi koniec B porusza się po płaszczyźnie poziomej. Znaleźć prędkość chwilową punktu B dla położenia pokazanego na rysunku. Dane: OA = r, R,ω(t)

46 ROZWIĄZANIE Obieramy kąt pomocniczyα. Wtedy: Prędkość punktu 0: Prędkość punktu A:

47 Obieramy pomocniczy kątβ. Wykorzystamy regułę rzutów:

48 Skorzystamy ze wzoru trygonometrycznego: Dodatkowo: Zatem: Wstawiając do reguły rzutów:

49 Przykład 8 Pręt AB o długości l, przymocowany przegubowo w punkcie A na obwodzie tarczy kołowej o promieniu R, zakończony wodzikiem B, który przesuwa się po torze pionowym. Tarcza toczy się bez poślizgu, a prędkość jejśrodka wynosi v 0 = const. Oblicz prędkość chwilową punktu B. Dane: OA = R, l, v 0.

50 ROZWIĄZANIE

51 Wykorzystamy regułę rzutów: Wzór trygonometryczny: Wtedy: Podstawiając otrzymujemy:

52 Przykład 9 W mechanizmie epicykloidalnym korba OA obraca się z prędkością kątowąω 0 i wprawia w ruch koło I o promieniu r, które jest zazębione z kołem II o promieniu 2r. Z kołem I jest na sztywno połączone koło III o promieniu 2r. Jaka powinna być prędkość kątowa ω II koła II, aby punkt C koła III był nieruchomy? Dane: r,ω 0. B

53 ROZWIĄZANIE 1. Ruch układu wyłącznie pod wpływem korby OA (dlaω II = 0):

54 2. Ruch układu wyłącznie pod wpływem ruchu obrotowego koła II (dlaω 0 = 0): Aby punkt C był nieruchomy, jego prędkość liniowa musi być równa zeru: