STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH



Podobne dokumenty
Estymacja przedziałowa

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

POLITECHNIKA OPOLSKA

Lista 6. Estymacja punktowa

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Parametryczne Testy Istotności

PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

16 Przedziały ufności

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Modele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

Statystyka. Katarzyna Chudy Laskowska

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Rozkład normalny (Gaussa)

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).

Zestaw II Odpowiedź: Przeciętna masa ciała w grupie przebadanych szczurów wynosi 186,2 g.

Elementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)

Statystyka opisowa - dodatek

Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste

40:5. 40:5 = υ5 5p 40, 40:5 = p 40.

Metoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2

Ćwiczenie: Test chi 2 i miary na nim oparte.

Zeszyty naukowe nr 9

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Podstawowe pojęcia. Próba losowa. Badanie próby losowej

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

MIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

MACIERZE STOCHASTYCZNE

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871

(X i X) 2. n 1. X m S

KADD Metoda najmniejszych kwadratów

Porównanie dwu populacji

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia

Numeryczny opis zjawiska zaniku

Chemia Teoretyczna I (6).

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

KURS MATURA PODSTAWOWA

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

Elementy modelowania matematycznego

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II

Prawdopodobieństwo i statystyka

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Transkrypt:

TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica włókie,9um, odchyleie stadardowe 4,6um II próbka: 0, średia średica włókie 3,um, odchyleie stadardowe 6,87um. Zweryfikować, a poziomie istotości 0,05; hipotezę, że obie metody pomiaru staowią tak samo dobrą miarę średicy włókie. Dae: PI : 50 śr,9um s 4,6um PII : 0 śr 3,um s6,87um Typowe zadaie, liczebość obu prób >30 więc korzystamy z PORÓWNANIE DUŻYCH PRÓB. Pierwszym krokiem w obliczeiu tego zadaia jest policzeie jej zmieej losowej (u w ) charakteryzującej się rozkładem ormalym. śr śr,9 3, uw 0,349 s s 4,6 6,87 + + 50 0. Następie wyzaczoą wartość u w porówuje się z szerokością przedziału określoego przez fukcję rozkładu ormalego, dla założoego prawdopodobieństwa P. Poziom istotości w aszym zadaiu jest rówy 0,05 5%, zatem asze prawdopodobieństwo w przedziale określoym fukcją rozkładu ormalego ma wyosić 95%. Zadae 95% zajduje się w zazaczoym a szaro obszarze. Dla tego prawdopodobieństwa ależy odczytać wartości u p i u p. Poieważ dyspoujemy tablicami jedostroymi musimy w pierwszej kolejości odczytać wartość u p. Prawdopodobieństwo dla przedziału,u p wyosi 97,5%, (95%+ lewy ogo, a o wyosi 0,5 5% ). Z tablic odczytujemy, iż wartość ta wyosi u p,96. Wiadomo, że rozkład ormaly jest rozkładem symetryczym, zatem skoro asze u p,96 to u p będzie logiczie wyosiło -,96. 3. Uzyskaa wartość u w 0,349 mieści się w przedziale ( u p ; u p ),96 < 0,349 <,96

Wówczas moża stwierdzić, iż porówae próby ależą do tej samej populacji geeralej z prawdopodobieństwem 95% (lub a zadaym poziomie istotości 0,05), Potwierdzeie przyależości do tej samej populacji geeralej jest też potwierdzeiem a zadae w treści zadaia pytaie. Zatem odpowiedź brzmi :Tak, obie te metody pomiaru staowią tak samo dobrą miarę średicy włókie z prawdopodobieństwem 95%. Zad. pośród ucziów pewego liceum wylosowao 5 z klas pierwszych oraz z klas drugich i obliczoo średią oce uzyskaych w półroczu dla każdego z tych ucziów. Otrzymao astępujące rezultaty: Klasa I: 3,7; 4,8;,95; 3,0; 3,38; 4,05; 4,07; 4,98; 3,0; 3,43; 3,09; 4,50; 3,; 3,68; 3,90 Klasa II: 3,0; 3,38; 4,06; 3,60; 3,8; 4,50; 4,00; 3,5; 4,; 4,85;,80; 4,00. Zweryfikować hipotezę, że przecięte ocey uzyskiwae przez ucziów badaych klas są jedakowe. We wszystkich obliczeiach przyjmij poziom istotości rówy 0,05. To kolejy przykład a porówywaie prób o różej liczebości (posiadamy dae dla różych grup oraz prosi się as aby je porówać). Aby je porówać ależy wybrać odpowiedią metodę. Liczebości obu klas ie przekraczają umowej graicy 30, zatem wykorzystamy tu metodę Porówaie małych prób. Zmiea losowa w tej metodzie charakteryzuje się rozkładem t-tudeta. Porówaie dwu prób o różej liczebości sprowadza się do obliczeia parametru tudeta t i porówaie go z parametrem krytyczym t,r.. Obliczamy parametr t: sr y sr m t m + Jak widać ze wzoru iezbęde są wartości średie dla obu prób oraz wariację zbiorczą, którą wyliczymy z wzoru : _ s ( m ) + sy ( ) 0,589 (5 ) + 0,59 ( ) 0,348 m + 5 + Mając już obliczoą wariację zbiorczą możemy przystąpić do obliczaia parametru t: 3,703 3,788 5 t 0,37 0,348 5 +. Następie ależy określić parametr krytyczy t,r. Dobieramy go a podstawie tablic rozkładu t-tudeta dla odpowiediej liczby stopi swobody (m+-) i zadaego poziomu istotości. W aszym przypadku liczba stopi swobody jest rówa 5; (5+-) i 0,05., r,06 t 3. t < t, r, zatem jest to potwierdzeie aszej hipotezy zerowej. Odpowiedź brzmi: tak, przecięte ocey uzyskiwae przez ucziów badaych klas są jedakowe. Zad.3 W czterech iezależych pomiarach głębokości oceau otrzymao astępujące wyiki (w km): 7,8; 7,5; 8, i 8,4. Określić średią głębokość oraz przedział ufości tej wielkości dla 0,05 Średia głębokość to ic iego jak średia arytmetycza z uzyskaych pomiarów. śr 7,975 km Przedział ufości zmieej losowej obliczamy ze wzoru:

µ ± t, gdzie to odchyleie stadardowe średiej śr posiada jedostkę, taką jak zmiea). 0,403 km 0,05 km _ ( pamiętając, iż oo też Parametr tudeta t odczytujemy z tablic t-tudeta dla 0,05 i liczby stopi swobody f(-)3. t 3,8 Zatem przedział ufości zmieej losowej przedstawia się astępująco: µ ± t 7,975 ± 3,8 0,05 7,975 ± 0,647 km śr Ostatecza postać po poprawym zaokrągleiu przedstawia się astępująco: µ 7,98 ± 0, 65km Zad.4 Średia próby o liczebości 49, spełiającej rozkład ormaly wyosi 5,5; a jej wariacja rówa się 8,5. Jaka część populacji będzie posiadała wartości większe od 30? Ile wyosi prawdopodobieństwo, iż z próby otrzymamy wartości miejsze iż 0? W każdym z podpuktów zadaia ależy policzyć prawdopodobieństwo. Wiemy, że próba charakteryzuje się rozkładem ormalym, zatem możemy skorzystać ze wzoru: śr u 30 5,5 u,54, z tablic rozkładu ormalego odczytamy wartość prawdopodobieństwa,95 (dystrybuaty) P dla przedziału ( ; u), która wyosi 93,8% lub 0,938, w aszym przypadku potrzeba jest wartość prawdopodobieństwa P dla (u >,54), obliczymy ją wiedząc, że całkowite prawdopodobieństwo pod krzywą Gaussa jest rówe 00% lub po prostu. Zatem 00-93,86,8%, tyle wyosi prawdopodobieństwo dla u >,54. W zadaiu wymagae jest od as abyśmy podali jaka część populacji ma wartości większe od 30. Obliczamy to możąc liczebość próby przez prawdopodobieństwo. > 30 49 0,068 3,0 W kolejym podpukcie, podobie jak w poprzedim, mamy obliczyć prawdopodobieństwo występowaia wartości miejszych od 0. Tok obliczeń wygląda prawie idetyczie jak wyżej. śr 0 5,5 u,89,95 Prawdopodobieństwo P dla (u<,89) wyosi 97,06%. P(u>,89) P(u<-,89) - 0,9706 0,094 3% Zad5. Dwóm grupom robotików zlecoo wykoaie tej samej pracy, przy czym roboticy I grupy przeszli wcześiej przeszkoleie. Wydajość pracy w I grupie kształtowała się astępująco (w szt./godz.) 8,6 7,9 8, 7,0 8,7 8,3; podczas gdy w II grupie zaobserwowao astępujące wydajości 7,3 7,6 7, 6,0 7,8. a poziomie istotości 0,05 zweryfikować hipotezę, że średia wydajość pracy zależy od uprzediego przeszkoleia.

Typowe zadaie a porówaie prób ( typowo dwie grupy różo liczebe). Liczebość miejsza od umowej wartości 30, zatem korzystamy z testu Porówaie małych prób IG: m6 śr 8, 0,368 IIG: 5 y śr 7,6 0,493 Obliczamy parametr tudeta t: t sr y _ sr m m + 8, 7,6 0,435 6 5 6 + 5,385 Wariację zbiorczą obliczamy ze wzoru: _ s ( m ) + sy ( ) 0,368(6 ) + 0,493(5 ) 0,435 m + 6 + 5 (jeśli ktoś ie zauważył, a się dziwi to podstawiłem od razu wartości wariacji) Następie wyzaczamy parametr krytyczy tudeta. Dla 9 stopi swobody (6+5-) i poziomu istotości 0,05, parametr te przyjmuje wartość:,6 Zatem > t,,385 >,6. Postawioa w zadaiu hipoteza została obaloa a zatem odpowiedź brzmi: Tak, średia wydajość pracy zależy od uprzediego przeszkoleia. Zad.6 Zawartość Fe O 3 w badaym roztworze ozaczao spektrofotometryczie (po utworzeiu barwego kompleksu rodakowego) i otrzymao astępujące wyiki (w mg/dm 3 ): 350; 34; 366; 350; 353; 343; 354; 358; 354; 360. Niezależie wykoaa seria 8 ozaczeń metodą grawimetryczą (po wytrąceiu jako Fe(OH) 3 ) dała wyiki śr 358,5; s 4. sprawdzić, czy wyik 366 z pierwszej serii obarczoy jest błędem grubym, a astępie zweryfikować hipotezy o jedakowej precyzji i dokładości obu metod (0,05) prawdzamy czy jakaś wartość jest obarczoa błędem grubym (czy ie pasuje do reszty wyików) za pomocą Testu Q-Dioa. Pierwszym krokiem jest uszeregowaie wyików w ciąg iemalejący: 34; 343; 350; 350; 353; 354; 354; 358; 360; 366 Następie Obliczamy zmieą losową tego testu, czyli Q: w s Q Gdzie: w to wyik wątpliwy. s to wyik sąsiadujący z wyikiem wątpliwym. R to rozstęp, czyli różica wyiku ostatiego i pierwszego. R 366-34 4 366 360 Q 0,5 4 Ostatim krokiem jest odczytaie z tablicy Q-Dioa parametru krytyczego Q kr i porówaie go z uzyskaą wartością Q. Odczytywaa wartość jest dla liczby pomiarów i prawdopodobieństwa P - Q kr 0,4 koro Q < Q kr, 0,5<0,4; możemy stwierdzić, iż wyik wątpliwy jest elemetem próby. R

Do porówaia precyzji dwóch metod aalityczych ajlepszym, choć ie jedyym, jest test F-edecora. Pierwszym krokiem w obliczeiach jest wyliczei wariacji dla obu prób, astępie podstawieie ich do wzoru: s F s Pamiętając, iż wariacja w licziku musi być większa od tej w miaowiku. s 4 s 53,778 ; podstawiając do wzoru otrzymujemy wartość parametru F: 4 F, 53,778 W ostatim już kroku porówujemy uzyskay parametr F z odczytaym z tablic parametrem krytyczym F kr. Parametr krytyczy odczytujemy w te sposób, że liczebość wariacji z miaowika odpowiada wierszom (m) z tablicy a liczebość z liczika kolumom (). Pamiętając, że odczytujemy (j-) i (k-). Gdzie j i k to liczebości poszczególych prób. F kr 3,9 F < F kr zatem możemy stwierdzić, iż obie metody są tak samo precyzyje. Czy obie metody są dokłade, określa am Porówaie małych prób. Obliczamy parametr tudeta t: sr y sr m 353 358,5 0 8 t,95 _ m + 80, 0 + 8 Wariację zbiorczą obliczyliśmy a podstawie wzoru: _ s ( m ) + sy ( ) 4(8 ) + 53,778(0 ) 80, m + 8 + 0 Następie wyzaczamy parametr krytyczy tudeta. Dla 6 stopi swobody (0+8-) i poziomu istotości rówego 0,05, parametr te przyjmuje wartość:, Zatem < t,,95 <,. Zatem stwierdzam, iż obie metody są jedakowo dokłade z prawdopodobieństwem 95%. Zad.7 W celu zbadaia czy istieje prostoliiowa korelacja pomiędzy krotością dawki pewego preparatu (zmiea ), a masą wątroby szczura w gramach (zmiea y), przeprowadzoo odpowiedie badaia i otrzymao astępujące wyiki: Krotość() 3 4 5 6 7 8 9 0 Masa (y) 3, 4,5 3,8 4,8 5,5 4, 3,5 5,0 5, 4,0 Na poziomie istotości a0,05 zweryfikować hipotezę o braku korelacji między krotością dawki preparatu, a masa wątroby szczura. Zadaie to moża policzyć wykorzystując aalizę regresji. W pierwszej kolejości ależy policzyć współczyik korelacji r (współczyik liiowości, przyjmuje wartości od 0 do i im bardziej zbliżoy do tym fukcja bardziej liiowa).

r r i i yi i i 0 46,8 55 43,7 i y i i i i i i y i [ 0 385 (55) ] [ 0 96,5 (43,7) ] i yi 0,3 Kwadrat współczyika korelacji r 0,pokazuje am jak bardzo ieliiowa/liiowa jest asza zależość ( w tym wypadku fukcja jest liiowa zaledwie w 0%). Nie moża jedak opierać się tylko a tym, trzeba sprawdzić istotość regresji. Obliczamy parametr t: 0 t r 0,3 0,986 ; gdzie liczebość r 0,097 A astępie porówujemy go z parametrem krytyczym t r,, który dla waruków aszego zadaia tz. 9 stopi swobody i 0,05 wyosi,6. t < t r, Zatem moża stwierdzić a poziomie istotości 0,05, iż ie ma korelacji (prostoliiowej zależości) pomiędzy krotością dawki preparatu, a masa wątroby szczura. Nie ma sesu obliczać parametry regresji prostoliiowej. Zad.8 Wykoao 0 pomiarów ciśieia wewątrz zbiorika próżiowego otrzymując astępujące wyiki (w kpa) ;43, 45, 44, 58, 47, 45, 38, 44, 48 i 46. Wyzaczyć przedział ufości średiej odrzucając ewetualie a mocy odpowiediego kryterium wyik(i) wątpliwe. Wyiki wątpliwe odrzucamy wykorzystując test Q-Dioa. Wartości ciśieia ależy uszeregować w ciąg iemalejący: 38; 43; 44; 44; 45; 45; 46; 47; 48; 58. Wartość średia wyosi 45,8; wyikiem wątpliwym wydaje się być 58. Aby to sprawdzić ależy obliczyć parametr Q i porówać go z parametrem krytyczym Q kr. w s Q R Gdzie: w to wyik wątpliwy. s to wyik sąsiadujący z wyikiem wątpliwym. R to rozstęp, czyli różica wyiku ostatiego i pierwszego. R 58-38 0 w s 58 48 Q 0,5 R 0 Parametr krytyczy Q kr odczytay z tablicy testu Q-Dioa, dla 95% prawdopodobieństwa i 0 pomiarów, wyosi 0,4. Q > Q kr Z 95% prawdopodobieństwem odrzucamy wyik wątpliwy. (za pomocą testu Q-Dioa moża odrzucić tylko jede wątpliwy wyik). Aby obliczyć przedział ufości wartości średiej ależy policzyć odchyleie stadardowe dla wartości po odrzuceiu wyiku wątpliwego. Następie odczytać wartość parametru t dla owej serii wartości ciśieia.

,877, my do obliczeń musimy użyć odchyleie stadardowe,877 średiej 0, 959 9 Parametr tudeta t odczytujemy z tablic dla poziomu istotości 0,05 i liczby stopi swobody rówej 9-8. t,306 Przedział ufości dla wartości średiej Obliczamy ze wzoru: µ ± t µ śr śr 45,8 ±,306 0,959 µ 45,8 ±,3